流体运动几何学Kinematics

1、6.5本節看一些根本的平面勢流。速度勢函數滿足了線性的拉普拉斯方程式，於是速 度勢函數便有線性重疊的特性。也就是說，假设有拉普拉斯方程式的兩個解，那 麼這兩個解相加也是一個拉普拉斯方程式的解。至於流線函數是不是也滿足拉普拉斯方程式？前面提到流線函數時，它的定義是 自動滿足了連續方程式。假设流動是無旋性，A (dv:u代入流線函數的定義,tx I tx 丿 by 此時，流線函數也滿足了拉普拉斯方程式。另外，因為ddx dy 二 udx vdyexdy所以，沿著固定速度勢的一條線(等速度勢函數)，dy|u|const 0dxv而沿著一條流線上，dy| 屮Vconstdxu所以，等速度勢線與流線在流

2、場上，是互相垂直的(斜率相乘為負一)，而構成所謂的流動網(flow net)。均勻流(uniform flow)，u = U，v = 0，其速度勢函數與流線函數, 二Ux，即=Uy源流(source)及沉流(sink)，m設為每單位長度(垂直平面)的體積流率，徑向速 度是，Vrm In r，渦流(vortex)的速度勢及流線函數,R，Kl nr1时許 K二=7L Cr 少crr此渦流可以用速度勢來表示，代表它是無旋性。這並不奇怪，無旋性是指流體元 素不旋轉，不是指元素行進的路徑。假设流體是像一個剛體在旋轉，J - Kr，此時便沒有速度勢函數來描寫這種流動，它是有旋性的(rotational)。

3、稱為強制渦流(forced vortex)，相對而言，無旋性 渦流則稱為自由渦流(free vortex)。定義環量(circulation)為流場內一條封閉曲線上，切線速度分量的線積分,-=V ds積分是沿封閉曲線C逆時鐘方向進行。一般無旋流動中，環量等於零，:ds = J ds = cd =0但是如在曲線內有奇異點，例如自由渦流的原點，(rdR = 2*0 r這是前面定義自由渦流時所用 K的數學意義，rk 二2兀雙重流(doublet)是指一源流及一沉流重疊後，在兩者無限靠近的條件下，所得到 的速度流場，K是雙重流的強度，_ K cos 日 屮 _ K sin Br 'r(流場圖請

4、看課本)6.6討論幾個根本平面速度勢的重疊結果。因為流動並不會越過流線，我們可以將流 線當作一個流場的牆壁邊界。也就是說，只要一個流線函數內的某一條流線型狀 和一固體外型一樣，這個流線函數便能代表在這固體外的流場分布。例如看一均勻流與源流的重疊，可以得到繞過一半邊體的流場Fig. 6.24例如一均勻流加上源流和沉流，便可以得到繞過一朗肯橢圓體的流場。Fig. 6.25Fig. 6.26。流場可求例如一均勻流加上雙重流，便能得到一繞過圓柱體的流場 得如，a是圓柱體半徑，( 2 )屮=Ur 1 -葺!sin日< r2.丿丄(a2、 =Ur 1+p lcos°I r2丿c* 1評v

5、=r cr r 列a2 '=U 1!cos日< r2丿1 j '評a2! 口=-U 1 +盲!sin 日0i r丿注意此時在圓柱體外表上的r方向速度為零，但是二方向速度不為零,、二 2U sin v這是因為無粘滯性的假設使然。有了速度分布，便能利用伯努利關係，求外表上 的壓力分布，進而求出該圓柱體的受力狀況。在此，因為左右對秤，且上下對稱, 水平方向受力為零，垂直方向受力也為零。另外一個有趣的結果是在上面的速度勢，再加上一個自由渦流,一 . r屮=Ur 1IsinT In rI r丿r 2、La© =Ur 1 + cos6 +i r2:,a根據環量與圓柱半徑的大小，流場會有不同，Fig. 6.29。圓柱體外表速度為，評a V |r - 2U si nr cr我們可以將一個旋轉的圓柱體放入一均勻流動的流場中，來近似如此的流動。圓 柱體的外表壓力還是由伯努利方程式來求得，因