圆锥曲线的弦长与最值

1、18圆锥曲线的弦长与最值1 .斜率为1的直线与椭圆± +尸=1相交于，两点，则|月网 的最大值为1）A. BB.- -C-D2 .已知直线y = -A - 1与椭圆十= 1 g A8 0） 相交于A ,月两点，若椭圆的离心率为玄，焦距为2 ,则a* 白12线段d月的长是1. JA.B. .C.D.：3 .过椭圆1+/ =的左焦点作直线和椭圆交于A,片两点，且AB-l ,则这样的直线的条数为L A. "B. ：C. ：D. /x1 y24 .已知椭圆 工一血=1（0白2）,左右焦点分别为B ,尸工，过 B的直线t交椭圆于 胃，R两点，若40|豆回：- |工冏的最大值为5,则8

2、的值是（.JA. BB. CC. -D.、25 .椭圆 三+ = = 1与直线'=2a- + 1相交于A , B两点，C, D两点在椭圆上，若四边形ABCD为平行四边形，则49直线CD的方程为1）A. "-B. 、 一 .C. 11D. 16 .抛物线 产=2Px （P 0的焦点为 尸，过焦点尸且倾斜角为:的直线与抛物线相交于4 ,后两点，若AB = S ,则抛物线的方程为A. B. ' -C. ' -D.'-7 .设抛物线C : y1 = 4x的焦点为F,倾斜角为钝角的直线 过产且与C交于N , B两点，若|4国=，则工的斜 率为:.A. -B. -

3、 -C. - -D. -8 .已知直线+ p + 1 = 0 经过抛物线 尸=4*的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为C ）A. '；B. ¥C.D. i9 .已知抛物线 尸-八,过焦点尸作直线与抛物线交于点以（点/在工轴下方），点 心与点儿关于*轴对称，若直线斜率为1,则直线小B的斜率为）A.吧B. -C.三D.i210.已知F为抛物线C : V = 4*的焦点，过 产作两条互相垂直的直线/I , 4,直线21与匚交于A ,6两点，直线%与匚交于D,石两点，则A.HDE的最小值为(.)A. bB. I 1C. 1、D.："11 .已知月(-z.fi),H 分别为椭

4、圆c：=I A = ig>/。) 的左、右焦点，椭圆的离心率e =岸，直线(1 fl2,通过点H ,且倾斜角是 然。.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线与椭圆右交于区，B两点，求dBE的面积.12 .已知AT吐 的两个顶点为 BT5 ,匚仁，周长为12.(1)求顶点的轨迹方程；(2)若直线】=。工与点/的轨迹交于 M, N两点，求比记N的面积.Word资料13 .已知椭圆C：与一号二1侦>>0)的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为I .a£ 以(1)求椭圆C的方程；(2)设产-B是椭圆匚的左右焦点，若椭圆 匚的一个内接平行四边形的一组对边

5、过点司 和八,求这个平行四边形面积的最大值.14 .已知点2),椭圆=04> 0)的离心率为 一，F是椭圆E的右焦点，直线6的斜率为竽，O是坐标原点.(1 )求E的方程；(2)设过点的直线/与岂相交于P, Q两点，当门FQ的面积最大时，求直线 ？的方程.15 .已知椭圆的中心在坐标原点，H，见0一1)是它的两个顶点，直线 .-=人住0)与直线n片相交于点Q,与椭圆相交于E,产两点.(1)若近=6凉，求出的值；(2)求四边形面积的最大值.16 .在平面直角坐标系 皿中，椭圆 二1匕=i O j。)的右焦点F在直线/：*十一6=0 上，且椭 47上 了圆C的离心率为苧.(1)求椭圆M的方程；

