第七章多元函数微分学

1、§2多元函数微分学I 基本概念与主要结果 可微性1 可微与全微分、偏导数定义 1设函数 z = f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某邻域U (P0 ) 内有定义，对U (P0 ) 中任意点 P(x, y)，若函数 f 在 P0 的全增量Dz 可表为Dz = ADx + BDy + o(r )（1）其中 A ， B 是仅与(x , y ) 有关的常数， r =Dx 2 + Dy 2 ，则称 f 在点 P 可微，并称（1）000中关于Dx ， Dy 的线性函数 ADx + BDy 为函数 f 在点 P0 的全微分，记作dz= ADx + BDy P0注 1当 Dx ， D

2、y 很小时， Dz » dz ，即f (x, y) » f (x0 , y0 ) + A(x - x0 ) + B(y - y0 )此式常用于近似计算（2）注 2在使用上，（1）式也可写成Dz = ADx + BDy + a Dx + b Dy 其中 lim a = lim b = 0 这个等式在可微性证明中经常用到Dx®0Dx®0Dy®0Dy®0定义 2设函数 z = f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某邻域有定义，当极限f (x0 + Dx, y0 ) - f (x0 , y0 ) = lim f (x, y0 )

3、 - f (x0 , y0 )lim D x z = limDxx - x0Dx®0D0时，称这个极限为函数 f 在点(x0 , y0 ) 关于 x 的偏导数，记作)或 ¶f¶z或¶xf (x , yx00¶x(x0 , y0 )(x0 , y0 )同理可定义关于 y 的偏导数（偏导数反映了函数沿平行于坐标轴方向上的变化率）12 方向导数与梯度定义 3设三元函数 f 在点 P (x , y , z )的某邻域U (P ) Ì R 内有定义， l 为从点 p3000000出发的射线， P(x, y, z) 为l 上且含于U (P0 )

4、内的任一点，以 表示 P 与 P0 两点间的距离，若极限f ( p) - f (p0 ) =Df rlimlimrr ®0+r ®0+，则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向l 的方向导数，记作¶f， fl (P0 )或 fl (x0 , y0 , z0 ) G¶lP0若 f 在点 P0 (x0 , y0 , z0 )定义 4对所 有 自变量 的 偏导数 ， 则称向量 (f (P ), f (P ), f (P )为函数 f 在点 P 的梯度，记作x0y0z00grad f = (f (P ), f (P ), f (P )x0y0z03 性质、区别与

5、（1） 可微的必要条件若二元函数 f 在其定义域内一点 P0 (x0 , y0 )处可微，则 f 关于每个自变量的偏导数都存在，且有dz= f (P )dx + f (P )dyP0x0y0一般地，有dz = f x dx + f y dy （2） 可微的充分条件若 z = f (x, y)的偏导数在点 P0 的某邻域U (P0 ) 内在 P0 可微，且 f x ， f y 在 P0 连续，则函数 f注 条件可见弱为一个偏导数，另一个偏导数连续（3）中值公式设 f 在 P0 的某邻域 U (P0 )0 ) ，x =内偏导数，则 h = y0 + q 2 (y - y0 )， 0 < q1

6、,q 2 < 1 ，使得f (x, y) - f (x0 , y0 ) = f x (x , y)(x - x0 ) + f y (x0 ,h )(y - y0 ) （4）可微与方向导数之间的2若 f 在 P0 可微，则 f 在 P0 处沿任一方向l 的方向导数都，且fl (P0 ) = f x (P0 )cosa + f y (P0 )cos b + f z (P0 )cos g ，其中cos, cos b , cos为l 的方向（5）梯度与变化率梯度方向就是函数值 f (P) 增加最快的方向grad f (P ) =f (P ) +f (P ) +f (P ) ，则有222设 f 在

