xmx-09章_压杆稳定

1、2材料力学的材料力学的三大任务三大任务 保证材料或结构在服役期间，具备以下能力：保证材料或结构在服役期间，具备以下能力：2、抵抗、抵抗变形变形的能力的能力3、保持原有平衡状态保持原有平衡状态的能力的能力1、抵抗、抵抗破坏破坏的能力的能力强度强度刚度刚度稳定性稳定性螺纹千斤顶Screw jack薄 壁 容 器 T h i n -walled containerP Pcr北京市顺义减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌北京市顺义减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌压杆失稳破坏的实例压杆失稳破坏的实例Collapse of World Trade Center 6平衡构形平衡构形结构或构件在载

2、荷作用下保持平衡的位置。结构或构件在载荷作用下保持平衡的位置。平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性结构或构件在载荷作用下结构或构件在载荷作用下保持其初始平保持其初始平衡构形的能力衡构形的能力；经历任意微小干扰能否回到原有平衡构形。；经历任意微小干扰能否回到原有平衡构形。几个基本概念几个基本概念失稳失稳(instability)：构件或体系丧失原有平衡状态的稳定性。构件或体系丧失原有平衡状态的稳定性。7粗短压杆粗短压杆强度破坏强度破坏91 压杆稳定的概念压杆稳定的概念低碳钢短柱：屈服破坏低碳钢短柱：屈服破坏铸铁短柱：剪切破坏铸铁短柱：剪切破坏sb8细长压杆细长压杆失稳破坏失稳破坏9FF正直变形状态是

3、正直变形状态是稳定的稳定的F1干干扰扰力力细长压杆细长压杆失稳破坏失稳破坏1、当、当F 较小时，变形状态为较小时，变形状态为正直变形状态正直变形状态：横向尺寸增大，纵：横向尺寸增大，纵向尺寸缩短。向尺寸缩短。FFcrFFcr拆拆除除干干扰扰力力后后2、当、当F 较大或杆足够细长时，微小干扰拆除后，形成另外一种较大或杆足够细长时，微小干扰拆除后，形成另外一种弯曲变形状态弯曲变形状态，且无法恢复到原来的正直变形状态。即：原有平，且无法恢复到原来的正直变形状态。即：原有平衡状态丧失，称压杆衡状态丧失，称压杆失稳失稳或或屈曲屈曲(buckling)。FFcrFFcrFFcr正直变形状态是正直变形状态是

4、稳定的稳定的F1干干扰扰力力FFcrFFcr拆拆除除干干扰扰力力后后弯曲变形状态是弯曲变形状态是稳定的稳定的11临界临界( (压压) )力力(critical force) ：压杆：压杆临界平衡状态临界平衡状态时所受的轴向压力。时所受的轴向压力。 Fcr或或 使压杆使压杆保持正直变形状态保持正直变形状态所能承受的所能承受的最大轴向压力最大轴向压力。或或 使压杆使压杆达到弯曲平衡状态达到弯曲平衡状态( (失稳失稳) )所需所需的的最小轴向压力最小轴向压力。本章需要回答：轴向载荷本章需要回答：轴向载荷F=？时，才会出现失稳时，才会出现失稳？临界平衡状态临界平衡状态：压杆处于正直平衡状态与弯曲平衡状

5、态之间的临：压杆处于正直平衡状态与弯曲平衡状态之间的临界状态。界状态。两重性：既可在两重性：既可在直线状态直线状态保持平衡，又可在保持平衡，又可在弯曲状态弯曲状态维持平衡。维持平衡。 12mM(x)xwFwxF(b) 假设假设理想压杆理想压杆处处于于临界平衡状态临界平衡状态的微弯状态的微弯状态，材，材料处于料处于线弹性线弹性范范围。距离原点围。距离原点x处处截面截面m的挠度为的挠度为w=w(x)。wxm l/2xwFlF(a) 92 细长压杆的临界力细长压杆的临界力13由图由图( (b) )所示分离体的平衡可知所示分离体的平衡可知：0EIwFw则挠曲线近似微分方程为：则挠曲线近似微分方程为：