6、(2)设f与AF相交于A ,占两点，点C, 口在淞上.若四边形 ACBD的对角线CD ± AB ,求四边形ACBD面 积的最大值.17 .设民，八分别是椭圆 三十/=1的左、右焦点. 4(1)若P是该椭圆上的一个动点，求 铜" 的最大值和最小值；(2)设过定点 M也之)的直线/与椭圆交于不同的两点 月，且 为锐角(其中 心为坐标原点)，求直线 1的斜率”的取值范围.x产J518 .已知椭圆 月：r1后=1）的左焦点Fi与抛物线 户=f 的焦点重合，椭圆 £的离心率为 营，（12过点"佃 O > 1）作斜率不为口的直线f,交椭圆E于A , B两点，点

7、F（：,o），且康-油 为定值.（1 ）求椭圆E的方程；（2）求也门外面积的最大值.19 .已知斜率为之的直线J与抛物线 /二打相交于A,丹两点，如果线段的长等于5,求直线F的方程.20 .已知圆口过定点,且与直线x二：相切，圆心C的轨迹为E ,曲线E与直线f : y = k(X11)也七R1 相交于月,8两点.(1 )求曲线七的方程；(2)当君的面积等于加时，求上的值.21 .在平面直角坐标系 xOy中，抛物线>i= 2px p > 0)的焦点为F,准线交x轴于点H,过在作直线,交抛物线于尺，内两点，且 出门=3|总产I .(1)求直线AB的斜率；(2)若月"的面积为7

8、1,求抛物线的方程.22 .设F为抛物线C y2 = 2Px (2> 0) 的焦点，点 严为抛物线C上一点，若点 尸到点F的距离等于点 尸到直线/二x = -I的距离.(1 )求抛物线 匚的方程；(2)设过点P的直线£i与抛物线 匚的另一交点为点 Q ,且线段PQ的中点坐标为(3,2),求|产日 的值.23 .如图，已知抛物线 / = 4父，过点作斜率分别为 斡，七的两条直线，与抛物线相交于点川，疗和匚，且"分别是总匕0的中点.认 少(1 )若的4七二口，AT=2rS ,求线段的长；l/7(2)若比一心=I，求面积的最小值.24 .已知椭圆Ci的焦点在x轴上，中心在坐

9、标原点；抛物线 G的焦点在下轴上，顶点在坐标原点.在 G , G.上各取两个点，将其坐标记录于表格中:(1)求G , G的标准方程；(2)已知定点 匚(0，；),尸为抛物线 G上一动点，过点 F作抛物线 G的切线交椭圆 G于月，占两点，求AM面积的最大值.25 .如图，口为坐标原点，点尸为抛物线 G ; / = 2pf建 。)的焦点，且抛物线G上点F处的切线与圆G : M +=1相切于点Q .(1)当直线FQ的方程为主邛-6 =。时，求抛物线 Cj的方程;(2)当正数p变化时，记 舟，0分别为&FFQ , FOQ的面积，求 生 的最小值.18圆锥曲线的弦长与最值答案第一部分1. C【解

10、析】设A, 8两点的坐标分别为，工卜及），直线/的方程为y = y if ,由/ + 4y2 = 4,消去得另工工+ Six - 4 （正- 1） = 0,则勺+不所以AS = W + 公/i - Xi=1 1 4 妙，(,j + *)Z 4HlM=1-4xi(±2. B 【解析】由已知,1 ,椭圆方程为 -= L .联系直线方程与椭圆方程得4*所以,所以 a ”3. B 【解析】提示：椭圆的焦点弦中，最短的是通经（过焦点与长轴垂直的弦长），最长的是长轴.4. D 【解析】由椭圆的定义得=2a = 4 ，田B| +宙尸±| = 2 = 4|/跖| +库西| =加-玛|+ I

11、BFJ） ，因为西+温的最大值为5 ,所以MF1|卜|的最小值为一?,当直线1与五轴垂直的时候，AF.十BF最小，所以此时 总卜一-J，代入椭圆方程解得5. B6. D【解析】由题意可知过焦点的直线方程为,联立抛物线方程整理可得3 小十=D ，所以七+刈="，&勺=,254所以 li -x2 = 丫/-P?= ”,f 4又AB = 代芬”=区 求得p = + ,所以抛物线的方程为 / =取.7. D 【解析】由/ = 5 ,得FU.O）,设月方所在直线方程为y = k（x-i），联立尸=4工,得廿-4） X ” = 0.4416设A,后4声），则*1 +与=之十P，因为AB

