2.2.1　双曲线及其标准方程

1、.2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义1,2,11双曲线的标准方程3,4,5与双曲线定义有关的轨迹问题6,8综合问题7,9,10,12,13【根底稳固】1.M-2,0,N2,0,|PM|-|PN|=4,那么动点P的轨迹是CA双曲线B双曲线左支C一条射线D双曲线右支解析:因为|PM|-|PN|=4=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.应选C.2.双曲线x225-y29=1上的点到一个焦点的间隔 为12,那么到另一个焦点的间隔 为AA22或2B7C22 D2解析:因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=10,由题意知|PF

2、1|=12,所以|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=22或2.应选A.3.2019洛阳高二月考方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,那么k的取值范围是AA-1,1B0,+C0,+D-,-11,+解析:由题意得1+k1-k0,所以k-1k+10,所以-1k1.应选A.4.设动点P到A-5,0的间隔 与它到B5,0间隔 的差等于6,那么P点的轨迹方程是DAx29-y216=1 By29-x216=1Cx29-y216=1x-3Dx29-y216=1x3解析:由题意知,动点P的轨迹应为以A-5,0,B5,0为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为x29

3、-y216=1x3.应选D.5.2019大连双基检测双曲线x2m2+12-y24-m2=1的焦距是CA4B22 C8D与m有关解析:因为a2=m2+12,b2=4-m2,c2=a2+b2=16,所以c=4,所以焦距2c=8.应选C.6.2019龙泉驿区高二月考一动圆P过定点M-4,0,且与圆N:x-42+y2=16相切,那么动圆圆心P的轨迹方程是CAx24-y212=1x2Bx24-y212=1x2Cx24-y212=1 Dy24-x212=1解析:由题知|PN|-|PM|=4,2a=4,2c=8,所以b=23,所以动圆圆心P的轨迹方程为x24-y212=1,应选C.7.F1,F2为双曲线C:

4、x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,那么|PF1|PF2|等于.解析:在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|PF1|-|PF2|2+|PF1|PF2|,即222=22+|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=4.答案:48.椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1,F2,动点P满足|PF1|-|PF2|=4.求动点P的轨迹E的方程.解:由椭圆的方程可化为x232+y216=1得|F1F2|=2c=232-16=8,|PF1|-|PF2|=49,所以点P只能在双曲线的左支上.答案:|PF2|=1712.设

5、有双曲线x24-y29=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.1假设F1MF2=90,求F1MF2的面积;2假设F1MF2=120,F1MF2的面积是多少?假设F1MF2=60,F1MF2的面积又是多少?3观察以上计算结果,你能看出随F1MF2的变化,F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2不妨设r1r2,=F1MF2,因为SF1MF2=12r1r2sin =12r1r2,所以只要求r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.1由双曲线方程知a=2,b=3,c=13,由双曲线定义,有|r1-r2|=2a=4,两边平方得r12+

6、r22-2r1r2=16,又r12+r22=|F1F2|2,即|F1F2|2-4SF1MF2=16,也即52-16=4SF1MF2,求得SF1MF2=9.2假设F1MF2=120,在MF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos 120=r1-r22+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得SF1MF2=12r1r2sin 120=33.同理可求得假设F1MF2=60,SF1MF2=93.3由以上结果可见,随着F1MF2的增大,F1MF2的面积将减小.证明如下:SF1MF2=12r1r2sin .由双曲线定义及余弦定理,有(r1-r2)2=4a2,r12+r22-2r1r2cos=4c2.-得r1r2=4c2-4a22(1-cos),所以SF1MF2=(c2-a2)sin1-cos=b2cot2.因为0,所以022,在0,2内,cot2是减函数.因此当增大时,SF1MF2=b2cot2减小.【探究创新】13.当0180时,方程x2cos +y2sin =1表示的曲线如何变化?解:1当=0时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1.2当090时,方程为x21cos+y21sin=1.当045时,01cos1sin,它表示焦点在y轴上的椭圆.当=45时,它表示圆x2+y2=2.当451sin0,它表示