方程的根竞赛典型题

1、例：xR,求410+x+47-x=3的根.解：（换元法）设u=410+x，v=410+x, 则u4+v4=17 ···记为（1）式，u+v=3 ·····记为（2）式因为（u2+v2）2-2u2v2=u4+v4=17即（(u+v)2-2uv）2-2u2v2=u4+v4=17 ····记为（3）式将（2）式代入（3）式中，可得（9-2uv）2-2u2v2=17可解得uv=2或者uv=16（舍去）联立方程uv=2 u+v=3.解得u=1且v=2或者u=2且v=1.当u=1且v=2

2、时，u=410+x=1，解得x=-9；当u=2且v=1时，u=410+x=2，解得x=6.关于不定方程的题目：已知a,b,c是整数，且满足a+b=3,c2-2c+ab=-2,求a,b,c的值解：a+b=3 ab=-2-c2+2c构造方程x2-3x+(-2-c2+2c)=0 其中a,b为方程的两根 =9-4（-2-c2+2c)=17+4c2-8c=(2c-2)2+13x=3±2 =k2 (2c-2)2+13=k2即k2-(2c-2)2=13 所以(k+2c-2)(k-2c+2)=13k+2c-2=13k-2c+2=1 或 k+2c-2=1k-2c+2=13可得k=7c=4 或 k=7c

3、=-2 x=5或-2 所以a,b,c的值为5，-2，4 或-2,5,4 或 5，-2，-2或 -2,5，-2例：定义在R的实值函数f(x)满足：12fxy+12fxz-fxfyz14,x,y,zR，求f(x).解： 令x=y=z=0，得12f0+12f0-f(0)214, 即f0-1220 ，所以 f0=12，同理令x=y=z=1，得12f1+12f1-f(1)214，即f1=12，令y=z=0，得12f0+12f0-fxf(0)14, 即fx12,令y=z=1，得12fx+12fx-fxf(1)14, 即fx12，所以，fx=12，xR.例：解方程8+5x7=6x-113解： 令6x-113

4、=nnZ 则x=3n+116 则15n+10342=n 故n15n+10342<n+1 解得6127<n10327 则n=3 则x=103例：求1x-1y=14的所有正整数解x,y解：方程两边同乘xy得4y-x=xy即 xy-4y+4x=0即 x-4y+4=-16由于方程正整数解xZ+,yZ+ 且(x-4)与(y+4)异号同偶由于y0继而y+44则x-40继而x4则 x-4=-2y+4=8 或 x-4=-1y+4=16则 x=2y=4 或 x=3y=12例：如果满足x2-6x-16-10=a的实数 x 恰有6个，那么实数a的值等于 解：显然a>0，原方程可化为x2-6x-16

5、=10±a若a>10，则原方程等价于x2-6x-16=10+a，可化为x2-6x-16=±10+a，即x2-6x-16±10+a=0，此时原方程只有4个解，不符合题意。若0<a<10，则原方程等价于x2-6x-16=10±a，它可化为如下四个方程：x2-6x-6+a=0，x2-6x-6-a=0，x2-6x-26+a=0，x2-6x-26-a=0，此时4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8个不同解，不符合题意。若a=10，则原方程可化为如下三个方程：x2-6x+4=0，x2-6x-36=0，x2-6x-16=0，每个方程各有两个不同

6、的实数解，所以a=10满足题意。函数与方程结合的题型（构造单调函数求解）解下列方程：解：对方程进行变形的到：注意到上述方程两边的式子结构一样，因此构造函数：，又由于函数在定义域上是单调递增的，因此上述方程的解是唯一的。即。解该一元二次方程得到两根分别为。故原方程的解为。例: 解方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0 解：观察方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0 因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中) 根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式x-1,即x4+2x3-9x2-2x+8=x-1x3+3x2-6x-8=0 观察方程x3+3x2