7、 P 可微，记00x0y0z0fl (P0 ) = gradf (P0 )× l0 =grad f (P0 ) cosq ，其中l0 = (cosa, cos b , cosg )为l 的的方向，q 为 grad f (P0 )与l 的夹角由上式易得：当q = 0 ，即l 与 grad f (P0 )同方向时， fl (P0 )最大，且变化率就是该点梯度的模此说明梯度方向是 f 的值增长最快的方向（6）相互与反例f 在 P 可微Þ 在点 P 处， f 连续，偏导数10，且沿任意方向的方向导数；00反之不真f 关于每个变量的偏导数都Þ 关于每个变量连续函数连续 &#

8、222; 关于每个变量连续；反之不真f 关于每个变量的偏导数都且连续Þ f 可微；反之不真f 关于每个变量的偏导数®/ （ ¬/ ） f 连续；2030405060沿任意方向方向导数都®/（ ¬/ ）偏导数例 1函数f (x, y) =(x, y)Î R+ y 2 ，x 2在(0,0)连续，方向导数都，但偏导数不，当然也不可微=x2 + y 2 £+f (x, y)xy解 连续性由不等式立明至于方向导数，记(0,0)点任意射线的方向(x, y) = (r cosa, r cos b )，则其方向导数为记为(cosa, cos

9、 b )，在射线上任取一点lim f (r cosa , r cos b ) - f (0,0) = 1 ¶f ¶l=rr®0+(0 0)3即沿任一方向的方向导数都，且相等，但它的偏导数不，这是因为 f (Dx,0) - f (0,0) =DxDx在Dx ® 0 时极限不，当然不可微例 2关于 x （或 y ）的偏导数Û 沿平行于 x （或 y ）轴正负两方向的方向导数都且互为相反数解 由偏导数和方向导数的定义立明例 3关于每个变量的偏导数，但不可微ìxy,+ y 2 ¹ 0x 2f (x, y) = ïí

10、;x 20+ y 2ï, x 2 + y 2 = 0î解 由定义得 f x (0,0) = 0 ， f y (0,0) = 0 ，但 f 在(0,0)不可微事实上，若可微，则应有Dz - dzf (Dx, Dy) - 0DxDy=® 0 （ r ® 0 ）rrDx 2 + Dy 2而上式极限并不例 4f 可微，但偏导数不连续ì(x 2 + y 2 )sin1, x 2 + y 2 ¹ 0, x 2 + y 2 = 0.f (x, y) = ïx 2+ y 2íïî0解 容易计算： f x

11、2;(0,0) = f y¢(0,0) = 0 ，且(Dx 2 + Dy 2 )sin1 ()Dz - ADx + BDyrDx + Dy22® 0 （ r ® 0 + ）=Dx 2 + Dy 2由定义知 f 在(0,0)可微，但 f x 在(0,0)不连续事实上，当 x 2 + y 2 ¹ 0 时，- (x 2 + y 2 )cos(x 2 + y 2 )-1 ×12xy(x 2 + y 2 )2f = 2x sinx+ y 2x 212x1= 2x sin-cos+ y 2x 2 + y 2+ y 2x 2x 24Dx当(x, y)沿 y

12、= x 趋于(0,0)时，极限不，当然不连续例 5 偏导数都，但函数不连续ìxy,(x, y) ¹ (0,0),ïf (x, y) =x + y22íïî(x, y) = (0,0).0,f (x, y) 在点(0,0) 处的偏导数 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ，但极限lim f (x, y)解 容易x®0 y®0不，当然不连续例 6关于 x, y 连续，但 f (x, y)不连续xy ¹ 0,f (x, y) = ì1,íî0, xy = 0.解 f

13、 (x, y) 在点(0,0)处，关于 x 与 y 有 f (x,0) = f (0, y) º 0 ，当然连续，但 f (x, y)在(0,0)不连续二 偏导数的计算123定义法（分段点，分段函数）一阶（全）微分形式不变性复合函数的求（偏）导法则若函数 x = j(s, t ) ， y = y (s,t ) 在 (s, t )Î D 可微， z = f (x, y) 在点 (x, y) = (j(s, t ),y (s, t )可微，则复合函数 z = f (j(s, t ),y (s, t )在点(s, t )可微，且有¶z = ¶z ×

