期末作业：导数在高考试题中的应用

1、导数在高考数学试题中的应用一、知识点分析 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具，在高考中 有相当大的比重。通过对历年各省高考数学试题的分析，高考中导数年年都会考到， 从导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数，两个函数的和、差、积、商 根本导数公式复合函数求导等各个方面来考查，并通过导数来研究函数的单调性和极 值，函数的最大值和最小值。导数局部作为新教材中的新增内容 ,导数是一个很好的工具 ,应用十分广泛。通过 总结分析研究今年各省高考试题，近几年的高考也逐年加大对导数问题的考查力度,导数的应用为解决数学问题提供了新的思路 ,新的方法和途径 ,拓宽了函数应用的领域

2、,成 为中学数学的一个新的亮点 .因此 ,在探讨函数的单调性、极值 最值 、不等式以及解析 几何问题等有关问题时 ,要充分发挥导数的工具性作用 ,优化解题策略、简化运算。因此 在解决高考中遇到的与导数相关问题时，我们必须熟悉并掌握导数的相关知识：i了解导数的概念，能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义 和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念ii 了解函数的和、差、积的求导法那么的推导，掌握两个函数的商的求导法那么。能 正确运用函数的和、差、积的求导法那么及已有的导数公式求某些简单函数及复合函数 的导数。iii丨导数与函数的单调性的关系。、试题考点分析题型一、利用导数

3、研究函数的单调性、极值、最值1.湖南理8设直线xt与函数f(x)2x,g(x) In x的图像分别交于点M,N ,那么当|MN 1到达最小时t的值为1C.B. 2【答案】【解析】由题IMN |In x(x2h'(x)0)不妨令h(x) x ln x，贝y2x1x，令 h'(x) 02x 解得 2 ,因x (0,迢 +2时,h'(x)当X (子)时，h'(x) 0 ,所以当2 时，|MN |到达最小。即t 。解析：f'(x) 3x2 6x 3x(x 2),f (x)的单调递增区间为:(,0),(2,),递减区间为(0,2),f (x)在 x2处取得极小值.

4、3、湖北理21I函数f(x)ln x x 1x (0,)求函数f(x)的最大值。解：If (x)的定义域为(0,1)人 f/(x) - 1 0)，令xx 1f(x)2、广东理12函数处取得极小值.3 x23x 1 在 xf(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，故函数f(x)在x 1处取得最大值f(1) 0。4.重庆理10设m, k为整数，方程mx2 kx 2 0在区间0,1内有两个不同的根，贝S m+k的最小值为55.:重庆理5以下区间中，函数f (x) = ln(2 x)在其上为增函数的是D1,24. 1,A - ,1 B3【答案】D25.广东文19设a 0,讨论函数f(x) Inx

5、a(1 a)x 2(1 a)x的单调性.解：函数f(x)的定义域为0, +xf'(x)2a(1 a)x22(1 a)x 1x1当a 1 时，方程 2a(1 a)x2 2(1 a)x 1 0的判别式12(a 1)(a 一)3当0<a 一时，0, f '(x)有2个零点3、，1.(a 1)(3a 1)°、,1 (a 1)(3a 1)X10, X2,2a 2a(1 a)2a 2a(1 a)且当0 x x一或x x2时，f '(x) 0, f (x)在(0,xj与(x2,)内为增函数；当X1 x x2时，f'(x) 0, f (x)在(x,x2)内为减函

6、数当一3a 1时，0,f '(X)0, f(x)在(0,)内为增函数；当aZ11时，f '(x)-x0(x0), f(x)在(0,)内为增函数；当a1时，0,x,1.(a 1)(3a 1)0 x 1J(a 1)(3a 1)0,所以f'(x)在定义域内有唯一零点石;2a2a(1 a)2a2a(1 a)且当0x X1 时，f '(x)0, f (x)在(0,xj内为增函数；当x为时,f'(x)0, f (x)在(xb)内为减函数；综上所述，f(x)的单调区间如下表:10 a31a 13a 1(0,为)(X1,X2)(X2,)(0,)(0, xj(X1,)/X