7、-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5， 根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式x+1，即x3+3x2-6x-8=x+1x2+2x-8=0 对一元二次方程（x2+2x+8）,有x-1x2+2x-8=x-2x+4=0; 综上，原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0分解为x-1x+1x-2x+4=0当x-1=0时,有x1=1;当(x+1=0时，有x2=-1;当x-2=0时，有x3=2; 当(x+4=0时，有x4=-4例：给定正数p, q, a, b, c, 其中，pq, 若p, a, q是等比数列，p,b, c,q是等差数列，则一元二次方程bx

8、2-2ax+c=0（）无实根 （)有两个相等实根（)有两个同号相异实根 （）有两个异号实根解：由题意得，pq=a2,2b=p+c,2c=q+b,由后两式得 b=2p+q3,c=p+2q3由三元均值不等式，得 bc=2p+q3·p+2q3=p+p+q3·p+q+q33p2q·3pq2=pq=a2因为pq，所以，只能是bca2,所给一元二次方程的判别式=4a2-4bc0.因此，所给方程无实根，故应选(A)。说明;解决此题得关键是确定判别式的符号，为此将2p+q3，p+2q3进行巧妙地变形，然后运用三元均值不等式使问题获解。例：设x1,x2,x3,x2006是整数，且满

9、足下列条件：-1xn2, n=1,2,3,2006x1+x2+x3+x2006=200x12+x22+x32+x20062=2006求x13+x23+x33+x20063的最小值和最大值解：设x1,x2,x3,x2006注重有r个-1，s个1，t个2，则-r+s+2t=200r+s+4t=2006两式相加，得s+3t=1003因为s0，t0，所以0t367，因此x13+x23+x33+x20063=-r+s+8t=6t=200即200x13+x23+x33+x200636×367+200=2402当t=0时，s=1103，r=903，此时x13+x23+x33+x20063取最小值2

10、00当t=367时，s=2，r=536，此时x13+x23+x33+x20063取最小值2402 题目：答案：方法代换法 例： 求方程1x+1y-1z=12的整数解，其中x3,y3,z3解：1x+1y=1z+12>12 1 xy,则1x+1y2x 2由12得：2x>12,得：x<4,故x=3得： x1=3 , y1=3, z1=6 x2=3, y2=4, z2=12 x3=3, y3=5, z3=30例 求方程2x+73=2x-14的实数解 解 令2x-14=k,k为整数，则2x=4k+1,且有k+k+83=k显然k<0,于是0k+83<1即 -8k<-5得

11、k=-8,-7,-6,从而x=-312,-272.例 求方程5（XY+YZ+ZX）=4XYZ的正整数解。解：方程两边同除以5XYZ可得 1X + 1Y +1Z = 45不妨设XYZ，则1X+ 1Y + 1Z = 45 3X 即X154，即X的取值范围为1 X 3当X=1时，原式为5（Y+YZ+Z）=4YZ，不符合题意当X=2时，1Y +1Z = 310，同理可得2Y 6验证知Y=4,5 从而Z=20,10当X=3时，可知方程无正整数解综上所述，原方程共有12组正整数解：（2,4,20），（2,20,4）（4,2,20），（20,2,4），（4,20,2），（20,4,2），（2,5,10），（

12、5,2,10）（10,2,5），（5,10,2），（10,5,2），（2,10,5）例：若实数x,y满足4x+3y-2xx2+y2x2=0,则xy的值是？解：显然x0,原方程化为1+3y2x=yx2.令t=3y2x,则1+t=yx2,所以tZ,且yx=23t.得1+t=49t2.从而有1+t49t2t+2,解得：9-3418<t<-34或3t<9+3418.而又tZ,则t=-1或3,即3y2x=-1或3y2x=3即yx=-23或2例：用柯西方程解函数方程解：设f (0)=a. 由所给的函数方程得由此又有 （1）设，就有代入（1），即得 这方程正是柯西函数方程. 所以有题目：f