14、¶x + ¶z × ¶y ， ¶z = ¶z × ¶x + ¶z × ¶y ¶s¶x ¶s¶y ¶s¶t¶x ¶t¶y ¶ts t sxz（注意分析各变量之间的）yt注 复合函数求导的“树形法”，其原则是：沿线相乘，分线相加3 隐函数求偏导数（1）隐函数定理定理 1（隐函数唯一性定理）若 F (x, y)满足下列条件：5（i）函数 F (x, y)在以 P (x , y )为内点的某邻域

15、（区域） D Ì R 2 上连续；000（ii） F (x0 , y0 ) = 0 （通常称为初始条件）；（iii） 在 D 内连续的偏导数 Fy (x, y)；（iv） Fy (x0 , y0 ) ¹ 0 ，则在点 P0 的某邻域 U (P0 ) Ì D ，方程 F (x, y) = 0 唯一地确定了一个定义在某区间(x0 - a , x0 + a )内的隐函数 y = f (x)，使得f (x0 ) = y0 ；f (x) 在(x0 - a , x0 + a )内连续；F (x, f (x) º 0 102030定理 2（隐函数可微性定理）设 F (

16、x, y)满足定理 1 中（i）（iv），又设在 D 内还连续偏导数 Fx (x, y)，则由 F (x, y) = 0 所确定的隐函数 y =内有连续的导函数，且f (x)在某邻域(x0 - a , x0 + a )f ¢(x) = - Fx (x, y) Fy (x, y)定理 3若函数 F (n , y) 满足条件：, y)在以点 P (x ,", x , y )为内点的区域 D Ì R上连续；n+1（i） F000n01n（ii） F (x ,", x , y ) = 0 ；0001n（iii） Fx ,", Fx , Fy 在 D 内

17、且连续；1n（iv） Fy (P0 ) ¹ 0 ，则在点 P0 的某邻域 U (P0 ) Ì D ，方程 F (x1 ,", xn , y) = 0 唯一地确定了一个定义在Q (x ,", x )的某邻域U (Q ) Ì Rn 内的 n 元连续隐函数 y = f (x ,", x )，使得0001n01nF (x ,", x , f (x ,", x ) º 0 ；101n1n= f (x ,", x )；20y 0001nf= - Fxi ， i = 1,2,", n 30xiFy（

18、2）隐函数求导（公式法或复合函数法）6直接应用隐函数可微性定理中的求偏导计算公式，或复合函数法：将方程中某一变量看成是其余变量的函数，两边求关于自变量的偏导，一次方程便得所求的偏导数；或应用隐函数求导公式4 隐函数组（1）隐函数组定理ìF (P) = 0， P ÎV 满足：若方程组íîG(P) = 0 F (x, y,u, v) ， G(x, y,u, v)在以点 P (x , y , u, v )为内点的区域V Ì R 4 内连续；00000 F (P0 ) = G(P0 ) = 0 （初始条件）；在V 内 F ， G 具有一阶连续偏导数；=

19、 ¶(F, G)¹ 0 ，（ J 称为 F ， G 关于u ， v 的雅可比行列式）， J¶(u, v)P0(P) = 0ìF则在 P 的某一邻域 U (P ) Ì V 内，方程组， P ÎV 唯一确定了定义在点íîG(P) = 000Q0 (x0 , y0 )的某一二维邻域U (Q0 ) 内的两个二元函数u = f (x, y)， v = g(x, y)使得u0 = f (x0 , y0 ) ， v0 = g(x0 , y0 )，且F (x, y, f (x, y), g(x, y) º 0 ， G(x

20、, y, f (x, y), g(x, y) º 0 ；f (x, y)， g(x, y)在U (Q0 ) 内连续；f (x, y)， g(x, y)在U (Q0 ) 内有一阶连续偏导数，且102030¶u = ¶(F, G)= ¶(F, G)(- J )， ¶u(- J )，¶x¶(x, v)¶y¶(y, v)¶v = ¶(F, G)= ¶(F, G)(- J )， ¶v(- J )¶x¶(u, x)（2）反函数组定理¶y¶

