中心极限定理和计算

1、第十八次课5.2 中心极限定理v引入:由大数定律可知,独立同分布的随机变量序列Xn有,1EXXn1Plimn1iinv(这是辛钦大数定律)v注:这仅仅是极限为1,那么如何计算?EXXn1Pn1ii呢v一、勒维中心极限定理 设X1,X2, Xn独立同分布,且EXi=,DXi=2(i=1,2, )则xnnuXPniin1lim)x(dte21x22t标准正态分布的分布函数) 1 . 0(NnnuX,nn1ii时即当近似v证明:大量的研究表明:如果一个随机变量可以表示为大量独立随机变量的和: ,其中每一个别随机变量对于总和只起微小作用.niiX12,iiDXuEX又由于时当不论何种分布nniinii

2、nuEXXE11niiniinDXXD121由正态分布的标准公式有下列近似公式)x()x(xnnuXxP122n1ii1正态分布则n1iiX近似n1i2i)n,nu(NX则近似）（ 1 , 01NnnuXnii近似v例1.计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的误差是相互独立的随机变量,并且都在区间-0.5,0.5上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.v解:设随机变量Xi表示第i个加数的取整误差,则Xi在区间-0.5,0.5上服从均匀分布XiU-0.5,0.5,并且有025 .05 .0iEX300, 2 .1i12112)5 .05 .

3、0(DX22i所求概率103001iiXPnnunnuXPii103001121300101213003001iiXP)2()2(25XP3001ii9544.0197725.021)2(2v例2.设有30个电子器件,它们的使用寿命分别为T1,T2, ,T30,且都服从参数=0.1(单位/小时)的指数分布,其使用情况是第一个损坏,第二个立即使用;第二个损坏,第三个立即使用等等,令T为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率.v解:由于Ti服从指数分布,且参数=0.1 TiE(0.1)101 . 011ETi故30. 2 . 110001. 01122iDTi由勒维中心极限定理相互独立

4、且,T,T,T30213501350TPTpnnu350110303003501)91. 0(130511814. 08186. 01) 1 , 0(NnnuT301ii) 1 , 0(N10301030T301iiv例3.设X1,X2, Xn, 为独立随机变量序列,且Xi(i=1.2)服从参数为的指数分布,则:xnnXPniin1lim)(EX:i解1EXi22i1DXn1iin1iinEXXEn1i2in1iinDXXD)1.0(NnnX2n1iiv例4.已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2),求这本书印刷错误不多于70的概率.v解:设Xi表示第i页中印刷错误的个

5、数)2 . 0( PXi300, 2 . 1i2 . 0iEXv由勒维中心极限定理niiXP170故22 . 0iDX60607070nn90147. 029. 1) 1 . 0(N2 . 030060XnnX3001ii3001ii近似v二、德莫威尔拉普拉斯定理v当Xi独立同分布.且XiB(1,P)时则pqDX,pEXiiv对任意的实数X. 有dtexnpqnpXPtxniin21221lim分布二项分布的极限是正态充分大时当若注,),(. 1:npnBX)npq,np(NX)p, n(BXn ) 1 , 0(NnpqnpXn1ii近似)npq,np(NXn1ii或记作近似)1 , 0(1N

6、npqnpXnii从而近似v2.常用的三种公式npqnpKnpqnPKKXKPn1221) 1 (12) 2(npqnPKKXPnnpqnPKnpqKXPn1) 3(v例5.某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求:v(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率v(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99v解:已知n=200,p=0.75,q=0.25,np=150,npq=37.5v(1)设随机变量X表示任一时刻正在工作的机器的台数5 .37150

7、1445 .37150160160X144p)98. 1()63. 1 (1)98. 1 ()63. 1 (197615. 094845. 09246. 0v(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则99. 00mXP99. 05 .3715005 .37150m05 .245 .37150 99. 05 .37150m990097. 0)33. 2(33. 25 .37150m3 .164m165mv例6.试用切比雪夫不等式估计:废品率为0.03,1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率v解:设随机变量X表示废品的个数，则)03. 0,1000(BX30nPEX1 .29npq

8、DXv由切比雪夫不等式2DX11030 xP40X20P709. 01001 .291v所求概率不小于0.709v解二:用德莫威尔拉普拉斯定理)03.0,1000(BX30 nPEX1 .29 npqDX4020 XP1 .2930201 .293040854.1854.1936.01854.12v所求概率不小于0.936v显然,拉普拉斯定理比切比雪夫不等式精确习题五v一、填空题v1.随机变量则21,100 BX6826. 05545 XP21,100:BX解50 npEX25 npqDX50EX252DXv由拉普拉斯定理2550452550555545XP1) 1 (2) 1() 1 (68