13、(x)+2f(1X)=4x,求f(x)解：令x= 1X f(1X)+2f(x)=4*1X=4X f(x)+2f(1X)=4x 2-=3f(x)= 8X -4xf(x)= 8-4X23X例：求不定方程x3+y3=1072的正整数解。解：因为x3+y3=2×536，而536不是立方数。因此xy，不妨设y<x，则83=512<x3<1072<1331=113，即9x10.当x=9时，y3=1072-93=341=73；当x=10时，y3=1072-103=72，无整数解。所以原方程有两组正整数解x=9y=7；x=7y=9。求方程组x+y+z=0x3+y3+z3=-1

14、8的整数解.解：设x,y,z是方程t3+pt-q=0的三个根，其中p,q待定.分别将x,y,z代入方程得x3+px-q=0,y3+py-q=0,z3+pz-q=0.三个方程相加得x3+y3+z3+px+y+z-3q=0.将原方程代入得，-18-3q=0,故q=-6.由韦达定理得 xyz=-6=-1×2×3.因x+y+z=0,所以这三个数中必为两正一负，且负数的绝对值较大，应为-3，其余两数为1和2.因为x,y,z是对称的，所以方程组的整数解为：x=1,y=2,z=-3; x=1,y=-3,z=2; x=2,y=1,z=-3; x=2,y=-3,z=1; x=-3,y=1,z

15、=2; x=-3,y=2,z=1.例：求出所有满足方程的整数解.解：因为，所以0（mod7）设Z，原方程可化为：所以所以41-2b、b均为完全平方数.所以经检验可得b=0或者b=16.所以原方程的解（）为：（0,0）、（588,784）例1：求满足方程x2+y2=x3的正整数对(x,y)的个数解：由x2+y2=x3有y2= x2(x-1)因此只有x-1为平方数，则方程有正整数解 x=k2+1令x-1=k2且 k为自然数 则 为方程的一组通解 y=k(k2+1)由于自然数有无限多个，故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个【例】若x、y是自然数，解方程x²-2xy+y²+5x

16、+5y=1500.【解】因为(x-y)²+5(x+y)=1500，所以(x-y)²0(mod 5) 设x-y=5a(不妨设xy)，则有(x-y)²+5(x+y)=25a²+5(x+y)=1500 即x+y+5a²=300，所以x+y0(mod 5) 设x+y=5b，则有5a²+5b=300，即a²+b=60 因为a，bN，所以有序实数对(a,b)可以为： (0,60)，(1,59)，(2,56)，(3,51)，(4,44)，(5,35)，(6,24)，(7,11) 所以有序实数对(x,y)=( 5a+b2, 5b-a2) (

17、150,150)，(150,145)，(145,135)，(135,120)，(120,100)，(100,75)，(75,45)，(45,10) 从而原方程的解(x,y)共有15对，分别为：(150,150)，(150,145)，(145,135)，(135,120)，(120,100)，(100,75)，(75,45)，(45,10)，(145,150)，(120,135)，(100,120)，(75,100)，(45,75)，(10,45)例：x1、x2、x3是方程x3-x+1=0的根，问：x15+x25+x35=( -5 )解：由三次方程韦达定理得 x1+x2+x3=0 x1x2+x1

18、x3+x2x3=-1 x1x2x3=-1 因为x1、x2、x3是方程x3-x+1=0的根 所以有x3=x-1 所以x5=x2x3=x2x-1=x3-x2=x-1-x2 x15+x25+x35 =x1-1-x12+x2-1-x22+x3-1-x32 =x1+x2+x3-(x12+x22+x32)-3 =x1+x2+x3-x1+x2+x32-2x1x2+x1x3+x2x3-3 =0-0+2-3 =-5求3x+1=2x -12的所有根的和。解：设2x - 12=n(n为整数)，则x=12n+14， 将上式代入原式，即3（12n+14）+1=n, 整理得：32n+74=n 则 n32n+74n+1,