21、(v, y)设u = u(x, y) ，内点，且有v = v(x, y)及其一阶偏导数在某区域 D Ì R 上连续，点 P (x , y )是其20007)， ¶(u, v)u = u(x , y )， v = v(x , y¹ 0 ，¶(x, y)000000P0则在点Q0 (u0 , v0 )的某一邻域U (Q0 ) 内唯一的反函数组x = x(u, v)， y = y(u, v) ， x = x(u , v )， y = y(u , v )，000000且当(u, v)ÎU (Q0 )时，有u º u(x(u, v), y(u,

22、 v)， v º v(x(u, v), y(u, v)，¶(u, v)¶x¶u，=¶(u, v)，¶x = ¶v¶(x, y)¶v¶y¶(x, y)¶u¶y¶(u, v)¶y¶u，=¶(u, v)，¶y = ¶v¶(x, y)¶v¶y¶(x, y)¶u¶y¶(x, y) ¶(u, v)¶(u, v) × &#

23、182;(x, y) = 1 且注 此性质是前者的特例三 应用1 几何应用（1） 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程由 F (x, y) = 0 给出，它在点 P (x , y )的某邻域内满足隐函数定理条000件，则在 P0 点处的切线与法线方程分别为Fx (x0 , y0 )(x - x0 ) + Fy (x0 , y0 )(y - y0 ) = 0 ，Fy (x0 , y0 )(x - x0 ) - Fx (x0 , y0 )(y - y0 ) = 0 （2） 空间曲线的切线与法平面10设空间曲线方程为L ： x = x(t )， y = y(t )， z = z(t )，a 

24、3; t £ b 一点 P0 (x0 , y0 , z0 )，则当（1）中函数在t = t0 可导，且x¢(t0 ) + y¢(t0 ) + z¢(t0 ) ¹ 0 222则在点 P0 处的切线与法平面方程分别为t = t0 对应8x - x0y - y0z - z0=切线方程：，x¢(t0 )y¢(t0 )z¢(t0 )法平面方程： x¢(t0 )(x - x0 ) + y¢(t0 )(y - y0 ) + z¢(t0 )(z - z0 ) = 0 注 当某分母为 0，如 x

25、2;(t0 ) = 0 ，则替换为 x = x0 20若空间曲线方程为ìF (x, y, z) = 0,íîG(x, y, z) = 0,且在 P (x , y , z ) 的某邻域内满足隐函数组定理条件（不妨设 ¶(F , G)¹ 0 ），则在 P 处¶(x, y)00000P0的切线与法平面方程为x - x0¶(F, G)y - y0¶(F, G)z - z0¶(F , G)=，¶(y, z)¶(z, x)¶(x, y)P0P0P0¶(F , G)¶(

26、y, z) + ¶(F , G) + ¶(F , G)(x - x(y - y(z - z ) = 0 和¶(z, x)¶(x, y)000P0P0P0（3）曲面的切平面与法线方程设曲面方程为F (x, y, z) = 0 ，且满足隐函数定理的条件（不妨设 Fz¢ ¹ 0 ），则在 P0 (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面与法线方程分别为Fx¢(P0 )(x - x0 ) + Fy¢(P0 )(y - y0 ) + Fz¢(P0 )(z - z0 ) = 0和x - x0y - y0z - z0=

27、Fx¢( p0 )Fy¢(p0 )Fz¢( p0 )2 极值（1）高阶偏导数n - 1阶偏导数的偏导数称为 n 阶偏导数定理 4若 f xy (x, y) 和 f yx (x, y)都在点(x0 , y0 ) 连续，则 f xy (x0 , y0 ) = f yx (x0 , y0 )9（2）中值定理与公式若区域 D 上任意两点的连续于 D ，则称 D 为凸区域定理 5（中值定理）设 f (x, y)在凸开区域 D Ì R 2 上连续，在 D 的所有内点，则对 D 内任意两点 P(a,b) ， Q(a + h, b + k ) ，q Î (0,

