向量的概念与性质

1、向量的概念与性质一.知识点1.与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号a >b ”错了，而口 >| b |才有意义.有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向 量相等的必要条件.22单位向重是模为 1的向重，其坐标表不为（x, y）淇中x、y满足 x y =1 （可 用（cos ,si

2、n ） （0w 2兀）表示）.零向量0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段2.与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.（平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连）f, f-* f-V- -F-¥ »F-f当两个向量a和b不共线时，a b的方向与a、b都不相同，且|a b|v|a|+|b|;r w# w-b-f当两个向量a和b共线且同向时，a b、a、b的方向都相同，且|a b | |a| |b|；11-Tc=»mi-i当向量a和b反向时，若|a|>|

3、b|, a b与a方向相同，且|a b|二|a|-|b|； -fc-fc-*ff-wwr若| a |v|b |时,ab与 b方向相同，且 |a +b|=| b|-| a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量 如，AB BC CA 0,（在 ABC 中）AB BC CD DA 0.(DABCD 中)判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量 a , b ,使a 二世(入CR),那么a / b ；反之，如a / b ,且b w0,那么a = Ab .这里在“反之”中

4、，没有指出a是非零向量，其原因为 a=0时，与入b的方向规定为平行(4)向量的数乘运算的定义:数乘运算模的大小为:r ur0, a与a的方向相同；ruu0, a的方向与a的方向相反;r r0, a 0.(6)数量积的8个重要性质(a b a b cos )两向量的夹角为0w 兀.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则f F-* T*e a a e | a| cos .( |e| 1)r tr -* a b a b 0 ( .' =90 °

5、, cos 0)在实数运算中ab=0 a =0或b=0.而在向量运算中a b= 0 a = 0或b=0是错fT误的，故a 0或b 0是a b =0的充分而不必要条件.-P- 当 a与 b 同向时 a b= |a | | b |( 二0,cos =1)；当a与b反向时，a b =- | a | | b |(=兀,cos =-1),即a / b的另一个充要条件是|a b| |a| |b|.2 2特殊情况有a a a = | a | .或 | a | = a a = , a =x2 y2 .如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(xi , y1),( x2, y2 ),则|a|= ,(xi

6、 X2)2 (% y2)2 |ab| |a|b|。(因 cos 1)数量积不适合乘法结合律.如(a b) c a (b c).(因为(a b) c与c共线，而a (b c)与a共线)即1数量积的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a c b c并不能得到a b这是因为向量不能作除数,是无意义的.二.课堂训练1 .下列各式计算正确的有(1)(7)6a=-42 a(3)a 2b+ a+2 b=2 aA. 1个B. 2个1.1, 一2 .化简 32(2a 8b) (4aA. 2a bB. 2b a3 .下列各式叙述不正确的是A.若aw心,则a、b不共线(入C R)4 3C.右 m=3a+4b,n=

7、 a+2b,则 m / n24 .对于菱形 ABCD,给出下列各式： AB BC | AB CD | | AD BC |其中正确的个数为A. 1个B. 2个5 .已知向量a与b反向，下列等式中成立的是A. |a| |b| |a b|C. |a| |b| |a b|2b)的结果是(2)7(a+b)-8b=7a+15b(4)若 a=m + n,b=4 m+4n,则 a / bC. 3个D. 4个(C. b aD. a b(B. b=3a(a为非零向量，则a、b共线D.若 a+b+c=0,贝U a+b=- c|AB|BC|-7 22Z 2 |AC|2 |BD|2 41ABi(C. 3个D. 4个(B

8、. |a b| |a b|D. |a| |b| |a b|6.在 ABC中AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，则(A. AB与AC共线B. DE与CB共线C. AD与AE相等D. AD与BD相等Word文档7.已知向量 ei、e2不共线，实数x、y满足(3x-4 y)ei+(2x-3y)e2=6ei+3e2,则x-y的值等于()A. 3B. 3C. 0D. 28.已知正方形 ABCD的边长为1, AB=a, BC = b, AC =c,则|a+b+c|等于1 . 08 . 3D, 2729 .已知a、b是非零向量且满足(a2b) a,(b 2a)则a与b的夹角是A.一6B. 一32C.3

