整数根与有理根-

1、一元二次方程(四)整数根与有理根A卷1已知k为整数，且关于x的二次方程(k2 1)x2 3(3k 1)x 18 0有两个不等的正整 数根，贝H k =。2设一元二次方程 x2 3x a 40的两根均为整数，且两根同号，则a = 。3. 方程 (x a )(x - 8 )- 1 = 0 的两个整数根，则 a =。114. 若p,q都是正整数，方程一 px2 -qx 1993 0的两根都是质数，则2p + q =。22 5. 已知p,q为自然数，方程2 px2 qx 19900两根都是质数，则p+q =。6 .若p是质数，且方程x px 444 p 0的两根均为整数，则p =.7 .设方程x2 p

2、x p 0的两根x1, x2均为正整数，若p + q = 28，则(X11)(X21)=。&如果a为有理数，要使方程2x2 (a 1)x (3a2 4a b) 0的根总是有理数，则b的 值应为。9.设关于x的二次方程(a 1)x2 (a2 a 1)x 2a2 a 0当a时，此方程至少有一个正整数解；当 a时，此方程有两个正整数解；当a时，此方程有两个负整数解。210 .对于整系数一元二次方程ax bx c 0(a 0)有有理根的充要条件是 ;若a, b, c均为奇数，贝U方程，若a, b为偶娄，c为奇数，则方程,若此方程有有理根 p/q(p,q互质)，则p, q, a, c之间必有关系

3、;若a>0且不是完全平方数，则方程有 。B卷一、填空题1若k是自然数，且关于x的二次方程(k 1)x2 px k 0有两个正整数根，则kkp (pp kk) kk p 2 kp 1.2. 两个质数p,q恰是整系数方程x299x m 0的两根，则 q.q p3. 若二次方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一个整数根，则自然数 a =。4. 若正整系数二次方程 4x2 mx n 0有相异的两个有理根 p, q,且p> q,又方程x2 px 2q 0 与方程 x2 qx 2p 0 有一公共根， 则方程 x2 px 2q 0 的另一 根为 。5. 设 a,b,c 为三角形 ABC勺三

4、边，且满足：（1）ab > c; （2）2b = a + c；3） a2 b2 c2 84, 则整数 b = .6. 象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局, 每局赢者得 2 分，输者得 0 分 , 平局各记 1 分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1 980 、 1 983、 1 989、1991, 经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有 名选手参加比赛。二、选择题1. 设 p 是质数，如果方程 x2 px 580p0勺两根均为整则，则（ ）A. 0 p 10 ； B . 10 p < 20; C . 20 p 30 ； D . 30 < p <

5、; 40 。2. 设mn为整数，则方程x2 10mx 5n 30和方程x2 10mx 5n 30必定（）A.至少有一个有整数根；B .均无整数根；C.仅有一个有整数根； D.均有整数根。3关于x的一元二次方程x2 2mx 2n 1 0 （m n都是整数）如果有一个整数根，则对它勺另一根 所作勺如下断言中正确勺是（ ）A. 不是整数 ;B. 一定是整数； C. 一定是奇数； D.一定是偶数。4若方程x2 mnx m n 0有整数根，且 m n为整数，则 m n的值有（）A. 1 个； B . 3 个； C . 5 个; D .无数个三、解答题1.若x, y为正整数，使得x2 y2 x能被2xy整

6、除,证明：x为完全平方数.22. M为何整数时，9m 5m 26能分解成两个连续自然数之积3已知方程x2 bx c 0及x2 cx b 0分别各有两个整数根且两根均同号求证：b - 1 < c < b + 1 .答案A卷1.原方程化为6- x1,x2k 12;8 ；19974092.3.4.5.(k+1)x 61 k k 1(k 1)x- 3 = 0,2,6设xX2原方程的两根，则x-|x2444 p,T p为质数，故XiX2中有一个是p设X1=kp (k为整数)，又禺 X2P， X2(k 1)p,22- X1X2kp (k 1) p k(k 1) p 444 p,即 k(k 1)

7、. p 2 3 37,当 k=3 时,p=37, p = 37.7. 29;& 1 ;9 .原方程变形为(a 1)x -( 2a+1): (x-a)=0当a=1时，原方程只有一个根x=a;2a 1当1时,其二根为x1a,x2,因此，a 1(1 )当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，(2)要使方程二根均为正整数，由于2a 1 (2a 2) 3 c 3X22,a 1 a 1a 1所以，当a为正整数,只要3能被a 1整除，则x2是正整数,故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根 x12, x25;当a=4时,方程有两个正整数根 x14, x23;(3)当x1a为负整

8、数时，由 a 1<0, 2a+1 0,2a 1二X20,为正数，a 1无论a取何值，方程两根不会是负整数。10.=b2 4ac 0是一个完全平方数；无整数根，p/c且q/a ;有共轭无数根b b2a 2B卷一、填空题1.设a、B是方程(k 1)x2 px k0的两个正整数根,则占1占出由于a、B是正整数，故aB也是正数，从而k=2,则 aB =2 且 a + B =3=,P 1故 p=3,从而 kkp(pp kk) kk 2 p kp 126(3322)22 2 311993.不妨设p=2,从而q=97,.gp卫 97q 22_9794131943.v原方程至少有一个整数根，故=4(2a