28、1)，使得(f a + h, b +)k - f a, b) =f x a + q (h, b + q k h)+ f y (a + q h, b + q k )k 偏导，且 f x º f y º 0 ，则 f 在 D 上为常量函数推论 若函数 f 在区域 D 上定理）若函数 f 在点 P0 (x0 , y0 , z0 )的某邻域U (P0 ) 内有直到 n +1阶的连续定理 6（偏导数，则对U (P0 ) 内任一点(x0 + h, y0 + k )，相应的q Î (0,1)，使得涶 öf) x0 + h, y0 +

29、k( = f x0 , y0+) ç h ( + k÷ f (x0 , y0 ) +"¶x¶y øèön+1ön1 涶1涶+ç h+ k÷ f (x , y ) +n !¶x¶yç h+ k÷f (x0 + q h, y0 + q k )()!00n + 1¶x¶yèøèø其中ömæ¶

30、82;¶ mmç h+ k÷f (x , y ) =Cf (x , y)hi k m-i 00å mi 00¶x¶y¶xi ¶ym-iè（3）极值øi=0极值的充分条件与必要条件设 f (P)在U (P0 ) 有定义若"P ÎU (P0 )，有f (P) £ f (P0 )则称 f 在 P0 取得极大（小）值， P0 称为 f极大值点与极小值点统称为极值点（ f (P) ³ f (P0 )）的极大（小）值点，极大值与极小值统称极值，定理 7（极值的必要条件

31、）若函数 f 在 P0 (x0 , y0 )偏导数，且在 P0 取得极值，则有f x (P0 ) = 0 ， f y (P0 ) = 0 点（或驻点）称满足上式的点 P0 为 f 的(P )f xy (P0 )ù = é fé fy ùú续偏导数，记 H (P ) =xx0若 f 在 P 具有ê ff (P )úê f，称(P )f00fëûëyy û Pyx0yy0yx0之为 f 在 P0 的 Hesse（）阵10定理 8（极值的充分条件）设二元函数 f 在点 P0 (x0

32、 , y0 )的某邻域U (P0 ) 内具有续偏导数，且 P0 是 f 的点，则当 H f (P0 ) 是正定矩阵时，f 在 P0 取得极小值；当 H f (p0 )是负定矩阵时， f 在 P0 取得极大值；当 H f (P0 ) 是不定矩阵时， f 在 P0 不取极值通常情况下，定理 8 写成如下较为适用的形式：设 f 在U (P0 ) 具有续偏导数， P0 是 f 的点，则有（ i） 当 (ff- f )(P ) > 0 时， f 在 P 取得极值且当 f (P ) > 0 取极小值， 2xx yyxy00xx0f xx (P0 ) < 0 时 f 在 P0 取得极大值；

33、（ii）当(ff- f )(P ) < 0 时， f 在 P 不取极值；2xx yyxy00（iii）当(ff- f )(P ) = 0 时，不能肯定 f 在 P 是否取得极值2xx yyxy00条件极值Lagrange 乘数法min f (P0 ) = f (n )等式约束优化：s.t.j k (第一步： L(x1 ,", xn , l1,",(lmn ) = 0 ，1 £ k £ m （ m < n ）= f )x1 ,") , xn - ålij i (x1 ,", xn ) ；i=1m¶L

34、82;L， i = 1,2,", n ， j = 1,2,", m ；第二步：计算¶x，¶lì ¶Lij= 0, i = 1,2,", nï ¶xi第三步：解方程组í ¶L；ï¶l= 0, j = 1,2,", mïîj第四步：根据第三步所得之解逐个检验或根据实际意义判定II 典型例题选解 偏导数、可微的2000）构造一个二元函数，使得它在原点(0,0) 处的两个偏导数都例 1（，但在原点不可微解 函数 f (x, y) =在原点(0,