6、M xF w 右端取负号，是因为在所选定的坐标内，右端取负号，是因为在所选定的坐标内，w为正时为正时，M(x)为负。为负。令令2FkEI则则20wk wM(x) = -FwxwFwxF(b) m( )M xwEI挠曲线近似微分方程：14微分方程的通解微分方程的通解：边界条件边界条件：sincoswAkxBkx(0)( )0ww l00sincos0ABAklBkl 0sin0BAklsin0kl0,1,2,3,klnn 2220,1,2,3,nEIFnl 0A 2222nkl20wk w2FkEI而wxml/2xwFlF(a) 2FkEI152mincr2EIFl故 由由于临界力于临界力F是使

7、压杆失稳的最小压力，故是使压杆失稳的最小压力，故n应应取不为零的最小值，即取取不为零的最小值，即取n=1。上式即上式即为为两端铰支两端铰支细长压杆临界力细长压杆临界力Fcr 的的欧拉公式欧拉公式，由欧拉由欧拉（L.Euler）于于1744年首先导出。年首先导出。l压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的纵向平面内发生，压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的纵向平面内发生，I 应该是截面的应该是截面的最小惯性矩最小惯性矩。2cr2EIFl2220,1,2,3,nEIFnlwxml/2xwFlF(a) l n=1, 表示失稳曲线仅有一个半波表示失稳曲线仅有一个半波. l I 应当选取最小惯性矩应当选取最小惯性矩bh

8、xy例如例如: :两端铰支压杆两端铰支压杆, I = Imin= IyPcr9Pcr4Pcrn = 1n = 2n = 3n称为半波数称为半波数2cr2EIFlsinwAkx两端铰支细长压杆挠度：0,1,2,nknl2220,1,2,nEIFnl取取n=1,EI21crFll Fcr失稳曲线、边界条件不同失稳曲线、边界条件不同约束不同约束不同crP 不同?Pcr支承对支承对压杆临界载荷的影响（比较长度法）压杆临界载荷的影响（比较长度法）PcrPcrPcrl / 2l / 4l / 4l22)2(lEIPcrPcrl2lPcrl0.7lPcr22)2(lEIPcr22)7 . 0(lEIPcr1

9、9 对对于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：可写成统一的形式： 2cr2()EIFl式中，式中， 称为称为长度系数长度系数，与杆端的约束情况有关。，与杆端的约束情况有关。 l 称为称为相当长度相当长度(equivalent length) 。 其它支承条件下细长压杆临界压力公式其它支承条件下细长压杆临界压力公式欧拉公式的一般形式欧拉公式的一般形式20表表91 各种支承条件下细长压杆的临界力各种支承条件下细长压杆的临界力 支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定一端固定一端固定一端自由一

10、端自由失稳时挠曲线形状失稳时挠曲线形状临界力临界力长度系数长度系数lFcr =1 =0.7 =0.5 =22llFcr22lEIFcr22rc)7 . 0(lEIF22)5 . 0(lEIFrc22(2 )crEIFllFcr0.7llFcr21一、欧拉公式的应用范围一、欧拉公式的应用范围1、实验表明、实验表明：粗短压杆粗短压杆没有失稳现象；没有失稳现象；中等长度的压杆中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力并不符合；失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力并不符合；细长压杆细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。93 欧拉公式的应用范围欧

11、拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图2、临界应力临界应力 cr：为量化欧拉公式的适用范围，定义临界力为量化欧拉公式的适用范围，定义临界力Fcr除以除以压杆横截面面积压杆横截面面积A为为临界应力临界应力。crcrFA222crcr2()FEIAlA则则引入压杆引入压杆长细比长细比或或柔度柔度(slenderness ratio) ：il2cr2E式中式中 为为压杆横截面对中性轴的压杆横截面对中性轴的惯性半径惯性半径。iI A挠曲线挠曲线的近似微分方程建立在虎克定律基础上，因此只有的近似微分方程建立在虎克定律基础上，因此只有材料在线弹性范围内工作材料在线弹性范围内工作时，即只有时，即只有 cr

