应用问题(教师版)

1、苏州市高三数学二轮复习资料热点问题热点问题9应用问题一、填空题1.某公司300名员工2014年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工年薪在1.41.6万元的共有人.答案72解析由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为（0.2+0.8+0.8+1.0+1.0）>0.2=0.76,因此，年薪在1.4至IJ1.6万元间的频率为10.76=0.24,所以300名员工中年薪在1.4至IJ1.6万元间的员工人数为300X0.24=72.2.在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：2、,由珏加满油后已用油量汪：油耗=工、-上

2、加满油后已行驶距离可继续行驶距离汽车剩余油量.当前油耗；时间J油耗（升100千米）可旌读号喊距离千米>9乐30G.9一&加平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内行驶的距离从以上信息可以推断在10：00-11：00这一小时内（填上所有正确判断的序号）.行驶了80千米；行驶不足80千米；平均油耗超过9.6升/100千米；平均油耗恰为9.6升/100千米；平均车速超过80千米/小时.答案解析实际用油为7.38升.设L为10:00前已用油量,小时内已行驶的距离 sLAL为这一个小时内的用油量，s为10:00前已行驶距离，As为这一个9.5,得L+AL=9.6s+9.6A&即9.5

3、s+AL=96s+9.6As,AL=0.1s+9.6As,L9.6.L01s+9.6>9.6.所以正确，错误.ss，7.38这一小时内行驶距离小于X100=76.875（千米），所以错误，正确.9.6由知错误.苏州市高三数学二轮复习资料热点问题f(x) (mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似3.某驾驶员喝了1000mL某种酒后，血液中的酒精含量满足表达式f (x)=x 27,0 W x < 1,x1、，x >1.3酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过到1h)答案40.02mg/mL,据此可知，此驾驶员至少要过h后才能开车.(精确解析当0w

4、xwi时,< 5x 2< -,此时不宜开车;255x>4.4.如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD = 2x,梯形面积为的最大值是S,则S高为1,答案3227解析建立坐标系，B点坐标为(1,1),求出抛物线方程为x2=y,得D点坐标(x,x2),等腰梯形的高为1x2,S=2x,'(1x2),0vxv1,求导可以得到x=g时S取最大值II.23275.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年中的总仓储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总仓储费用之和最小，则每次需购买吨.答案30解析根据题意总

5、费用y?32x2抨32x120,当且仅当号32x,即x30时等号成立.6 .一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东300前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30。，则水柱的高度是.答案50解析设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在ABC中，A=60°,AC=h,AB=100,BC=<3h,根据余弦定理得，(A/3h)2=h2+10022h100cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m

6、.7 .某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万-2-苏州市高三数学二轮复习资料热点问题元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.答案10解析设该企业需要更新设备的年数为X,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护费用为2+4+2x= x(x+1),所以x年的平均费用为y=100+0.5X+ X(X+1) = x+ WO+1.5,xx-7 -由基本不等式得y=x+等+1G2N0+1.5=21.5,当且仅当涓吟即用10时取等号.8 .将一个长宽分别是a,

7、b(O<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则a的取值范围是答案1,4b解析设切去正方形的边长为x,xCo,2,则该长方体外接球的半径为r2=4(a-2x)2+(b-2x)2+x2=-9x24(a+b)x+a2+b2在xC0,2存在最小值时，必有。/、十功<b,解得a<5,又4292b40<b<a?a>1,故a的取值范围是1,5.b'b'4二、解答题9 .某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值.经过市场调查

8、，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：y与(a-x)和X2的乘积成正比；内。，22岩，其中m是常数.若x=2时，y=a3.(1)求产品增加值y关于x的表达式；(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值.解析(1)设y=f(x)=k(a-x)x2,因为当x=j时，y=a3,所以k=8,2aX= 3 ,所以f(x)=8(ax)x2,xC。，jmm(2)因为f(x)=-24x2+16ax,令f(x)=。,则x=。(舍),当需号,即m>1时，当衣。，2a时，f(x)>。，所以f(x)在。，2a上是增函数，2a2am2a2am上是减函数,当xet,/时，f(x)。，所以f(x)

9、在武所以ymax=f(叁)=32a3;327当篇争即0V m十时，当XC °，剧时，f (x)>0,所以f(x)在。，碧上是增函数,2am、32m23所以ymax=f()=/2mi1)3a2m1(2m+1)综上，当m>1时，投入2a万元，最大增加值317a3；当0Vm<1时,投入箫1万元,最大增加值32m23(2m+1) 3a10 .某工厂引入一条生产线，投入资金25。万元，每生产x千件，需另投入成本w(x),当年产量不足80千件时，w(x)=1x210x(万元)，当年产量不小于80千件时，w(x)=51x+10000145。(万3x元)，当每件商品售价为500元时

10、，该厂产品全部售完.(1)试写出年利润L(x)(万元)与年产量x(千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时该厂的利润最大.解析(1)当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额0.05X1000x=50x(万元)1212当0vxv80时，L(x)50x(x10x)250x40x250;331000010000当xR80时，L(x)50x(51x+1450)2501200(x)xx1 2ccccccx40x250,0x80故 L(x)3100001200(x),x>80x(2)当0vxv80时，L(x)1x240x250;3当x=60时，L(x)有最大值为950;当x>80时，L

11、(x)1200(x10000);x当且仅当x10000,即x=100时，xL(x)有最大值为1000;年产量为100千件时该厂的利润最大.11.如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为6-.设S的眼睛距地面的距离为串m.(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2m的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转.摄影者有一视角范围为当的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部3摄入画面？说明理由.解析作SC垂直OB于C,则/CSB=30°,/ASB=60°.又SA=>/3,

12、故在RtASAB中，可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3m.由SC=3,/CSO=30°,在RtASCO中，可求得OC=y/3.因为BC=SA=M3,故OB=2j3,即立柱高为29m.在 SON和 SOM中,（2小）2+1 b22 23 1（2小）2+1 a22 2v3 1得 a2+b2 = 26.（2）连结SM、SN,设SN=a,SM=b.b时取等号,a2+b222112211cos/MSN=2ab=aU>a2Tb2当且仅当a又11>1.又/MSNC（0,明则/MSNV41323故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.12.如图，花园一角两小路11、12垂直相交于A.直

13、径紧贴11的半圆形水塘半径为6m,圆心为O,且OA=40m.现准备铺设一条鹅卵石直路MN(点M、N分别在11、L上)，与11、12共同围着水塘，且要求半圆上任意一点到直线MN的距离不小于4m.若所有道路的宽度忽略不计，且11、12的长度无限制，则如何选择M、N时，可使铺设的鹅卵石路最短？解析解法一作OPMN于P,为使鹅卵石路MN最短，则OP6410m设POMx,0x,则ANMx21040-1010AMc0sx10(4cosx1)又OM,AM40,MNcosx=-cosxcosxsinxsinxsinxcosx令 f(x)贝U f'(x)4cosx1二，0x;，sinxcosx2,3-224cosx2cosx1_(12cosx)(2cosx2cosx1)丁.72丁.72(sinxcosx)(sinxcosx)2_121由f(x)0得，x,且2cosx2cosx1=2(cosx-)0322故当0x一时，f'(x)0,f(x)递减;3当一x一时，f'(x)0,f(x)递增；32所以x=一时，f(x)最小，即当