2024-2025学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i2025A.0 B.1 C.i D.−i2.某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(

)A.三次都没有中靶 B.三次都中靶 C.至多一次中靶 D.只有一次中靶3.菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60°，AB⋅BC=A.3 B.−2 C.2 D.4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中∠O′B′A′=90°，A′B′=1，则AB=(

)A.1

B.2

C.2

D.5.已知α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，下列结论中正确的是(

)A.若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β

B.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

C.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

D.若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，m//n，则l//n6.如图，某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离，从C点测得M点的仰角∠MCA=45°，N点的仰角∠NCB正弦值为35，∠ACB=60°，旗杆AM高10米，教学楼BN高15米，则MN=(

)A.63米

B.413米

C.5137.已知样本数据x1，x2，⋯，x2025的平均数和方差分别为a，b，样本数据y1，y2，⋯，y2025的平均数和方差分别是b，a，若A.5 B.17 C.20 D.20258.现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球(标号分别为1、2、3)，3个绿球(标号分别为1、2、3)，按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的概率分别为p1，p2，p3，则A.p1>p2>p3 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若虚数z1，z2是方程x2−x+1=0A.|z1|=|z2| B.z10.已知三个随机事件A，B，C，概率均不为0，下列说法正确的有(

)A.若A⊆B，则P(AB)=P(A)

B.若A，B互斥，P(A∪B)=0.6，P(B)=0.2，则P(A−)=0.6

C.若P(A∪C)=P(B∪C)，则P(A)=P(B)

D.若11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是AD，DDA.过B1，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是四边形

B.存在点P，使得FP//平面ABC1D1

C.FP+B1P的最小值为17

D.若FP⊥CP，则点P轨迹的长度为12.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,13.在等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=π3，BC=3AD=3，该梯形绕直线AD旋转一周形成的面围成的几何体体积为______．14.如图，平面凸四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD.∠ACD=30°，则tan∠BDC=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知点O(0,0)，向量OA=(2,3),OB=(4,−3),OC=(1,λ)．

(1)若OC⊥AB，求λ的值；

(2)若点P在线段16.(本小题15分)

某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由8名评委进行评分，评分如下：71，73，76，79，81，83，86，91

第二轮由100名社区居民进行评分，将居民的评分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，并画出其频率分布直方图(如图)．

(1)求a的值并估计这100名居民评分的中位数；

(2)若第一轮评分的平均分为x−，第二轮评分的平均分为y−(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).记z=xz的取值z<140140≤z<160z≥160满意度等级不满意满意非常满意试估计该社区建设满意度等级．17.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinCb+c=1

(1)求角A；

(2)若a=6，O为平面18.(本小题17分)

品酒师测试通常采用的方法如下：拿出3瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这3瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.分别以a1，a2，a3表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，令X=|a1−1|+|a2−2|+|a3−3|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有X=0，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有X≤2，且至少有一轮测试出现X≠0，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号，甲没有任何品酒经验，采用随机猜测的方法排序．

(1)试列出甲每轮测试第二次排序时所有可能的结果(a1,a2,a19.(本小题17分)

如图，△ABC与△BCD所在平面互相垂直，在直角三角形△ABC中，AB=AC，在△BCD中，BC⊥BD，∠BCD=60°，点E、F分别在线段BD、CD上，将△DEF沿直线EF向上翻折，使点D与点A重合．

(1)证明：AC⊥AE；

(2)求直线AF与平面ABE所成角的正弦值；

(3)判断四棱锥A−BEFC是否存在外接球，若存在，求出外接球半径，若不存在说明理由．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：i4=1，

