周期性对称性+幂函数图像与性质

1、授课类型T周期性与对称性C哥函数图像T哥函数性质教学内容周期性1、周期函数的定义一般地，对于函数y f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 x取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x),那么函数y f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则kT(k z,k 0)也是f(x)的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是 指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若f(x a) f(x b),则f (x)是周期函数，|b

2、 a|是它的一个周期；f(x T) f (x T),则 f(x)周期为 T；22T f(x)的周期为T f ( x)的周期为一。2、常见周期函数的函数方程：(1)函数值之和定值型，即函数 f(a x) f(b x) C(a b)对于定义域中任意 x满足f(a x) f(b x) C(a b),则有fx (2b 2a) f(x),故函数f(x)的周期是 T 2(b a)特例：f x a f x ,则f x是以T2a为周期的周期函数；(2)两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若 f (a x) f(b x) C(a b, C 可正可负)，则得 f(x 2a) f(x 2a) (2b 2a),所以

3、函数 f(x)的周期是T 2(b a)(3)分式型，即函数 f(x)满足f(x a) 1一f(x b)(a b) 1 f(x b),进而得f (x 2b)由 f (x a) 1f-(b)(a b)得 f(x 2a) 1 f(x b)f (x 2a) f (x 2b)1 ,由前面的结论得f(x)的周期是T 4(b a)(4)递推型：f (x a) f (x) f (x a)(或 f (x) f (x a) f (x 2a),则 f(x)的周期 T= 6 a (联系数列) f(x) f(x a) f(x 2a)f(x 3a) f(x 4a) f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x

4、4a),则 f (x)的周期 T=5a； y f(x)满足f(x a) g(f(x),(a 0),其中g 1 (x) g(x),则y f (x)是以2a为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心)，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1 ：两线对称型：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x a、x b,即f(a x) f (a x), 且f(b x) f (b x),那么f (x)是周期函数，其中一个周期 T 2|a b结论2：两点对称型

5、：如果函数同时关于两点a,c、 b,c (a b)成中心对称，即 f(a x) f(a x) 2c和f (b x) f (b x) 2c (a b),那么f (x)是周期函数，其中一个周期 T 21abi结论3： 一线一点对称型：如果函数f(x)的图像关于点 a,c (a 0)成中心对称，且关于直线 x b (a b)成轴对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期 T 41a b例1、定义域为R的函数fx满足f 4x fx8,且y fx8为偶函数，则f(x)()(A)是周期为4的周期函数(B)是周期为8的周期函数(C)是周期为12的周期函数(D)不是周期函数例2、定义在R上的函数f(x),给出

6、下列四个命题：(1)若f (x)是偶函数，则f(x 3)的图象关于直线 x 3对称若f(x 3) f (3 x),则f (x)的图象关于点(3,0)对称(3)若 f(x 3)= f(3 x),且 f(x 4) f (4 x),则 f (x)的一个周期为 2。(4) y f (x 3)与y f (3 x)的图象关于直线x 3对称。其中正确命题的序号为 。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中 的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的

7、图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。二、抽象函数的对称性1、函数y f(x)图象本身的对称性(自对称问题)(1)轴对称y f(x)的图象关于直线 x a对称 f (a x) f (a x) f (x) f (2a x)f( x) f(2a x)f(a x) f (b x) yf(x)的图象关于直线 x (a x) (b x) 旦一b对称.特别地，函数y f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是 f(x) f( x).(2)中心对称 y f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a x) f (a x) 2b f (x) f (2a x) 2bf(

8、 x) f(2a x) 2b of(a x) f (b x) 2c yf (x)的图象关于点(a b c)对称.2特别地，函数y f(x)的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是 f(x) f( x) 0.(3)对称性与周期性之间的联系若函数f(x)既关于直线x a对称，又关于直线x b对称(a b),则函数f (x)关于无数条直线对称， 相邻对称轴的距离为b a|；且函数f(x)为周期函数，周期 T 21b a|；特别地：若y f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x a对称，则f(x)是周期为21a的周期函数；若函数f(x)既关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称(a b),则函数f(

9、x)关于无数个点对称， 相邻对称中心的距离为b a|；且函数f(x)为周期函数，周期 T 2b a|；若函数f(x)既关于直线x a对称，又关于点(b,0)对称(a b),则函数f (x)关于无数个点和直线对称， 相邻对称轴和中心的距离为|b a|,相邻对称轴或中心的距离为21b a ;且函数f (x)为周期函数，周期T 41b耳。特别地：若y f(x)是奇函数，其图像又关于直线 x a对称，则f(x)是周期为4a的周期函数。1 .已知函数f(x)定义域为R,且对于任意实数x满足f(x 2) f (6 x),当0 x 2时，f (x) x2 2x |x 3 5,则 f(1)f(3) 2 .已知