35、0) 处偏导数都，但在该点不可微11xy事实上，显然 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ，即偏导数都，而f (x, y) - f x (0,0) × x - f y (0,0) × yr= lim ，limr ®0r ®0x 2+ y 2当 沿 y = kx 趋于原点时，极限为，与 k 有关，即上式极限不，故 f (x, y) 在1 + k 2点(0,0) 不可微思考题 1（北京邮电大学）设 z = f (x, y) ，问：¶z¶z，函数 z =若,都¶x ¶yf (x, y) 是否连续？（1）&

36、#182;z¶z，函数 z =若,都¶x ¶yf (x, y) 是否可微？（2）例 2（大学）设ìx 2 yx + y ¹ 0,22+ y 2 ,ïf (x, y) =x2íï+ y 2 = 0,x 20,î证明：（1） f (x, y) 处处对 x ，对 y 的导数（2）偏导数 f x (x, y), f y (x, y) 有界；（3） f (x, y) 在点(0,0) 不可微；（4）一阶偏导数 f x (x, y), f y (x, y) 中至少有一个在点(0,0) 不连续 证（1）当 x 2 + y

37、 2 ¹ 0 时，有；2xy3x 4- x 2 y 2f x (x, y) = (x 2f y (x, y) = (x 2+ y 2 )2 ,，+ y 2 )2当 x 2 + y 2 = 0 时，f (x,0) - f (0,0)f x (0,0) = lim= 0 ，xx®0同理可得： f y (0,0) = 0 （2）当 x 2 + y 2 ¹ 0 时，12kxy2xy(x 2 + y 2 )2xy3=££ 1，f x (x, y)(x 2 + y 2 )2(x 2 + y 2 )2显然上式对 x 2 + y 2 = 0 时，也成立，所以

38、f (x, y) 有界x同理，当 x 2 + y 2 ¹ 0 时，x 2=££ 1，f y (x, y)x 2 + y 2显然上式对 x 2 + y 2 = 0 也成立，所以 f (x, y) 有界y（3）当 沿射线 y = kx(x > 0) 趋于 0 时，有f (x, y) - f x (0,0) × x - f y (0,0) × yrx 2 y= limlim3(x 2 + y 2 ) 2r ®0r ®0kx3k= lim=，3(1 + k 2 ) 2 x33(1 + k 2 ) 2r ®0极限与 k

39、 有关，所以上式极限不，从而不可微（4）当(x, y) 沿射线 y = kx(x > 0) 趋于 0 时，有2xy32kx42klimf x (x, y) = lim=lim，22+ y )x®0 (1 + k ) x(1 + k )22 242( x, y )®(0,0) (x( x, y )®(0,0)y =kxy =kx极限与 k 有关，从而极限不，故不连续注 实际上两个偏导数在(0,0) 均不连续若有例 3（南开大学）设续，则必可微ì(x + y) sin(xy) ,x 2 + y 2 ¹ 0,f (x, y) = ïx

40、 2 + y 20,íïx 2 + y 2 = 0,î证明： f (x, y) 在点(0,0) 处连续，但不可微证 由于(x + y) sin(xy)(x + y)xy£ 1 (2£££+f (x, y)xy) ，x 2 + y 2x 2 + y 22于是， "e > 0, $d = e ，当< d ,< d 时，有xy13x + yx 2 (x 2 - y 2 )(x 2 + y 2 )2x 4 - x 2 y 2(x 2 + y 2 )21y ) < e ，f (x, y) - f (0

41、,0)£( x +2即 f (x, y) 在点(0,0) 处连续下证 f (x, y) 在点(0,0) 处不可微由 f (x,0) = f (0, y) = f (0,0) = 0 易得f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ，从而有f (x, y) - f x (0,0) × x - f y (0,0) × yr= lim (x + y) sin(xy) ，lim（1）3(x 2 + y 2 ) 2r ®0r ®0当上式沿射线 y = kx(x > 0) 取极限时，有(x + y) sin(xy)k(1 + k)x3k(1

