高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线

1、4.2三角形“五心”的向量表示（二）旁心IA满足例题1在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2a=b+c. O，I分别为其外心和内心，求证：OIAI.证明 因而原命题得证.习题1如图，在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a<b<c. D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE=a，O，I分别为其外心和内心，求证：OIDE.习题2如图，O、G、I分别为三角形ABC的外心、重心、内心，且AGOI，求证：.5.1圆锥曲线初步一、平行四边形中的一些结论 在平行四边形ABCD中，对角线的平方和为边的平方和的两倍，即|AC|2+|BD|2=2(AB2+|AD|2)

2、在此基础上，得出中线长公式：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，M为BC的中点，则有| AM |=2b2+c2-|a|22 a，b共起点O，终点分别为A, B，则向量三角形为OAB，由S=12absin得出向量三角形，平行四边形面积公式：S=a|b|2-(a·b)22二、硬解定理设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆: x2a2+y2b2=1交于A，B两点，O为坐标原点.联立直线与椭圆，可得a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0必使=4a2b2a2k2+b2-m2>0弦长|AB|为AB=k2+1A=k2+12aba2k2+b2-m2a2k2+b2点O到直

3、线AB:kx-y+m=0的距离为d=|m|k2+1，则AOB的面积为SAOB=12AB·d=ab·mk2+1·a2k2+b2-m2 =ab·m2a2k2+b21-m2a2k2+b2 12ab当且仅当m2a2k2+b2=1-m2a2k2+b2，即a2k2+b2=m2时，取等号.三、仿射变换在求OAB面积最大值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么S=12r2sin12r2，当OAOB时等号成立. 那么对于椭圆: x2a2+y2b2=1，我们设x=x, y=bay，在新的坐标系下得到x2+y2=a2所以面积取到最大值时，kOA·kOB=yAxA·

4、yBxB=-1即yAyBxAxB=-b2a2也就是kOA·kOB=-b2a2四、垂径定理已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A，B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积kAB·kOM=-b2a2注一：当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二：这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三：双曲线x2a2-y2b2=1的垂径定理中的斜率之积kAB·kOM=b2a2五、切线公式在任意二次曲线Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上一点P (x0, y0)处的切线方程为：Ax0x+B

5、y0y+Cx0+x2+Dy0+y2+F=0六、面积公式由有向线段OA(x1,y1)和OB(x2,y2)围成的OAB的有向面积SOAB=12x1y1x2y2例题设a1, a2, a3, a4R，且a1a2a3a4=1, 记f (a1, a2, a3, a4) = a12+a22+a32+a42+a1a3+a2a4，求f (a1, a2, a3, a4)的最小值。解 设m=a1,a2,n=a3,a4f=|m|2+|n|2+m·n，记cos=m·n|m|n|，则S=12mnsin=12mn1-cos=12a1a2a3a4=12 mn=1sin f2mn+m·n =2si

6、n+cossin 3.6.1阿波罗尼斯圆动点P(x, y)到定点F1(-c, 0), F2(c, 0)的距离之比为.(c, 为正数)，则P点的轨迹方程1-2x2+1-2y2+2c1+2x+1-2c2=0讨论：1. 当=1时，即x=0, P点轨迹为直线(F1F2的中垂线)2. 当1时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆进一步，对于圆锥曲线有: 动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值. 则动点P的轨迹是二次曲线. 其中即圆锥曲线的离心率e. 快速判断直径，圆心的方法：过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径. 即：在F1F2上找到一对调和分比点T，D(根据比例

7、可以快速判断)，TD中点即圆心.另：角平分线性质：|PF1|PF2|=|TF1|TF2 |PF1|TF1|=|PF2|TF2|例题求满足条件BC=2，|AB|AC|=2的ABC的面积的最大值。解 SABC12BC·r=12BC·12+1+12-1·|BC|2=12×2×22其实不难发现通式r=1+1+1-1·|BC|2=2-1|BC|习题1已知两定点A(-2,0), B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹所包围的面积.习题2已知共面向量a, b, c满足| a |=3, b + c=2a, 且| b |=| b

8、-c |，若对于每个确定的向量b，记| b-ta |(tR)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为？7.1托勒密定理平面上四边形的四边与对角线满足关系：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等.例题1已知ABC满足A=3，AB+AC·BC=0，点M在ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是？静态观察（解法一）易知ABC为等边三角形，如图，设MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得tx3t 2ttx+t于是1x3.由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此MA的取值范围是1,3.动态

9、探索（解法二）如图，先固定B，M，使得BM=2，然后让C在半径为1的圆M上运动，观察A点的轨迹（暂时忽略M在ABC外的条件）.由平面几何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60°后得到的圆N，据此容易求得MA的取值范围是1,3（注意取得最值时M均在ABC外部）.例题2已知椭圆x22+y2=1，P在椭圆上，求P点到G点0,12的距离的最大值.解 根据托勒密定理有 |PG|·2c2a|GF1|PG|102当且仅当P，F1，F2，G四点共圆时等号取得. 易知等号可以取得. 此时PG垂直过P的切线l，且PG平分F1PF2，这里用到了一个二级结论：圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成