12、= 1，所以24尹+ 2 =3，因为倾斜角为钝角，所以 k = 6.8. B9. C10. A 【解析】如图，/l -h ,直线1I与C交于月，B两点，直线6与C交于口，E两点,要使|,15|十DE最小，则以与以B与E关于x轴对称，即直线 DE的斜率为1 ,又直线&过点(L。)，则直线力的方程为y = x - 1 ,联立方程组则与:4 = 9 ，所以刈+及=4，冷冷=T2p 4AH =1一sin1 0 痈，0所以I力目=,1 A - 1511 -川=衣 =S ,所以|.4国+ DE的最小值为2HE = 16方法二：设直线6的倾斜角为心则。的倾斜角为 三 T ,根据焦点弦长公式可得DE

13、=4cos 2 g44416.所以 |/B| 十 DE = 一十一=一；=一；一sin2 0 cos1 6 sin2 & cos1 6 sin2 26因为：0<Sin22Z?1 ,所以当。=4时，|dB| i DE最小，最小值为18 .第二部分11. (1)由已知得 -3 , t = £ ,又心=/一/，解得：口 - 272 ,卜=2 ,所以椭圆匚的标准方程是 三十 9 = 1 .S -+(2)由(1)知，心，直线/的斜率为卜=131n45。= 1 ,所以直线1的方程为：v = x-2 ,I 2 一o 7|L点Fl到直线/的距离为：d = ,彳-=2a ,所以SABFi

14、 = -AB d = 3国r 厂16- v 2 x 2>/2 =12. (1)由题意，得|川印+团臼=& ,根据椭圆定义，知顶点 用在以小，。为焦点，长轴长为写的椭圆上,所以顶点x2 J2小的轨迹方程为T7 一 丁 = 1#(2)设 取*1 一门)，WtA F京，则A1,N的坐标是方程组的解,解得72所以,.M（-2A-6）=一6、所以|MV| =（回=2/15,又点君f工。）到直线MN : y =权 的距离为8 =今，,所以111rl J 2>/5 厂揖的面积为 S=-xfNxd = -x 2vT5 Y = 2V3Lrj，13.（1）设椭圆C,的短轴的一个顶点为 P,两个

15、焦点分别为 F】，兀，由题意知，FB_L尸入,由勾股定理可知,| PF |' =0,即 la2 = Z ,则用='/ir，所以 b =心M1 1所以、.= 卜卜 X卜”=- -be = 所以1 ,所以u =,所以椭圆c的标准方程为 于+产=1（2）设过椭圆右焦点 后的直线I-.x = ly I I与椭圆交于4, B两点，连接由韦达定理，得:所以所以椭圆整理得：（户I 2）户I勘y 1 = 0,2tI71 +" = 一K " 一K ,0AB OF； B =右的内接平行四边形面积为帛=S + M 三 1 ，则 $ = / 0”）,1*1 - In - yi =m

16、2+1f1 + 244rtn + Ml注意到5 = /g）在L+OC）上单调递减,所以 % = /=26,当且仅当JJJ = 1 ,即i = 0时等号成立.故这个平行四边形面积的最大值为2 2yf14. （1）设F<*Q）,由条件知 二二十b2 = a2 c2 = I故E的方程为：= =L联立（2）当!*轴时，不合题意，故设t : y = lex 2得：. 一,.'门.当& = 16（4产一3）AU ，即好 > 这时,嵌+ 2,4妙一 3,从而1尸。1 =+HM 一心I又点O到直线/曳的距离4=Vk2 + 1.所以&OPQ的面积为= jPQI，d =4k2