9、5D.610.若非零向量a,b互相垂直，则下列各式中一定成立的是A. a b a bB. |a b| |a b|¥li-C. (a b)(a b) 02D. (a b)2 011 .已知菱形 ABCD的边长为2,求向量ABCB+CD的模的长.o12 .已知向| 4,|b| 3,5,，的夹角为 120。，且C a 2b, d 2a kb,当 C Z 时， k=.向量的坐标形式.知识点rr若 a (xi,yi),b (X2,y2)r r则ab 特别地：rrrra b 若 a / b,贝 Urrra =若 a b ,贝Ur r a b r a =cos uuuA(U，yi),B(X2，y2

10、),AB二.课堂训练uuu uur uuruuu1 .已知 AB (2,3), BC (x,y),CD (1,4)，则 DA 2 .设 A(1, 3)和B(8, 1),若点 C(2a 1,a 2)在直线 AB上，则 a uuu uuuuuir3 .设点 A(2,3), B(5,4), C(7,10)，点 P满足 AP AB AC( R)(1)当 时，点P在第一、三象限角平分线上；(2)当 时，点P在第四象限.r r _r r4 .已知向量a (1,1),b (1 J3,1 V3),则向量a与b的夹角为r rr r5 .设向量a (x,3),b (2, 1),与Hb的夹角为钝角，则x的取值范围为

11、 rrr r r r6 .已知向量 a ( 3,1),b (1, 2),若(2a b) (a kb),则实数 k =r r rr r r rr7 .已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,根据下列情形求x：r rr r若 u v 2 若 u v .r rrr rr 一8 .已知向量a(1,2),b(x,1)，右a2bW2ab平行，则 x=rr r r r r9 .设向量a ( 3,4)，向量b满足ba,b 1Ub=uuuunr10.在 ABC中，已知 AB ( 1,2), AC(2,1),则 ABC的面积为11.平面内给定三个向量r rra(3,2), b ( 1,2), c(

12、4,1).r r r(1) 求 3a b 2c ;(2)r求满足ar rmb nc的实数m, n ;(3)(4)u(x,y)满足dr rr ur uc/ ab且 dc1,求 d.r ir12.设向量a euu rite2,b 4quu it uu3e2淇中 e(1,0), e2(0,1).(1)试计算a b及arb的值；rr r r若a kc / 2b a ,求实数k ;r r(2) 求向量a与b夹角的大小单元测试题、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分)r r r1、若向量方程2x 3(x 2a)r _ , 一 r , 0,则向量x等于b、 6aC、6aa 6rA、- a 2、两

13、列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的、，一 ，.r r 一 位移向量分别为a和b,那么下列命题中错误的一个是r , r .，一A、a与b为平行向量B、r ra与b为模相等的向量C、r , r ,a与b为共线向量D、r , r 一 ,a与b为相等的向量uuu uuir3、AB BCuuurADuurA、ADB、uuu CDC、uuurDBuuurD、DC4、下列各组的两个向量,平行的是rA、 a(2,3)rb (4,6)B、(1,2)rb (7,14)rC、a(2,3),rb (3,2)D、(3,2)rb (6, 4)5、若P分Au所成的比为-,则A分器所成的比为4A、B

14、、C、D、r6、已知 a (6,0)一,r . r5,5),则a与b的夹角为A、45 0B、600C、135 0D、120 0rj都是单位向量，则下列结论正确的是rA、 iB、r2D、8、如图,在四边形ABCD中，设uurABuurBCA、rB、br(ar c)0uur ADC、D、109、a (2,1), b (3,4),则向量a在向量b方向上的投影为A、2痣B、2C、於10、在 ABC 中，b 3, c 3M B 300,则 aD、6或 4A、6B、3C、6或3、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、已知M (3, 2) , N( 1,0),则线段MN的中点P的坐标是 j1

15、2、设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，下列向量组：uur 一 uuu uuu, uuu uua , ULUT UUr UUU(1) AD 与AB； (2) DA 与 BC； (3) CA 与 DC ; (4) OD 与 OB ,其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是, r uur uuu 10V3 ，则 BC CA =13、已知A(7,8) , B(3,5),则向量Auu方向上的单位向量坐标是14、在 ABC 中，AC 8, BC 5 ,面积 S abc三、解答题：(本大题共3小题，共44分)15、已知ar b r a若)1,r , r求a； (2)若ar16、已知ar r r3r r r r3, b 4, a与 b 的夹角为 I，求(3a b) (a 2b)rrr r17、已知：a (cos ,sin ).b (cos ,sin ) 求证：a与b 互相垂直、选择题：CDDDB CBABC、填空题：11、（1, -1 ）12、（1）、（3）4 313、( -, ) 14、5 520三、解答题r3.3 3 r, 3.33、3 r33.3 r, 3 3.3、15