19、即-72n-32,则满足条件的n有-3，-2. 从而x=-54,或x=-34, 故原式所有根的和为-2.例：求不定方程3x+2y+8z=40的整数解。解：3x=40-2y-8z=2（20-y-4z），x为偶数， x,y,z为正整数，8z<40，z<5，当z=4时，3x+2y=8, x<3，x=2，y=1；当z=3时，3x+2y=16，x<6，x=4，y=2或x=2，y=5；当z=2时，3x+2y=24，x<8，x=6，y=3或x=4，y=6或x=2，y=9；当z=1时，3x+2y=32，x<11，x=10，y=1或x=8，y=4或x=6，y=7或x=4，y=

20、10或x=2，y=13； 原方程组的正整数解共有11组，分别为：、例：解方程 （3x-1）（+1）+（2x-3）（+1）=0.解：令m=3x-1,n=2x-3,方程化为m（）+n（）=0. 若m=0,则由得n=0,但m、n不同时为0，所以mn0.若m>0,则由得n<0, 设f（t）= ,则f（t）在（0，+）上是增函数，又f（m）=f（-n），所以m= -n，即3x-1+2x-3=0,所以x=.若m<0,n>0,同理有m+n=0,x= ,但与m<0矛盾.综上，方程有唯一实数解x=.例.确定不定方程x3+x2y+xy2+y3=8(x2+xy+y2+1)的所有整数解.

21、解：原方程变形得 (x2+y2)(x+y-8)=8xy+8 (*) 易知x,y有相同的奇偶性，x+y-8是偶数. 当x+y-86时 x2+y2(x+y)221422>4 故(x2+y2)( x+y-8)6(x2+y2) 2(x2+y2)+8xy>8+8xy 所以原方程无整数解. 当x+y-8-4时 (x2+y2)( x+y-8)-4(x2+y2) 8xy<8+8xy 所以原方程无整数解. 当x+y-8=4时 由(*)式得(x-y)2=2 所以原方程无整数解. 当x+y-8=2时 由(*)式得x2+y2=4xy+4 从而x+y=10xy=6 解得(x,y)=(2,8)或(8,2

22、) 当x+y-8=0时 由(*)式得8+8xy=0 所以原方程无整数解. 当x+y-8=-2时 由(*)式得x2+y2+4xy+4=0 从而x+y=6xy=-20 所以原方程无整数解. 综上所述，原方程的整数解是(x,y)= (2,8)或(8,2)例题：解函数方程解 我们首先证明进一步证明，对于x的任何实数值，f (x)不能是零. 实际上，一旦存在某个x0，能使f (x0)=0. 那末f (x)将恒等于零. 这是因为这样一来，就与我们在本节初对f (x)的单调性要求相矛盾了. 总之，对于任何实数x，总有在所给的函数方程两边同时取对数，即得设，就有这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解

23、是正比例函数 即这里，.例：设a，b，c，d为非负实数，满足ab+c+d = ba+c+d = ca+b+d =da+b+c ，则 a+bc+d + b+ca+d + c+da+b + d+ab+c 。解：显然a+b+c+d0，由于ab+c+d = ba+c+d = ca+b+d =da+b+c，有1b+c+d = 1a+c+d = 1a+b+d =1a+b+c。于是有a=b=c=d，故a+bc+d + b+ca+d + c+da+b + d+ab+c 4。例：求所有的整数对(x, y),使得 1 + 2x + 22x+1 = y2 解：对于每组解(x, y),显然x0,且(x,y)也是解.x

24、=0时给出两组解(0,±2). 设x, y > 0，原式化为 2x(2x+1+1)=(y+1)(y1). 则y+1与y1同为偶数且必有一个被4整除.故x3,且y-1和y+1其中之一被2x-1整除，但不被2x整除，于是有y=m·2x-1+,其中m为正的奇数, =±1.代入化简得 2x（1+2x+1）= (m·2x-1+)2-1=22x-2m2+2xm+2-1=22x-2m2+2xm1+2x+1=2x-2m2+m1m=2x-2(m28). 若=1, m280,m=1.不满足上式. 故必=1,此时 1+m=2x-2(m28)2(m28),解得m3.但m=