7、/X1V(a 1)(3a 1)1J(a 1)(3a 1)%,X2其中 2a 2a(1 a)2a 2a (1 a) 考到此类型题目的其他省份：江苏 19 江西理19 辽宁理21全国I 21陕 西理21 上海理20四川理22 四川文22 浙江理22解题方法总结：求导，令导数等于零求极值点，判断单调区间，从而得到函数的 单调性、最值、极值。题型二：利用导数几何意义求切线方程1、全国H理8曲线y e2x1在点02处的切线与直线y °和y x围成的三角形的面积为(A)3(B)22(C)3(D)1【答案】A222x 2解：y|x° ( 2e )|x° 2，故曲线y e x 1

8、在点0,2处的切线方程为y1易得切线与直线y °和y x围成的三角形的面积为3考到此类型题目的其他省份：江西文 4全国I文4 全国H理8湖北文20全国I理21 全国H文20天津文20 重庆理182、湖南文y7曲线ysin x1M ( ,0)2在点 4 处的切线的斜率为sin xcosx112A.2B. 2C.2D.2【答案】BX/'cos x(sin xcosx)sin x(cosx sin x)1y【解析】(sin xcosx)2(sin x cosx)2，所以y'lX 41(sincos)24412总结：本类题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的

9、方程的求法。题型三：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围f (x)4-1.浙江文11设函数k 1 x假设f(a)2那么实数a=_【答案】-1x2、安徽理16设f(x) C，其中a为正实数4I当a 3时，求f (x)的极值点;5假设f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。f (x)解：对f(x)求导得x 1 ax2 ax e2 )2(1 ax4a _I丨当 3，假设f (x)0,贝那么4x28x30,解得xi 2，x2综合，可知i2)1(23(?)f (x)f(x)极大值极小值所以,Xi32是极小值点,X212是极大值点.II假设f(x)为R上的单调函数，那么f(X)在R上不变号，结合与

10、条件a>0,知ax22ax 102在R上恒成立，因此4a 4a 4a(a 1) 0,由此并结合a 0，知0 a 1.1f x x 3.天津文16设函数x .对任意x 1, f mx mf x 0恒成立，那么实数m的取值范围是【答案】,1 .f 1f x x w >【解析】解法1.显然m 0，由于函数x对x 1，是增函数，那么当m 0时，f mx mf X 0不恒成立，因此m 0. 当m 0时，函数h x f mx mf x在x 1,是减函数，1h 1 m 因此当x 1时，hx取得最大值m ,于是hx f mxmfx0恒成立等价于h x x 1,的最大值01 .于是实数m的取值范围是

11、1门m 0,mm 0,解法2.然 m 0,由于函数1xx对x 1, 是增函数，那么当m 0时，f mx mf x0不成立，因此m 0f mx mf x1mmxmx mxx2mx2 2 2 21 m 2m x 1m0mxmx,因为x 1,2 2m 0，贝y 2m x1 m2时为增函数,于是x1 m2 1m 0,1时，gx取得最小值2 2 20 ,设函数g x 2mx 1 md 2 .g 1 m 10,得m 1 .于是实数m的取值范围是,1解法3 .因为对任意x1,，那么当x 1,f mx mf x 0恒成立，所以对x 1，不等式f mx mf x 0也成立，于是m mf 10，即 m1mmm 0

12、,0,1.于是实数m的取值范围是4.天津理 16设函数x2对任意32,x 4m2 f x【答案】4f【解析】解法1.不等式化为4m2 f x0，即4m22 x2 m2 2 21 4m x 4m整理得4m22x 3因为x210，所以4 m22x 32 x2x 3于是题目化为4m2x,对任意恒成立的问题.g x为此需求2x 32 x的最大值.10x，那么函数g x3u22U在区间0,2上是增函数,因而在23处取得最大值.h3 34 m2Umax x整理得12m45m2所以4m2 3m0，解得3 3m2因此实数m的取值范围是.'321解法2.同解法1题目化为4 m2对任意恒成立的问题.g x

13、为此需求2x 32x的最大值.设t 2x 3，那么t6,t因为函数9r在3,上是增函数，所以当tt6时，t取得最小值由于F °3 0，那么其判别式0，因此F x的最小值不可能在函数图象的顶48h t6_6从而 t有最大值23114 m28g max x所以2 m3 ,整理得12m4 5m230即4m 3 3亦1°，所以4m23 °m解得.'32m或32m3J3,因此实数m的取值范围是22f x 1 4fm f-4 m2 fx°解法3.不等式化为m即22x 114m2x2 22421 4m x 4m °m12 2124m x 2x 3 &