则i2025=i4×506+1=i．

2.【答案】A

【解析】解：某人打靶时连续射击三次，

“至少一次中靶”的对立事件是“三次都不中靶”．

故选：A．

根据对立事件的定义判断．

本题考查对立事件的定义等基础题，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C

【解析】解：AB⋅BC=|AB||AC|cos<4.【答案】D

【解析】解：根据题意，直观图△O′A′B′是等腰直角三角形，则O′B′=A′B′=1，O′A′=2，

由斜二测画法还原原图，

在原图△OAB中，OB=2O′B′=2,OA=O′A′=2，

则AB=22+(25.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或α/​/β，A错误；

对于B，若m⊂α，α⊥β，则m//β或m，β相交或m⊂β，B错误；

对于C，若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，m/​/n，此时推不出α/​/β，C错误；

对于D，如图，

α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，

因为m/​/n，m⊂β，n⊄β，所以n/​/β，

又α∩β=l，n⊂α，所以l/​/n，D正确．

故选：D．

ABC可举出反例；D可先证明n/​/β，再由线面平行的性质得到线线平行；

本题考查空间平面与平面的位置关系，涉及平面与平面垂直的性质，属于基础题．6.【答案】C

【解析】解：△AMC中，∠MCA=45°，所以AC=AM=10，

△BCN中，sin∠NCB=35，又BN=15，所以CN=25，从而BC=20，

△ABC中，AB=102+202−2×10×20×cos60°=310，

MN=AB27.【答案】A

【解析】解：因为yi=2xi−7(i=1,2,⋯,2025)，

所以b=2a−7a=4b，

解得b=1a=4，

所以4=(y1−1)2+(y2−1)2+…+(y2025−1)22025，

所以4=y12+y8.【答案】D

【解析】解：根据题意，按方式①进行抽取，由于有放回依次抽取两球，抽球的总方法数为6×6=36，

其中标号之和大于4有：红2红3，红2绿3，红3红2，红3红3，红3绿2，红3绿3，绿2绿3，绿2红3，绿3绿2，绿3红2，绿3红3，绿3绿3，共12种抽球方法，

则p1=1236=13；

方式②进行抽取，由于不放回依次抽取两球，抽球的总方法数为6×5=30，

其中标号之和大于4有：红2红3，红2绿3，红3红2，红3绿2，红3绿3，绿2绿3，绿2红3，绿3绿2，绿3红2，绿3红3，共10种抽球方法，

则p2=1030=13；

方式③进行抽取，由于按颜色等比例分层抽取两球．即红、绿各取一个，抽球的总方法数为3×3=9，

其中标号之和大于4有：红2绿3，红3绿2，红3绿3，共3种抽球方法，

则9.【答案】ACD

【解析】解：先求方程x2−x+1=0的虚数根，由求根公式x=1±1−42=1±−32=12±32i，

设z1=12+32i，z2=12−32i．

对于A，|z1|=(12)2+(32)2=110.【答案】ABD

【解析】解：对于A，∵A⊆B，事件AB发生就相当于事件A发生，

∴P(AB)=P(A)，故A正确；

对于B，∵A，B是互斥事件，

∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6，

∴P(A)=0.4，P(A−)=1−P(A)=0.6，故B正确；

对于C，如抛掷一枚骰子，统计抛得的点数，

记事件C=Ω={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={1,3}，

满足P(A∪C)=P(B∪C)，

∵P(A)=12>P(B)=13，故C错误；

对于D，∵A=AB+AB−,B=BA+BA−，AB,AB−互斥，BA,BA−互斥，

∴P(A)=P(AB)+P(AB−),P(B)=P(BA)+P(BA−)，

∵P(A11.【答案】BC

【解析】解：

A选项，设直线EF与直线AA1，A1D1分别交于点G，Q，

连接B1G交AB于点H，连接B1Q交C1D1于点K，

因此过B1，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是五边形EFKB1H，因此A选项错误；

B选项，取BC的中点为M，连接EM，MF，因点E，F分别是AD，DD1的中点，则EF/​/AD1，

因EF⊄平面ADD1，AD1⊂平面ADD1，则EF/​/平面ABC1D1，

又EM/​/AB，同法可得EM/​/平面ABC1D1，