25、1不符合,只有m=3,x=4,y=23. 因此共有4组整数解(0,±2),(4,±23)例：求的整数解.解：可化为，即不妨设，则.从而或得或例1 求不定方程x2-12x+y2+2=0的正整数解.解：分析:通过观察x2-12x+y2+2=0，发现可以从两个方向解题，具体思路如下：（1） 因为x2-12x+y2+2=0是二元二次方程，且不含有xy这样的交叉项，所以x2-12x+y2+2=0可化成x+a2+y2=b（其中a， b是常数），从而有0<y2<b，0<x-62<b，故可能的解只有有限多组，然后用枚举法逐一验证即可解决问题.（2） 将x2-12x+

26、y2+2=0看成关于x的一元二次方程，其中y2+2是常数项，那么就是含y的一个式子.又因为求的是整数解，所以可以利用是平方数求出y的值，进而求出x.解法一：方程变形为 x-62+y2=34 ，从而有 0<y2<34，0<x-62<b，于是有 x-62，y21，4，9，25，简单讨论后可知 x-62=25,y2=9 . x-62=9,y2=25. 最后得到原方程的四组正整数解 x=1y=3 x=11y=3 x=3y=5 x=9y=5.解法二：将x2-12x+y2+2=0看成关于x的一元二次方程，则=136-4y2=434-y2=(2k)2，其中k是非负整数,从而 34-y

27、2=k2，因此 y2=9或y2=25，解出 y=3或y=5，将y的值代入原方程，即可求出原方程的四组正整数解： x=1y=3 x=11y=3 x=3y=5 x=9y=5.总结：解法一是通过放缩得到整变量的上界和下界，然后用枚举的方法逐一验证并求出.解法二是先利用了是平方数求出了其中一个整变量的值，进而去求解方程.这种方法是求一元二次方程整数解的常用解法.对比以上两种方法，解法一更为一般，适用范围更广.例. 求方程的解.解：设 ，则，故n>0又 <，则 即 则 1 或 7故 或5或6或7则或 或或7 .例：求的整数解.解：可化为经验证：符合要求即或从而解得：或或或问：求方程x1+x2

28、+x3+x4=4所有非负整数解的个数。解：由于任意xi0（i=1,2,3,4),故xi的取值只能是0,1,2,3,4 这五个数。xi的可能情况：4  0  0  0（xi中有一个为4，其他为0）               C41=43  1  0  0（xi中有一个为3，一个为1，其他为0）      C41C31=122  2  0  0（xi中有二个为2，其他为0） &#

29、160;             C42=62  1  1  0（xi中有一个为2，两个为1，其他为0）      C41C32=121  1  1  1（xi中有四个为1）                         1 从而这个问题非负整数解的个数共有4+12+

30、6+12+1=35个例：求满足所有方程=0的正整数解解：首先从同余的角度看，y一定是偶数，的个位数一定是5，的个位数可能是2，4或者6，的各位数是3，9，1。所以，对应的。令y=2k, z=2l 代入方程得到显然，和均为奇数，它们的和与差都为偶数，从而有 集中观察方程，得到（l,k）=（1，1）.当k2 时，两边取模17可以得到，矛盾。所以仅有解（2，2，2）例（2003年香港数学竞赛试题）求如下不定方程的整数解：12x+yy+zz+x+(x+y+z)3=1-xyz.解 做代换，设x+y=u，y+z=v，z+x=w，则原方程变形为4uvw+(u+v+w)3=8-u+v-wu-v+w-u+v+w，化简整理，得u2v+v2w+w2u+uv2+vw2+wu2+2uvw=2.对上式左边因式分解，得u+vv+ww+u=2.于是u+v，v+w，w+u=1，1，2，-1，-1，2，(-2，-1，1)及对称情形.对前三者分别求解，可得u，v，w=1，0，1，1，-2，1，-1，0，2，从而x，y，z=1，0，0，2，-1，-1.所以结合对称性可知，原方程的整数解为x，y，z=1，0，0，0，1，0，0，0，1，2，-1，-1，-1，2，-1，-1，-1，2，共6组解.注 本题可不作上