10、的焦点三角形的外角平分线.同时证明了取得最大值时, PG总在PF1，PF2之间，也即构成凸四边形，从而可以利用托勒密定理. 进一步思考，当离心率为22时，这种做法只适用于G点在短轴上时，（此时GF1F2的外接圆与椭圆有交点）；若G在短轴所在直线上（不在短轴上），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到. 更一般的表述：这种做法只适用于G点在短轴所在直线上时，（且此时GF1F2的外接圆与椭圆的另半部分有交点）；若G在短轴所在直线上（且此时GF1F2的外接圆与椭圆另半部分没有交点），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到. 其中“椭圆另半部分”是指，当G在x轴一侧时，x轴另一侧的椭圆曲线被称为“椭圆

11、另半部分”. 其他情况，利用二次函数最值求解. 8.1向量叉乘 注：本节中，向量用黑体表示在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。1.叉乘的定义要确定一个向量，需要知道它的模和方向。如图1，对于给定的向量a和b，规定向量c=a×b，满足：（1）模：|c|=|a|b| sina,b（2）方向：向量c的方向垂直于向量a和b，且符合右手定则：用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度0,到向量b的方向，大拇指所指的方向就是

12、向量c的方向。这里的也就是a,b。这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。2.叉乘的性质（1）显然有a×a=0（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即a×b=-b×a，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足0，也就使得积向量反向。（3）易得对数乘的结合律，即(a)×b=a×(b)=(a×b) （4）可以证明分配律：(a+b

13、)×c=a×c+b×c或a×(b+c)=a×b+a×c3.叉乘的几何意义如图，在平面上取点O，作OA=a，OB=b，|a×b|=|a|b| sina,b，由三角形面积公式S=12ab sin可知|a×b|表示以OA, OB为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是以OA, OB为两边的平行四边形的面积。即|a×b|=2SOAB=SOABC4.叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。要想得到叉乘运算的坐标表示，必须

14、回到空间直角坐标系的根基单位正交基底出发。给定一组单位正交基底i, j, k，为满足运算要求，应使i, j, k符合右手定则，即建立一个右手系，如图。这样一来就有i×j=k j×i=-k i×k=-j k×i=j j×k=i k×j=-i从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。可设a=a1i+a2j+a3k=(a1, a2, a3), b=b1i+b2j+b3k=(b1, b2, b3)则a×b=(a1i+a2j+a3k)×(b1i+b2j+b3k)，由向量叉乘的分配律可知，原式=a1b2i×j+a1b3i

15、15;k+a2b1j×i+a2b3j×k+a3b1k×i+a3b2k×j= a1b2k+a1b3(-j)+a2b1(-k)+a2b3i+a3b1j+a3b2(-i)=(a2b3-a3b2)i +(a3b1-a1b3)j +(a1b2-a2b1)k=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)即(a1, a2, a3)×(b1, b2, b3)=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)，这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。5.叉乘的实际应用（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的

16、面积问题得到了极大简化。【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行四边形的面积。【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出AB和AC的夹角，再用S=12ab sin等相关公式计算。有了向量叉乘的帮助，可直接求|AB×AC|，即为所求面积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。【解答】AB=(1,0, -1)，AC=(4,3,1) AB×AC=(3, -5,3)|AB×AC|=32+(-5)2+32=43SABCD=43（2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。如图，对于给定的直线l和点C，可在l

17、上取点A, B，则d (C, AB)=|AB×AC|AB|这是因为|AB×AC|表示平行四边形ABCD的面积，又等于|AB|·d (C, AB)，整理即可得上式。【例2】已知点A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点C到直线AB的距离【解答】,AC=(4,3,1) AB×AC=(3,-5,3)|AB×AC|=32+(-5)2+32=43d (C, AB)=|AB×AC|AB|=432=862（3）求平面的法向量由于向量叉乘运算c=a×b中ca且cb，由立体几何知识可知，如果选取一个平面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么

18、其积向量就可以作为平面的法向量。正是由于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展身手。【例3】ABCD为边长为4的正方形，GC平面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平面EFG的距离。【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF的法向量。下面列出两种解法，以供比较。【解法1】A(4, 4, 0), B(0, 4, 0), D(4, 0, 0), E(4, 2, 0), F(2, 4, 0), G(0, 0, 2)。设平面EFG的一个法向量为n=(x, y

19、, z)，则n·EF=n·GF=(x, y, z)·(-2, 2, 0)=(x, y, z)·(2, 4, -2)=03x=3y=z令x=1，则y=1，z=3n=(1,1,3)d (B, EFG)=|nBF|n|=21111【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.EF=(-2,2,0), GF=(2,4,-2)平面EFG的法向量为n=EF×GF=(-4,-4,-12)d (B,EFG)=|nBF|n|=8411=21111.叉乘的物理意义正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，下面仅以通电直

20、导线在匀强磁场中的受力（安培力）为例作简要说明。如图，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角。由物理学规律可知F=BILsin。从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不妨把I理解为矢量I，则| F |=| B | I |Lsin 。又F垂直于B和L所成的平面，且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故F=L(I×B) 这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。总之，在高中数学所学知识的基础之上