2.22.2.1+2.2.2+2.2.3

1、.2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换1.掌握恒等、伸压、反射变换的特点，熟知常用的恒等、伸压、反射变换矩阵的特点.2.理解恒等、伸压、反射变换的矩阵表示及其几何意义.3.能用矩阵变换把平面上的直线变成直线或点.根底·初探1.恒等变换对平面上任何一点向量或图形施以矩阵对应的变换，都能把自身变成自身.因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所施行的对应变换称为恒等变换.我们把矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E.2.伸压变换矩阵M1把平面上每一个点P都沿y轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x轴上的点没变；矩阵M2把平面上每一个点P都沿x轴方向伸长为原来

2、的2倍，只有y轴上的点没变.像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换.3.反射变换1反射变换的概念像，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形F的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点.2反射变换的分类与矩阵M1对应的变换是关于x轴的轴反射变换.与矩阵M2对应的变换是关于y轴的轴反射变换.与矩阵M3对应的变换是关于原点的中心反射变换.与矩阵M4对应的变换是

3、关于直线yx的轴反射变换.4.线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换.考虑·探究1.设单位向量i0，1，j1，0，以i，j为邻边的正方形称为单位正方形，那么单位矩阵对单位正方形作用后得到一个什么样的图形？【提示】由于Ei，Ej.所以单位矩阵对单位正方形作用后的图形仍为单位正方形.2.如何理解伸压变换？【提示】伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸.以矩阵为例，它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变，x轴上方的点垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的

4、一半，而x轴下方的点也垂直向x轴压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为x轴上的点的纵坐标都为0，所以“原地不动.类似地，对应的变换那么是将平面上点的纵坐标保持不变，将y轴左边的点的横坐标向左拉伸为原来的2倍，y轴右边的横坐标向右拉伸为原来的2倍，而y轴上的点的横坐标都为0，所以“原地不动.3.反射变换的作用是什么？【提示】根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点向量或平面图形变为它的轴对称或中心对称图形.质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：伸压变换的应用求直线y4x在矩阵对应的变换作用下所得的图形. 【导学号：306

5、50011】【精彩点拨】矩阵对应的是沿y轴方向的伸压变换，它使得平面上的点变换前后横坐标保持不变，而纵坐标变为原来的一半，从而可用求轨迹方程的代入法相关点法求其轨迹.【自主解答】任意选取直线y4x上的一点Px0，y0，它在矩阵对应的变换作用下变为Px0，y0，那么有.那么有：故又因为点P在直线y4x上，所以y04x0，即有2y04x0.因此y02x0，从而直线y4x在矩阵作用下变成直线y2x.利用伸压变换解决问题的类型及方法：1曲线C与变换矩阵，求曲线C在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法相关点法求解.2曲线C是曲线C在伸压变换作用下得到的，求与伸压

6、变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程组求解.1假设将本例变为：一直线l在矩阵对应的变换作用下变成直线y2x，求该直线的方程.2假设本例变为：直线y4x在二阶矩阵M对应的沿y轴方向伸压变换作用下变成了另一条直线y2x，试求矩阵M.【解】1任意选取直线l上的一点Px0，y0，它在矩阵对应的变换作用下变为Px0，y0，那么有那么有.又因为点Px0，y0在直线y2x上，所以y02x0，即有y02x0，因此y04x0，从而求得该直线为y4x.2设Px0，y0为直线y4x上的任意一点，Px0，y0是Px0，y0在矩阵M对应的伸压变换作用下得到的点，那么此点在直线y2x上.

7、设伸压变换矩阵为k0，那么有，即所以将其代入y4x中，得4x0y0，即y04kx0.又y02x0，4k2，得k，所以所求矩阵为.反射变换的应用求直线y6x在矩阵对应的变换作用下所得的图形的表达式.【精彩点拨】先求出y6x上任意一点Px0，y0在矩阵对应的变换作用下得到点Px0，y0的坐标，再用代入法求解.【自主解答】任意选取直线y6x上的一点Px0，y0，设它在矩阵对应的变换作用下得到的点为Px0，y0，那么有，所以又因为点Px0，y0在直线y6x上，所以y06x0，那么有x06y0.所以y0，从而可知直线y6x在矩阵对应的变换作用下变成直线y.求曲线C或点在反射变换下得到的曲线C的表达式或点

8、的坐标同伸压变换，使用代入法相关点法.在平面直角坐标系xOy中，直线ykx在矩阵对应的变换下得到的直线过点P4，1，务实数k的值. 【导学号：30650012】【解】设变换T：，那么，即代入直线ykx，得xky.将点P4，1代入上式，得k4.真题链接赏析教材第16页例2验证圆C：x2y21在矩阵A对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.圆C：x2y21在矩阵Aa0，b0对应的伸压变换下变为椭圆x21，试求a，b的值.【命题意图】此题主要考察求伸压变换T作用下得到的曲线的方程，同时考察了函数方程思想、转化与化归思想.【解】设Px0，y0为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点Px0，

9、y0，那么，所以即又点Px0，y0在圆C：x2y21上，所以xy1，所以1，即1.由条件可知，椭圆方程为x21.所以a21，b24.因为a0，b0，所以a1，b2.1.恒等变换将直线x2y10变换为_.【解析】恒等变换保持原图形不变.【答案】x2y102.如图2­2­1，把ABC变成ABC的变换矩阵可能是_.其中A0，1，B1，0，C0，1，A0，1，B2，0，C0，1图2­2­1【解析】注意到变换后三角形上的每个点的横坐标变为原来的2倍，而纵坐标保持不变，它可能对应的是沿x轴方向的伸压变换，对应的变换矩阵为M.【答案】 3.函数yx2在矩阵M变换作用下的结果为_. 【导学号：30650013】【解析】代入yx2，得：yx2.把x，y换