因EF∩EM=E，EF，EM⊂平面EFM，因此平面EFM/​/平面ABC1D1，

取点P∈EM，则PF⊂平面EFM，则PF/​/平面ABC1D1，因此B选项正确；

C选项，作出点B1关于平面ABCD的对称点B1′，连接FB1′，交平面ABCD于点P，

因此时PB1=PB1′，FB1′即为最小值，

取BB1的中点J，连接FJ，易得FJ=22，则FB1′=(22)2+32=17，因此C选项正确；

D选项，以CD为直径作半圆，当点P为半圆上的点时，CP⊥DP，

因FD⊥平面ABCD，CP⊂平面ABCD，则FD⊥CP，

又FD∩DP=D，FD，DP⊂平面FDP，因此CP⊥平面FDP，

12.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．

由题意可得a⋅b=0，<b,c>=<【解答】

解：由题意可得a⊥b，

∴a⋅b=0，<b,c>=<a,c>=45°，

∴b⋅c=13.【答案】7π

【解析】解：作出示意图如下：

该梯形绕直线AD旋转一周形成的面围成的几何体是一个圆柱去掉两个与其有公共底面的小圆锥．

因BC=3AD=3，∠ABC=π3，则梯形的高AH=3−12tanπ3=3，

圆柱的底面圆半径OC=AH=3，小圆锥的高DO=3−12=1，14.【答案】3【解析】解：设AB=1，根据题意可知，在直角三角形ABC中，AB⊥BC，AD⊥AC，

AC平分∠BCD，则∠ACB=∠ACD=30°，

∴有BC=3,AC=2，

而在直角三角形ADC中，AD⊥AC，∠ACD=30°，AC=2，

∴AD=233,CD=433，

在三角形BCD中，BC=3,CD=433，∠BCD=60°，

根据余弦定理，则BD=3+163−2×15.【答案】λ=13；

(8,−15)【解析】(1)∵点O(0,0)，向量OA=(2,3),OB=(4,−3),OC=(1,λ)，

∴AB=OB−OA=(2,−6)，

∵OC⊥AB，∴OC⋅AB=2−6λ=0，

解得λ=13；

(2)设P(x,y)，

∵点P在线段AB的延长线上且|AP|=32|PB|，

∴AP=16.【答案】a的值为0.020，中位数为78；

满意．理由见解析．

【解析】(1)(0.010+a+0.025+0.030+0.015)×10=1，a=0.020，

因为0.1+0.2=0.3<0.5，0.3+0.25=0.55>0.5，

因此100名居民评分的中位数位于区间[70,80)，

设居民评分的中位数为x，

则0.3+(x−70)×0.025=0.5，x=78；

(2)x−=18(71+73+76+79+81+83+86+91)=80，

y−=55×0.1+65×0.2+75×0.25+85×0.3+95×0.15=77，

因此z=x−+y−=80+77=157∈[140,160),

因此该社区建设满意度等级为满意．

(1)根据频率之和为1得到方程，求出a=0.02017.【答案】A=π3；

【解析】(1)由acosC+3asinCb+c=1，得：acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

因sinB=sinAcosC+cosAsinC，

代入整理得：3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因为sinC≠0，所以3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12，

由0<A<π可得−π6<A−π6<5π6，故A−π6=π6，即A=π3；

(2)

根据题目可得O为△ABC的重心，

所以S△BOC=13S△ABC18.【答案】Ω={(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}；

29；

711296【解析】(1)所有可能的(a1,a2,a3)构成的样本空间：

Ω={(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}．

(2)令A表示事件“X=0”，B表示事件“X=2”，C表示事件“X=4”．

由(1)知道事件A包含样本点(1,2,3)，事件B包含样本点(1,3,2)，(2,1,3)，

事件C包含样本点(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，

因此P(A)=16，P(B)=13，P(C)=12，

甲参加第一轮测试X值记为X1，参加第二轮测试X值记为X2，

记事件D1=“X1=0，X2=2”，D2=“X1=2，X2=0”，

D3=“X1=2，X2=2”，

则D=D1∪D2∪D3，

因此P(D1)=P(X1=0)⋅P(