轨迹与轨迹方程专题

1、轨迹与轨迹方程专题一、知识点梳理1. 对于曲线C和方程F(x, y)=0,如果曲线C上的点的坐标都是 ,且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在 ,则方程F(x,y ) = 0叫做,曲线C叫做.2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基本的轨迹图形，其中：(1) 在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是 .(2) 平面内到角两边距离相等的点的轨迹是 .(3) 平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是 .(4) 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 .3. 求动点的轨迹方程的基本方法有：(1) 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x,y的等式，就得到轨

2、迹方程，这种方法称之为 .(2) 运用解析几何中一些常用定义(例如圆的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程，这种方法称之为.(3) 动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x, y)却随另一动点Qxy')的运动而有规律的运动，且动点 Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x', y'表示为x、y的式子，再代入 Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，这种方法称之为.(4) 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点

3、的轨迹方程，这种方法称之为 .二、求轨迹方程的一般步骤是(1) 建系一一建立适当的平面直角坐标系(若题目条件已经出现坐标，则不用再建系)(2) 设点设轨迹上的任一点P(x, y). 列出方程一一列出动点P所满足的关系式.(4) 化简：把方程f(x, y) = 0化成最简形式；(5) 证明一一证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(如果化简过程都是等价交换，则此步可省略)三、求曲线轨迹方程应注意的问题 要注意一些隐含条件， 若轨迹是曲线的部分， 应对方程注明x的取值范围或同时注明 x, y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； 若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； 曲线的轨迹和曲线方程是有

4、区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型.四、典型例题类型一直接法求轨迹方程如果动点所满足的条件已给出，只要设出动点坐标，代入条件即可列出方程，然后化 简即可.例题1：在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点0对称，P是动点，且直线1AP与BP的斜率之积等于-，求动点P的轨迹方程.3变式训练：(1)已知圆x2+y2=4，过A ( 4 , 是( )2 2A、(x 2) +y =42 2c、(x 1) +y =40)作圆的割线 ABC，则弦BC中点的轨迹方程2 2B、(x 2) +y =4(0 < xv 1)2 2D、(x 1) +y =4(0 w x

5、v 1)3#(2)动圆与 x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。#类型二代点法求轨迹方程求轨迹方程时，涉及两个或两个以上的动点，根据题中所给的条件找出所求动点坐标和 已知曲线上相应点坐标之间的关系，然后将已知曲线上相应点的坐标用动点坐标表示出来， 再代入到已知曲线方程中去，从而得到动点轨迹方程的方法。并且例题2：已知圆x29，从这个圆上任意一点 P向x轴作垂线段PP/，点M在PP/上,的轨迹。（4）三角形 ABC 中，B（ 0，0），C（ 2,3），点A的轨迹方程为2 2x +y =4,求三角形ABC变式训练：（3）已知点A的轨迹方程是x +y =4，点B（a,O）

6、,aR，P是线段AB的中点,求点p的轨迹方程。4的重心G的轨迹方程，并说明其轨迹是什么?#类型三用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意 参数的取值范围。例题3：已知圆C的方程x2 y 4，过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ =0M ON ，求动点Q的轨迹方程。变式训练：（5）过点P（ 2，4）作两条互相垂直的直线 li,丨2，若 l i交x轴于A点，I2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方 程。两条直线的交点的轨迹方程是轨迹与轨迹方程专题参考答案例题1解：因点B与点A（-1,1）关于原点0对称，得

7、点B的坐标为（1 , -1）.设点P的坐标为（x，y），则kAP二红7， kBP二-1x +1x -1由题意得y _1y-1x+1 x13化简得：x2 3y2 = 4 （ x =二1）2 2即动点P的轨迹方程为1（ X =二1）443变式训练（1）B变式训练（2）x2 -y 2 -2xy+2=02例题2： y19变式训练（3）分析：要求点P的轨迹，点P的运动是由点 A的运动引起的，设 P（x，y），A（ X0，yo），B（ a，0）由中点坐标公式，xo=2x-a，yo=2y，代入a圆的方程，得（2x-a） 2+（ 2y） 2=4，整理得（x- ） 2+y2=1 （ a ：= R）。2变式训练（

8、4）分析：点G的变化是由点 A而起，设G （x，y），A（x°, yo），由重心坐标公式，X2,y=K 3 ,得X0 =3x _2,y0 =3y _3，代入 x2+y2=4 得（3x-2）332+（ 3y-3） 2=4,即（x _2）2 （y -1）2 二里3922点G的轨迹是以（-,1）为圆心，2为半径的圆。注意：求点的轨迹和求点的轨迹方程是不33同的，若求方程，求出即可，求轨迹要说出所求出的方程表示的曲线名称。2 2例题 3 x y =1（y =0）416变式训练（5）【解析】分析1:从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k作为参数，建立动点 M

9、坐标（x, y）满足的参数方程。解法1:设M（x, y）,设直线11的方程为y 4= k （x 2）, （ kO）1由h _ l2,贝V直线12的方程为y-4 = - （x-2）k一4.li与x轴交点A的坐标为(2 ,),2I2与y轴交点b的坐标为(0,4 -), M为AB的中点,(k为参数)I 2 k消去 k，得 x + 2y - 5 = 0。另外，当k= 0时，AB中点为M( 1, 2),满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M( 1，2)，也满足上述轨迹方程。综上所述,M的轨迹方程为x + 2y - 5 = 0。分析2：解法1中在利用kik2=- 1时，需注意ki、k2是否存在，故

10、而分情形讨论，能 否避开讨论呢？只需利用厶 PAB为直角三角形的几何特性：1|MP| |AB | 2解法 2 :设 M( x, y),连结 MP 则 A (2x , 0), B( 0 , 2y),|1丄丨2 , PAB为直角三角形1由直角三角形的性质,| MP | AB |2.(x匚2)2一(y匚4)2 =2 (2x)(2y)2化简，得x + 2y- 5= 0,此即M的轨迹方程。分析3:设M( x , y),由已知丨1丄12 ,联想到两直线垂直的充要条件：k1k2=- 1,即可列出轨迹方程，关键是如何用 M点坐标表示 A B两点坐标。事实上，由 M为AB的中点， 易找出它们的坐标之间的联系。解法 3 :设 M (x , y) , / M为 AB 中点， A (2x , 0) , B (0 , 2y)。又l 1 , l 2过点P ( 2 , 4),且I 1丄丨2 PA丄 PB,从而 kpA，kpB= 1 ,42 y2 -044 2y =，化简，得