17、+ 17 414设 j4Az - = f q > 0)，贝u口户。=-=41尸彳，当且仅当，二;，即一时取所以斥一 =2 ,即& = ±B 时等号成立，且满足所以当自的面积最大时，/的方程为中15. （1）由题设条件可得，椭圆的方程为y1 = 1,直线显8的方程为* + 2y-2 = 0E （勺W餐），F（右,亚4），其中七3=#*X1-0得（1 I 4户） = 4 ,解得电2二一71 + 4Jt-起=bDF得 xa - ¥1 = 6(2 - J10),所以10X。- - (6-2 +工1)=7f 7 v 1 + 4/c2口是AB上,得刈+ 2fcMl 2 =

18、 口 ，所以劭21 -2Jt10S | 4 51 (rf + d1),-4(1 + 次),5(1 +2=21 4k24T + 4k I= 2/1 +2(1 +2/r)S + 4妙当且仅当1，即广；时，等号成立.故四边形 显皿 面积的最大值为26 .,化简，得 24H 25k - 6 = 0 ，解得 士 =：，或 Jt（2）根据点到直线的距离公式和式可知，点£,F到44的距离分别为| 工工 + 2kx2 - 2|xi +2U,-2|2(l+2t + /TT4P)所以四边形但F的面积为16. (1)中，令下 ，得工=6 .由题意，右焦点 Fgo）,即。=6又£ =立，则a =4

19、，又M =产+M ,则5 = 6 .所以椭圆M的方程为E = 1a 26 i5。-,£>(右木).由题意可设 匚口 ： y = x + n ( v n <).设匚(x»丹)所以 |CP| = 6|工4 一 = V9n-.8由已知，四边形 ACBD的面积S = CD - |/1B| = -15 -7之 当。时，叉” 彳，所以四边形 ACBD面积的最大值为 当17. (i)易知巾&-1, c二所以 f.l o) , ?!(yy.o),设 Fx.y),则PF - FF士 =%/s - x.一豆.)=A3 + >'2 - 3=X2- 1-3因为X丘

20、-工用，故当i=0,即点P为椭圆短轴端点时， 再；冗 有最小值-3； 当芯=±2,即点尸为椭圆长轴端点时，同 铝 有最大值1.(2)显然直线苫=。不满足题设条件，可设直线，：y = Z3 ,，1"加，Rgm),(yix + 2,f内消去整理得-M + 4kx + m =。，z + >-'474Jt3所以 一： -R央 + 得，公44由 3 = 一4 ： .-3 = : 一 三.，n0° < £AOB < 90° 合 cos AAOB > 0O0A OB>所以Tm Ub =-心力> 0. 又又椭圆E的离

21、心率为 洋得白=6 ,于是有/ = 一（2）设月。, Eg，”）,直线t的方程为：xI x = fy + m,.”*由,、整理得俨十2）/十2fmy十加一x2 + 2y2 = 2-虫=61一 T/rl）,方=（#2卞也）,瓦屈=（右_ ;）（同_十心A525=X1X; - - （Xi X!） yi >3416=（" + Q yiyi -（加一%）°】+ =尸-（一? | ；切）1 （"/ 1 2）=；T十（»2 :碗一-r2 + 22,5一 一次厂+,加a + £要使PA PB为定值，则1- a,解得2 </2 （1 + / 当巾=

22、1时，|月用一y2 -'尸+2点O到直线AB的距离d /, OAB面积6 二J2所以当f 讣，。力舟面积的最大值为三.19.设的方程为丁 b ,有卜” ="消去工丁 = 2x + 机一厂=1 .故椭圆正的标准方程为： 一 + p工一 1 .2二?十阳 ,9一 m,_ 21tnm1-!525-泮_ K7162桁一 1或m二不（舍），?二 员雉？ = "!j区 VJl -Fl2并整理，得V -2y +2b = 0 .yiyi =+ 2) (kx2 + 3)=k2xX2 十 2k(X)+ Xi)十 43k1 一眼 2=r +r + 4i _ic2 - k2 -|k2 -|