9、26. 018413. 02v2.设X1,X2, ,Xn为独立同分布的随机变量,且niXDXEii,2 , 1)(,)(2niibXaPXnX1,1则2iin1iiDX,.EX:Xn1X:又已知解n1iin1iinn1EXn1Xn1EXEn1i222i2n1iinnn1DXn1Xn1DXDv由拉普拉斯定理nanbbXaP22nanb)n,(NX2v4.设X1,X2, ,Xn, 为独立随机变量,且Xi(i=1,2, )服从参数为的泊松分布,则xnnXPniin1limv解:XP() 泊松分布 EX= DX=2v由勒维中心极限定理)x(xnnuXPlimxnnXPlimn1iinn1iinv5.设

10、随机变更X的分布律为X-101P2K212K112K212,0DXEXXPDXKK时有当为常数其中0K211K21X) 1(EX:22解222222K1K211K21X) 1(EX22K1)EX(EXDX1K1KDXK1XPEXXp1XP1Xp1XP1Xp222K1K21K2122K1DX1DXEXXP2v三、1.利用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时,需掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4-0.6之间的概率不小于99%.v解:随机变量X表示投n次硬币出现正面的次数)5 . 0 ,(nBX则等可能事件,正、反面的概率各占0.5nEX5 . 0nDX25. 02nX,n出现正面的频率为次

11、试验中在6 . 04 . 0nXP而2)n1 . 0(n25. 01n1 . 0n5 . 0XPn25199. 06 . 04 . 0nXP99. 0251n250nv至少掷250次才能保证使得正面出现的频率在0.40.6之间的概率不小于99%v2.随机变量Y是另一个随机变量X的函数,且Y=ex(0) , 若EX存在,则对任何实数a,有xxeEeaXP单增解xeY:dx)x(feeExxaxeePaXPaexedx)x(faexeaxdx)x(feeaexexadx)x(fee)()(xaxaeEedxxfeev4.一部件包括10部份,每部份的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,

12、其数学期望为2mm,均方差为0.05mm,规定总长度为(200.1)mm时产品合格,试求产品合格的概率.10, 2 . 1i ,iX:i个部分的长度表示第设解mm2EXi05. 0DXiY又设总长度为101iiXY101iimm20210nEXEYn1i222i05. 010)05. 0(1010DXDYv由独立同分布的中心极限定理1 .20919YPnnnn9 .1912005. 010209 .1905. 01020120472. 01)632. 0(2v5.某商店负责供应某地区1000人的商品,某种商品任一段时间内,每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间内每人购买与否彼此无关,问商

13、店至少应预备多少件商品才能以99.7%的概率保证不会脱销?v解:设随机变量X表示某段时间内1000人中需用一件商品的人数,则XB(1000,0,6) EX=nP=600 DX=npq=240 设应预备n件商品,则v由拉普拉斯定理vXN(600,240)vP(0Xn)=0.997997. 02406000240600n即0240600 而997.0240600n997020.075275.2240600n6 .642nv应预备643件v6.一家保险公司接受多种项目的保险,其中一项为老年人寿保险,假设一年中有10000人参加此项保险,每人每年需付保险费20元,在此项保险中,每人的死亡率为0.016

14、,死后家属可向保险公司领得1000元,试求保险公司在此保险中亏本的概率.v解:设随机变量X表示投保的10000人中一年内死亡的人数,则)016. 0，10000(BX160npEX44.157npqDXv由拉普拉斯定理),(npqnpNX)44.157,160( NX即v保险公司亏本的概率为2000001000XP20001200XPXP44.157160044.157160200144.1571602001044.1571600007114. 09992886. 0119. 31习题三v一、填空题v1.设随机变量X与Y相互独立且具有同一分布律X01P2121v则随机变量Z=max(X,Y)的

15、分布律；V=min(X,Y)的分布律；U=XY的分布律。v解：X，Y相互独立X01P2121Y01P2121vZ=0=X=0,Y=04121210Yp0Xp0Zp) 1Y, 1X()0Y, 1X() 1Y, 0X(1Z431Y1X0Yp1Xp1Yp0Xp1ZpvZ=max(X,Y)的分布律Z01P4143vV=1=X=1,Y=14121211Yp1Xp1Vp)0Y, 0X()0Y, 1X() 1Y, 0X(0V430Yp0Xp0Yp1Xp1Yp0Xp0XpvV=min(X,Y)的分布律V01P4143vU=1=X=1,Y=14121211Yp1Xp1Up) 1Y, 0X()0Y, 1X()0Y

16、, 0X(0U430UpU=XY的分布律：U01P4143v2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布。则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数fY(y)=v解：其他02x021)x(fXyXpyYp)y(F2Y)y(FyXpXyX2，0故上且在其他04y02y021)y(fX求导y41y2121y21)y(f)y(fXYv3.设平面区域D由曲线 及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机向量（X，Y）在区域D上有服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值x1y 其他0),(21),(BYXyxf：解2dxx1S2e1Bx21dy21dy)y, x(f)x(fx10X41)x(f2xXv4.设随机变量X，Y同分布，X的密度函数