14、#176;整理得m令F(x)1 2 212 4m x 2x 3m点得到，恒成立,必须使 2为最小值,所以为使Fx3x _°对任意2即实数m应满足1 A 4m2°m°；232 1 A 4m22m1HKI/"I"h-30/ T/ /j j解得m 4，因此实数m的取值范围是mu '3232，x解法4.(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意x 24m f xm14 f m恒成立,那么对3x2，不等式4m2 f x4fm也成立，32代入上式得32m4 m2 f4fm，即94m21 4m2 9 4m244 m24因为4m20，上式两边同乘以4m2

15、，并整理得12m45m2 3 0，即4m23m2因此实数m的取值范围是2m0，所以4m2 3 0，解得J2f(x)5.北京理13函数2xx(x 1)3,x2，假设关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是f(x) (x 2)上/、 / 八3/c、解：x单调递减且值域为(0,1, f(x) (x 1)(x 2)单调递增且值域为(，1) , f(x) k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是0,1。考到此类型题目的其他省份：北京理 18 北京文18 福建文22总结：本类题目考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值问题，来求解

16、不等式，考查运算能力，综 合运用知识分析和解决问题的能力.题型四：导数与不等式的综合A. (0，)B. ( 1,0) (2,)C.(2,) D.( 1,0)2 '0的解集为1.江西理 4设 f(x) x 2x 4lnx,那么 f (x)【答案】Cf (x)解：f(x)定义域为(0,)，又由2x 22(x 2)(x 1)0，解得1 x 02，所以f(x) 0的解集(2，)2、全国I理2以下函数中，既是偶函数又在)单调递增的函数是3wAy x (B) y1cy x2 1(D)y 2'xy=f(X)过p 1Q，且在p点处的【答案】B3.辽宁文20设函数f(x)二x+ax2+bInx，

17、曲线切斜线率为2.I证明：f(x) < 2x-2.证明：f (x)的定义域为(0,)，由I知f(x) x x2 3l n x.2设 g(x)f(x)(2x2)2 xx 3lnx,那么g(x) 12x3(x1)(2x3).xx当0 x 1 时,g(x) 0;当x 1 时,g(x) 0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,)单调减少.而 g(1) 0,故当 x 0时,g(x)0,即f(x) 2x 2.2xf (x) ln(1 x)一、4.:全国H理22I设函数x 2，证明：当x > 0时，f(x) > 0；(fP V 10H从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，

18、然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为P.证明:解:V f (X)212(x 2) 2xx27x 1 (x 2) (x 1)(x 2)0,(x1),:仅当 x 0 时 f (x) 0故函数 f(x)在(h )x 0 时，f(x) 0，故当 x > 0 时，f(x) > 0.5从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取A 20A1009 1p 20次，那么抽得的20个号码互不相同的概率为10020，要证P V 1019V e2 .20 A00( 9_)19100?99?？81 100 ?( _90.20先证：P 1002010

19、 即证1002090100)即证 99?98?.?81( 90)19 而99?81 (90 9)?(90 9) 90 9 (90)22 2 2 2 2 298?82(90 8)?(90 8)908(90) 91?89(90 1)?(90 1)901(90)P ( )19所以 99?98?.?81(90)19.即 10再证:9 19(五)1019即证")2 e，即证19ln®2ln®9 ，即证 9219f(x)ln(1x)2xx 2，当 x > 0 时，f(x) > 01 彳 ln(1 ) 199,那么21ln(11)219ln®考到此类型题目

20、的其他省份天津理21 浙江文21综上有：/ 9192P ( / e总结：这类型题目主要考查函数、导数、不等式证明等知识。通过运用导数知识解决函数、不等式及一些实际问题问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.题型五：导数在实际中的应用1. 2022北京理6根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间单位:c,X Af (x)' Xc=,x A分钟为-A A，c为常数。工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是A. 75, 25B. 75, 16C. 60, 25D. 60，16【答案】D【解析】由条件可知，x A时所用时间为常数，所以组装第 4件产品用时必然满足第一个分段函数，即230.4c 60f(A)60"a 15A 16，选D2、福建理18某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式210(x 6)，其中36，a为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(I )求a的值；(II )假设该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值使商场每日销售该商品所获得的利润最大., a 10 11 解：(I )因为5时y 11，所以2(I)由(