12、 p时，欧拉公式时，欧拉公式才能适用。才能适用。 222()Eil22El i23O p p cr欧拉临界应力曲线欧拉临界应力曲线 通常称通常称 p的压杆为的压杆为大柔度杆大柔度杆或或细长压杆细长压杆(long column)。欧拉公式的应用范围：欧拉公式的应用范围：则：则：2crP2E2PEP24二、二、中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力 如如果压杆的柔度果压杆的柔度 p，则临界应力则临界应力 cr大于材料的比例大于材料的比例极限极限 p，此时欧拉公式不再适用。此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通常采用以试验结果为基础的对于这类压杆，通常采用以试验结果为基础的经验公式经验公式来来

13、计算其临界应力。计算其临界应力。直线公式直线公式barc 式中，式中，a和和b是与材料有关的常数是与材料有关的常数。25 公式适用范围公式适用范围：临界应力不能大于极限应力（塑性材料为屈：临界应力不能大于极限应力（塑性材料为屈服极限服极限s，脆性材料为强度极限，脆性材料为强度极限b ）。）。ssab满足此条件的杆称为满足此条件的杆称为中柔度杆中柔度杆或或中长压杆中长压杆(intermediate column)。 塑性材料：塑性材料： s p , 脆性材料：脆性材料： b p, bbab s( (或或 b) )的压杆称为的压杆称为小柔度杆小柔度杆或或短粗杆短粗杆(short column)，属

14、，属强度破坏强度破坏，其临界应力其临界应力cr为极限应力为极限应力s( (或或b) ) 。 cr.()uuuusbaabb为或者barc26三、三、压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图：压杆临界应力：压杆临界应力 cr与柔度与柔度 之间的关系曲线。之间的关系曲线。 (1)大柔度杆大柔度杆： p，按按欧拉公式欧拉公式计算；计算；直线型经验公式的直线型经验公式的压杆临界应力总图压杆临界应力总图Oppcrsscr=scr=a-b 2cr2E(2)中柔度杆中柔度杆： s p， 按按直线型经验直线型经验公式公式计算；计算；(3)小柔度杆小柔度杆： 2，因此该杆因此该

15、杆将将在在xy平面内失稳平面内失稳。此时此时 = 1=138.6 P，该杆属于大柔度杆，应采用欧拉公式计算其临界应力。该杆属于大柔度杆，应采用欧拉公式计算其临界应力。2211223.142 10102.7MPa138.6crE 则：则：6630 50 10102.7 1051.35KN3crcrcrstststFAb hFnnn 故：压杆可承受的最大工作载荷为故：压杆可承受的最大工作载荷为Fmax=51.35KN。bhylhFFxbFFzx P=100， s=55E=200GPanst=3502044112.75cm ,-1.52cm,198.0cm ,25.6cmzyAzII42 19839

16、6cmzI 2102 (/ 2) yyIIAza22 25.612.75 (1.52/2) a219825.6 12.74(1.52/2)a例例8 图示立柱由两根图示立柱由两根10号槽钢组成，上端为球铰，下端固定，柱长号槽钢组成，上端为球铰，下端固定，柱长l= =6m，试问，试问两槽钢距离两槽钢距离a值取多少时，立柱的临界压力刚好达到最大？其值为多少？已知值取多少时，立柱的临界压力刚好达到最大？其值为多少？已知材料材料E=200GPa, , P=200MPa。解解: :两根槽钢图示组合之后，两根槽钢图示组合之后，Fl对于单个对于单个10号槽钢，形心在号槽钢，形心在C1点点，查表，查表P.326

