方向角与方位角问题

1、年级：九年级下册 科目：数学 主备: 审核： 课题：28.2 方位角与方向角问题学习目标：能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题重点与难点1重点：直角三角形的解法 2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。一、用一用 用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题 方位角与方向角 1方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45&#

2、176;角，通常称为西南方向 （1） （2） 2方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225° 用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解 解题时一般有以下三个步骤： 1审题按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知 2将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把

3、实际问题转化为解直角三角形的问题如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形 3根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）分析：因为APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，ACP与PCBPC是东西走向的一条直线AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是

4、相互垂直的，即ACP与BDP均为直角再通过65度角与APC互余的关系求APC；通过34度角与BPC互余的关系求BPC 解：如图，在RtAPC中， cos（90°-65°）=_ PC=_ = 在RtBPC中，B=34°， sinB=_， PB=_ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里例2、解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识例如，当我们要测量如图（1）所示大坝的高度h时，只要测出仰角和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsin但是，当我们要测量如图（2）所示的山高h时，问题就不那么简单

5、了这是由于不能很方便地得到仰角和山坡长度L （1） （2） 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图（3）表示其中一部分小段划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin （3） 在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2， 然后我们再“积零为整”，把h1，h2，相加，于是得到山高h 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲

6、”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，还会更多地了解这方面的内容 二、总一总 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 1将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） 2根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3得到数学问题的答案 4得到实际问题的答案 三、做一做 （一）、选择题 1如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（ ） A南偏西35° B东偏西35° C南偏东55° D南偏东35° (第1题) (第5题

7、) (第8题) 2身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ） A甲的最高 B乙的最低 C丙的最低 D乙的最高 3一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（ ） A5<h10 B10h10 C10<h<15 Dh>10 4ABC中，AB=6，AC=3，则B最大值是（ ） A30° B45° C60&#

8、176; D无法确定 5如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ） A42m B（30+24）m C78m D（30+8）m 6ABC中，已知+（tanB-）2=0且AB=4，则ABC的面积是（ ） A4 B4 C2 D2 7一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ） A7 B14 C7 D14 8某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80

9、76;角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（ ） A1.8tan80°m B1.8cos80°m C D1.8cot80°m 9若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ） A4sin54° B4cos63° C8sin27° D8cos27° 10如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得NAC=36°，NBC=72°

10、;，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）A20海里 B36海里 C72海里 D40海里 (第10题) (第11题) 11如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算电线杆AB的高为（ ） A5米 B6米 C7米 D8米 二、填空题 12升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为_m（用含根号的式子表示） 13在地面上一

11、点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为_ 14如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，根据图示数据得下底宽AD=_米 (第14题) (第15题) 15如图ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且ACB=90°，B=30°，则顶点B的坐标是_16如图，燕尾槽的外口宽AD=90mm，深为70mm，燕尾角为60°，则里口宽为_ (第16题) (第17题) 17如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为_ 三、解答题 18甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以161海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°0.53，cos32°0.85，tan32