9、 1)2 4a 4(a3)4(8a1)为完全平方数,2.由韦达定理，p+q=99，由于p,q是质数，故p,q中必有一个为2,要计算的代数式关于 p,q是对移的,设8a 1(2m1)2(m为自然数)则a m(m 1)代入原方程，得1 2m(m 1)x2m(m 1) 1x 2m(m 1)120解之得c 44X12, X22mm 1x1, x2中至少有一个整数， m | 4或（m+1 | 4.又:m为自然数， m=1, 2, 4或m+1=2 4。- m=1,2,3 , 4,从而 a=1, 3, 6, 10。4 设公共根为a，则a2 pa 2q 02( p-q) a + 2 (p - q ) = 0a

10、 qa 2p 0-(p - q ) (a + 2) = 0/ p q, p - q0，即 a + 2 =0 , a = -2，代入到x px 2q 0得222 p 2q 0, p q 2.又t 4x2 mx n 0有相异二有理根p, q p + q = m 2, m=8 而4=m2 16n 0, 82 16n 0,n 4, n 为正整数,且2 2=m216n8216n16(4 n)为完全平方数，所以4- n = 1 ，所以n = 3。p q2由于3pq 431pp2或2q12 q3（不合）2 x23x 102设方程2xpx2q0的另一根为B5由条件（2）、（3）可得,则(2)3 =-1 一 =

11、1a c 2b5b284ac又Tac>0,. a, c是关于x的二次方程x22bx5b28420的两个不等正根，从而4b22(5b284)2b 05b284020解之得84 b2284t b是整数，b0,. b225,即 b=5.6设共有x名选手参加，依题意可得X(X 1) 2 x(x 1)2/x是正整数，且大于 1,所以x, x - 1是两个连续的正整数 不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0, 2, 6,故得分总数只能是1980,则x (x-1)=1980，解之得xi 45, x244(舍去)，故共有45名选手参赛。、选择题1 由已知得 =p24( 580p) p(p 4 5

12、80)为完全平方数，因为p是质数,故 p / (p+4X 580), p / 4 X 580,但 4X 580= 245 292(1 )若p=2,则p ( p+4X 580)= 2 X 11611非完全平方数，不合；(2)若 p=5,则 5 (5+4X 580) =52 X 465=5 X 93 非完全平方数，不合；2 2 2 2(3 )若 p= 2q，则 2q (2q+4X 580) =2q (1+4 X 20)= 2 q X 81=2 q X q 为完全平方数,故应选C2对于两个方程来说，=45 (m2 n) 3,2而5(5m n)的个位数字只能是 9或5,故5 (5m2 n)的个位数字只

13、能是 0或5。故为5(5m2 n) ± 3的个位数字只能是 2,3 , 7, 8之一，而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0, 1,4 , 6,9之一,当m, n为整数时，5 (5m2 n) 土 3均不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根，故应选B3B4.设方程有整数根 x1,x2, 则 x1x2 =mn>0, x1x2=m+n> 0,故这两个根均为正数。又 (x1 1)(x21) (m 1)(n1)2其中(x11)(x21),m 1,n 1 均非负,而 2 分为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0。分别可解得m2m3 m2m 1 m

14、5或 ; ,n3n2 n2n 5 n1mr n的值仅有3个，故选B三、解答题1. t x2 y2 x能被2xy整除,则有x2 y2 x=2kxy (k为整数)整理成关于 y的二次方程：22y 2kxy (x x) 0( 1)由题设,此方程有一根 y为整数，由韦达定理，另一根为y2满足y2=2kx- yi故y2也是整数，因而方程(1)有两个整数根，于是其判别式4k2x2 (x2x)4x(k 21)x1应为完全平方数 .由于x和(k21)x1互质，故必为完全平方数。2. 设对某个自然数k>0,有9m2 5m 26 k(k 1)1)将此式整理成关于 m的一元二次方程，得 9m2 5m (k2

15、k 26)0因为m为整数，k为自然数，故(1)的判别式221 25 36(k2 k 26) 36k2 36k 911必为完全平方数，再设 36k2 36k 911= p2(p 为自然数 )，则 36k2 36k (p2 911) =0(2)为使方程( 2)的根为自然数，须使 (2)的判别式2 2 2 22 3624 36(p2911)122(p2920)为完全平方数 ,又设p2920 q2 ( q为自然数)，则( q+p)( q-p ) =920( 3)因为q+p>q-p > 0, q+p与q p同奇偶，即它们均为偶数，从而qp460qp230qp2;qp2;qp92;qp46qp10;qp20解之得：p 229; p 113; p 41; p 13.q 231; q 117; q 51; q 33.把p的值代入（2）求得k的值，再把k值代入（1）可求得m值, 从而即得 m=-1， 2， 6，