17、知知: : 求求a取值：取值：无论无论a多大，多大，Iz不变；而不变；而Iy逐渐增大，由小于逐渐增大，由小于Iz增增大到大于大到大于Iz 。因此，只要选择适当的因此，只要选择适当的a，使，使Iz=Iy即可。即可。令令Iz=Iy得：得：4.314cm.ayy1yc1az0z512cr221142442.3.142 102 12.75 107kN106.57crE AFA由由欧拉公式欧拉公式得临界压力得临界压力求最大临界压力值求最大临界压力值 此时，立柱的惯性半径及柔度分别为：此时，立柱的惯性半径及柔度分别为：20.76106.573.941 10li2 1983.942 12.75zIicmA而

18、：而：296200 103.1499.3200 10PPEP显然：显然：Flyy1yc1az0z42 198396cmzI 22 12.75cmAl= =6mE=200GPa, , P=200MPa52例例9 一根一根20a号工字钢的直杆，长号工字钢的直杆，长l= =6m，两端固定。在温度，两端固定。在温度T1=200C时进行安时进行安装，此时杆不受力。若钢的热膨胀系数装，此时杆不受力。若钢的热膨胀系数a a1.251.25101055/oC，E=210GPa, , P=200MPa。试问：当温度升高到多少度时，杆将丧失稳定？。试问：当温度升高到多少度时，杆将丧失稳定？解解: :查表查表P.3

19、29，得，得20a号工字钢：号工字钢：A=35.58cm2, Imin=158cm4,对应的对应的惯性半径为惯性半径为i=2.12cm229P6P3.14200 10102200 10E20.5 61422.12 10liP2211cr223.142.1 10102.8MPa142E591.25 10210 10262.5TTTE Ta当当 时，杆将失稳，则：时，杆将失稳，则：Tcr6262.5102.8 10To39.16 CT 故故: :o212039.1659.16 C.TTT 求求 cr 求温度升高求温度升高F53思考：考虑构件的稳定性，求许可载荷思考：考虑构件的稳定性，求许可载荷F=

20、F=？ACD杆刚性PPABCxyl 8 . 0l 5 . 1mmd80yzmm60mm80il . 杆：杆：AB7 . 0 mlAB4 . 2 84 AB 杆：杆：BC1 mlBC5 . 4 AIiyy AIizz 32b32hyzii .BCyli260 P=100, S=61.4， a=310 MPa, b=1.14 Mpa, nst =2.5。54PPABCxyl 8 . 0l 5 . 1mmd80杆：杆：AB84sABpAPcrcr. ()crab1028()KN杆：杆：BC260pBC22 Ecr MPa1 .29 APcrcr. KN140maxP stcrnPP max5 . 2

21、140 KNP56max P=100, S=61.4， a=310 MPa, b=1.14 Mpa, nst =2.5yzmm60mm805584 AB yBCil . 260QCDABFEbbb2ABFEQCENDFNCEDFNN ABFEQcrCEPcrDFPcrDFcrCEPP Q杆先失稳杆先失稳DFh561crP2crP31 416624 10P2432200241032 1164crP. kN12crcrPP213 5210AcrcrMPPP max.327 53 5crPPmax.kN9-提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施22crEFAliiI A591.1.细长压杆：细长压

22、杆：提高弹性模量提高弹性模量E E2.2.中粗压杆和粗短压杆：中粗压杆和粗短压杆：提高材料强度提高材料强度s s （b b）1.1.采用合理的截面形状：采用合理的截面形状： 各方向约束相同时：各方向约束相同时： a. a.采用采用各方向惯性矩各方向惯性矩 I I 相等相等（最大和最小惯性矩相等）（最大和最小惯性矩相等）的截面。的截面。 b.b.增大惯性矩增大惯性矩I I尽量使截面材料远离截面的中性轴，尽量使截面材料远离截面的中性轴， 采用空心截面或组合截面较好；采用空心截面或组合截面较好； 压杆两方向约束不同时：压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等使两方向柔度接近相等，可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字，可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。形等。（二）、从柔度方面考虑（二）、从柔度方面考虑（一）、从材料方面考虑（一）、从材料方面考虑6022crEFAliiI A2.2.减少压杆支承长度：减少压杆支承长度： 直接减少压杆长度直接减少压杆长度； 增加中间支承增加中间支承； P P3.3.加固杆端约束：加固