中值定理总结.doc

1、中值定理总结1、 所证式仅与&_i;相关 观察法与凑方法1( ) 0,1 (0) (1) (0) 02 ( )( , ) ( )1( ) ( ) 2 ( ) 0 (1)( ) ( ) ( ) ( )f _ f f ffa b f_ f _ _f _ f _f _ _f _f _ _f _¢ = = =¢ z¢¢ zÎ z =-z¢¢ ¢¢ ¢ z - - =¢ ¢¢¢ ¢ ¢¢ =例 设 在 上二阶可导，试证至少存在一

2、点 使得分析p ：把要证的式子中的 换成 ，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有 ，从 找打破口因为 ( ) (1)( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0( ) (1 ) ( ) ( )f _f _ f _ _f _ f _ f _ f _ _f _F _ _ f _ f _¢ +¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ - - + = Þ - - =¢ = - -，那么把 式变一下：这时要构造的函数就看出来了 原函数法ò-

3、ò-ò= = Þ= Þ + = Þ =¢zz z = z ¢ Î z $= =òd_ _ gd_ _ gd_ _ ge _ f _ FC C e _ fCe _ f C d_ _ g _ f _ g_ f_ f_ g ff g f b ab a _ g b f a f b a b a _ f) ( ) () () ( ln ) ( ) ( ln) () ( ) ( ) ( ) , ( , ) ( ) ( ) () , ( , ) (2很明显了 ，于是要构造的函数就 如今设换成 把 有关的放另一边，同样 有

4、关的放一边，与 如今把与方法 造的函数，于是换一种 是凑都不容易找出要构 分析p ：这时不管观察还使得 求证：上连续 在 ，又 内可导， 上连续，在 在 设 例两边积分00 一阶线性齐次方 程解法的变形法 0( ) ( )( ) , ( , ) ( ) 0( ) ( )( , ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( )pd_ pd_f pf p _u _ e F _ f ef _ a b c a b f cf f aa b fb af f afb af f a¢+=ò ò= = ×¢ Î =x -¢ xÎ

5、x =-x -¢ x -=-¢ Þ x -对于所证式为 型，其中 为常数或 的函数可引进函数 ，那么可构造新函数例：设 在 有连续的导数，又存在 ，使得求证：存在 ，使得分析p ：把所证式整理一下可得：11 ( ) ( ) 0 0( )C=0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) _ _d_b a b a b af f a f pfb au _ e e F _ e f _ f af b f af c f b f ab a- - -¢ - x - = + =-ò= = -¢ = = Þ =- ，这样就

6、变成了 型引进函数 令 ，于是就可以设注：此题在证明时会用到 这个结论 2、所证式中出现两端点 凑拉格朗日a ba af b bff f F_ _f _ Ff fa ba af b bfb ab a b a _ f-= z ¢ z + z = z ¢=z ¢ z + z =-Î z) ( ) ( ) ( ) (), ( ) () ( ) ( ) , () , ( , ) (3下 用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设 证的式子的特点，那么 分析p ：很容易就找到要使得 证明至少存在一点内可导 上连续，在 在 设 例 柯西定理数就很容易证明了 用柯西定理设

7、好两个函没有悬念了 于是这个式子一下变得分子分母同除一下 是穿插的，变换一下， 发现容易看出来了 这题就没上面那道那么的式子 分析p ：先整理一下要证，使得 至少存在一点 可导，证明在 在 ， 设 例) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () , ( , ) (41 21 22 1 2 12 12 12 12 11 1 21 21 22 12 1 2 1 2 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _e ee_ fe_ fe _ f e _ f ec f c fe e_ f e _ f ec f c f_ f _ fe ee ec _ _ _ _ _ f _ _-

8、62; - =-¢ - =-< <+ k k 值法。，用罗尔定理证明即可 记得回带，验证可知 那么进入第二步，设还是一样的 称式，也是说互换 很容易看出这是一个对整理得 设量的这个式子 的形式了，如今就看常 以此题为例已经是标准两边 常量的式子分写在等号 第一步是要把含变量与值法 方法叫做 在老陈的书里讲了一个呢？ 很好上面那题该怎么办 对柯西定理掌握的不是 分析p ：对于数四，假如仍是上题k_ F _ F k _ f e _ F_ _k _ f e k _ f e ke e_ f e _ f ek_ _ _ _) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9、(2 12 12 11 22 12 12 1= - =- = - =- - 泰勒公式法老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。3、所证试同时出现&_i;和&eta; 两次中值定理) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , () ( ) () , ( , ) (5h ¢ + h =-= = z ¢=-= h ¢ + h-= h ¢= ¢ h = h ¢ + h= h ¢ + h h z= h ¢ + h Î h z= =h zz hh hz hz - hf f ea be ee Ge _ Gea be ea be ef f ea ba f e b f eF_ f e _ F f e f f ee f f ef f eb f a f b a b a _ fa b_a b a ba b_得到 那么再用拉格朗日定理就 令 这个更容易看出来了，的关系就行了 与 只要找到再整理一下 利用拉格朗日定理可得，设 很容易看出子下手试一下 那么可以先从左边的式