10、函数f(x) |x2 2ax a| (x R),给出下列四个命题：当且仅当a 0时，f(x)是偶函数；函数f(x) 一定存在零点；函数在区间(，a上单调递减；当0 a 1时，函数f(x)的最小值为a a2.那么所有真命题的序号是 .【知识梳理】1哥函数的定义：形如y x （a R）的函数称为哥函数（ 为常数，2常用哥函数性质及其图像y x2y x3y x12y x21y x定义域值域奇偶性单调性定点3性质如下：（1）所有的哥函数在（0, +°°）都有定义，并且图象都过点（1(2)凸；当0(3)Q).2-1时，哥函数的图象下,1)；0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0,）

11、上是增函数.1时，哥函数的图象上凸;0时，哥函数的图象在区间(0,）上是减函数.在第一象限内，当 x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近 x轴正半轴.【典型例题分析】【例1】有下列函数：y 2x, yx,3,y x313x2, y x 4,y x2 x2,其中哪些为募函数?变式练习：塞函数y1 kxa的图像经过点2，2哥函数k 一. . y则下列四个函数 y y2,y y2,y1x中，是塞函数的是130【例2】求函数y x2 x 5 x 2的定义域。一2【例3】若f x x m Z的图像与坐标轴没有公共点，且关于 y轴对称，求f x的表达

12、式。2变式练习1：函数y (m2 m 1)xm是哥函数，求实数 m的值。.2变式练习2:备函数f x l 1 x的大致图像是如图所示的()再变：在上题的基础上加上函数是奇函数，则m的取值为2变式练习3：已知哥函数ym2 9m 19 x2m的图像不过原点，则 m的值为【例4】比较下列各组中两个数的大小：11(1) 3.1 2与3.2 2(2) 2a与 aa a 0变式练习1:比较下列各组中两个数的大小2222(1) 1.83 1.93(2) ( 2.1)3( 2.2) 344(3) ( 1.1)31.131变式练习2：已知(a 1)31(3 2a)3,求a的取值范围4变式练习4：已知a 3 54

13、1 2a 5 ,求a的取值范围。【例5】作出函数y 匚2的图像。x 1变式练习1:作出函数f x的图像。【例6】利用函数的图像解不等式：.X 2 x 133【例71已知函数f(x)3 c C11对称2,2ax bx 5 3,已知 f ( 3) 2,求f (3) x例8已知函数f x(1)求g x的解析式，并求出 g x的单调区间；1 、一3(2)右 a b 0,c ,求证：g a g ca b *4【课堂小练】一、选择题1、使x2>x3成立的x的取值范围是B、0vxv1A x<1 且 xwO2、若四个募函数y= xa, y=y= xd在同一坐标系中的图象如右图,AJC* J3、，一

14、,13在函数 y= , y=2x , y x= x2+x,y= 1中，哥函数有A、B、1个4、m,n为整数，则下列各式中正确的是man B1.55、y10.94,y20.48 ,y3y3y1y2B 、 y2y3y1D 、y16、.若集合M=y|y=2x, P=y|y="x 1, mnp=7、y|y>1B、y|y >1C、y|y>0 、y|y>0f(x) =22x-5X2 x- 1 + 1它的最小值是0.5 B9168、如果a> 1,b v 1,那么函数f(x)= ax + b的图象在A第一、二、三象限B 第一、三、四象限C第二、三、四象限D第一、二、四象

15、限则a、b、c、d的大小关系是d>c>b>a a>b>c>d d>c>a>b a> b>d>c二、填空题9、已知0<a<b<1,设aa,ab,ba,bb中的最大值是M最小值是ni则M= _, m=10、已知 f (x) = x5+ax3+bx-8, f (2) =10,则 f (2) =11、函数y=仅22x) 29的图象与x轴交点的个数是 。12、函数y=(x 1)3+1的图象的中心对称点的坐标是 三、解答题13、设x,y, zR ,且3x4y6z. (1)求证：1 x1 (2)比较3x,4y,6z的大小.2z;14、已知哥函数 值，并写出相应的函数(x)=2p232 (peZ)在(o,+ oo)上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求15、已知哥函数(X)、2m3(mZ)的图象与x,y轴都无交点，且关于 y轴对称，求m的值。【课后练习】 一、基础巩固1.哥函数y12,x1,4的值域为2.函数y x05的定义域为3 .两个不同的哥函数图像最多有4 .下列函数中，不是哥函数的是Ay x 1 B y x个交点，最少有()1C y x 3 D个交点。5.要作出函数y x2