23、因为 j-1> 0 ，即 位，:4 ,所以一二< k < 1 44+1k-k1 + 1447故由，得."A：一2.18. (1)设乃J'，因为抛物线 / = -4x的焦点坐标为-L。),且椭圆F的左焦点F与抛物线 产=4#的焦点重合，所以< =1 ,设 A(X：yJ ,后(mJ ,则 yi yi =, yin =被.因为AB =5,所以丫 1 +5/(月+-5.灯=5 .即y' l 1 *4 一超=5,解得b = -2 .从而1的方程为 y - 2x3 .即2x - y-2 -Q .20. (1)设圆心匚的坐标为,x.y) ,由题意，知圆心 C

24、到定点F(-和直线” =：的距离相等，故圆心C的轨迹E的方程为 铲=(y1 =(2)由方程组 消去工，并整理得A俨d ¥ 兀=0 .设金 , £(跖9，尸二无(彳+ 1)则“十心=-。，不短 二 -1 .设直线，与#轴交于点N,则N11.所以&匕*A林=*也门启N=；10Mmi +=1iwilyi - nl=：x 父 /()+ yi)2 -yi>2因为心尔二回，所以，解得k二土;.经检验，1=+1均符合题意，所以把=4 .21. (1)过丸B两点作准线的垂线，垂足分别为小，修，易知月尸, EF=A明，因为国F| =2|总尸| ,所以|/乱| = 2|金山| ，

25、所以力为“的中点，又 白是HF的中点，所以AO是£" 的中位线，所以=:出尸| = AF ,而卢G.q)，所以工"/所以说=。，*“ 土等F ,所以4 (g 土等),而H(-go),7 yii - yA 1鼻所以“=AU = = 土一 ;必？'因为以为皿的中点，°是"F的中点，所以，皿=$43 = ZSAHO = 2 M严川- IM =匚/ ，所以苧卢=6，所以p = 2 , 所以抛物线的方程为炉=4a-.22. (1)由抛物线定义知，抛物线 C的准线方程为 工=T.因为抛物线方程为标准方程，所以 = 1 ,即0=之，所以抛物线 C的标

26、准方程是 铲=4工.(2)设直线 尸。；T,一工=上(工一 3) 或“=3 (舍去)，户出,穴)，0 gm解方程组卜厂=4不消去 得-(6炉一软+ 4)，+ (缺一2/=0,y-2 = k(x-3).由题意 A / 0 ,得 =(64 4k + 4)" x (3 k 2 1 > 0. (6d4Jt + 4) +(6t2 - 4Jt + 4) 1/K竿= k，X2 = - /厂Xi 十 Xi 3H - 2k 十 2因为线段PQ的中点坐标为(3.2),所以= - =?，解得由=1 ,验证知成立.所以.八二3+26,物=3 -工6,# = ? 卜26,y2 = 2-22 ,所以I F

27、QI =一七-冷J=8.23. (1)设 A (sti.yt) , Fk±.jz),不妨设 yy > 0 ,则设直线 A R 的方程为 y = ki (X - 2)，代入 / = 4m ,可得 一 >1 - s =0,所以 yx + y2-= A , yAy2 = -8 ,K1如因为从小1PB ,所以j'l = 2yi ,所以yi = , yz = -之.所以= 1 ,因为心十依=0 ,所以线段 AB和CD关于x轴对称，所以线段.讨邛的长为2 .(2)因为於k = 一,所以两直线互相垂直，设 AB . X = fny + 2 则CD ;耳=-y+2 /n将#三my + 2代入户=4宜，得 4/HV 8 = 0 ，则用+为=4m ,冷及三一5 ,所以3f(2标+ 2, 2”r).同理为,J#所以 |严山| = 2|训，”"户 + 1 ,pv| = -MM + l ,所以，尸=，尸必II尸甲=高(M2 +1) = 2 (网+高)孑4,当且仅当肌二土】时取等号，所以揖FM*面积的最小值为4.24. (1)设a ：，*=1 M >百> 0)，由题意知，点(工。) 一定在椭圆上，则点 (左辛也在椭圆上，分别1 42)将其代入，得 不- ,