42、+ k )= lim=lim，3(x 2 + y 2 ) 23(1 + k 2 ) 2 x33(1 + k 2 ) 2r ®0y=kxx®0极限与 k 有关，所以（1）式极限不例 4（北京航空航天大学 2001）设，所以 f (x, y) 在点(0,0) 处不可微ìx 2 y 2,x + y ¹ 0,22ï3+ y 2 ) 2f (x, y) = í(x 2ïïîx 2 + y 2 = 0,0,求证： f (x, y) 在点(0,0) 处连续当不可微£ 1x 2 + y 2 £ 1 (

43、 x+f (x, y)y ) 易得 f (x, y) 在点(0,0) 处连续证 由22显然 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ，于是f (x, y) - f x (0,0) × x - f y (0,0) × yrx 2 y 2= limlim，r ®0 (x 2+ y 2 )2r ®0k 2当 沿 y = kx 趋于 0 时，上式极限为，与 k 有关，即上式极限不，故不可微(1 + k 2 )2思考题 2（大学）设ì(x 2 + y 2 ) cos1,x 2 + y 2 º 0,f (x, y) = ïx

44、 2+ y 2íï+ y 2 = 0,0,x 2î（1） 求 f x (0,0), f y (0,0) ；14（2） 证明： f x (x, y), f y (x, y) 在点(0,0) 不连续；（3） 证明： f (x, y) 在点(0,0) 可微 思考题 3（中国科技大学）已知ìx 2x + y ¹ 0,22,ïf (x, y) =x + y22íïx 2 + y 2 = 0.0,î求 f x (x, y), f y (x, y) ；证明： f (x, y) 在原点连续； 证明： f (x, y) 在

45、原点不可微（1）（2）（3）思考题 4（北京航空航天大学）设ìxyx 2+ y 2 ¹ 0,f (x, y) = ï+ y 2x 20,íï+ y 2 = 0.问 f (x, y) 在点(0,0) 是否可微？x 2î证明：f (x, y) 在点(0,0) 邻域内连续，且一阶偏导数都说明理由思考题 5（淮北煤师院 2005）函数ìxy sin1x 2 + y 2 ¹ 0,f (x, y) = ïx 2 + y 2íïx 2 + y 2 = 0,0,î在点(0,0) 处的可微性例

46、 5（大学）设ìg(x, y) sin1,x 2 + y 2 ¹ 0,f (x, y) = ïx 2 + y 2íïx 2 + y 2 = 0.0,î证明： 若 g(0,0) = 0, g 在(0,0) 可微，且 dg (0,0) = 0 ，则 f 在(0,0) 可微，且 df (0,0) = 0 证 由假设知 g 在点(0,0) 的偏导数都，且 g x (0,0) = g y (0,0) = 0 ，假设条件可得f (x,0) - f (0,0) = lim g(x,0) sin 1 = lim g(x,0) - g(0,0) 

47、15; sin 1= 0 ，limx®015x即 f x (0,0) = 0. 同理 f y (0,0) = 0. 从而由 dg (0,0) = 0 得f (x, y) - f x (0,0) × x - f y (0,0) × yr= lim g(x, y) - g(0,0) × sin1= 0 ，limrr ®0r ®0x 2 + y 2即 f 在(0,0) 可微，且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0 例 6（同济大学）确定 的值，使得函数ì122 a+ y ) sin,x

48、 2 + y 2x + y ¹ 0,22f (x, y) = ï(xíïx 2 + y 2 = 0,0,î在点(0,0) 处可微解 f (x, y) 在点(0,0) 可微，则 f x (0,0) 与f y (0,0) 都，而f (x,0)-2 ) ，f因此必有2a -1 > 0 ，即a > 1 ，此时 fa > 1 时有(0,0) = 0.f (0,0) = 0 同理xy22f (x, y) - f x (0,0) × x - f y (0,0) × yr(x 2 + y 2 )a1= lim sin= 0

49、 ，limx 2+ y 2r ®0r ®0x 2+ y 21即 f (x, y) 在点(0,0) 处可微，因此 的取值为a >2思考题 6（中山大学）设函数ì(x + y)a sin1,x 2 + y 2 ¹ 0,f (x, y) = ïx 2 + y 2íïx 2+ y 2 = 0.0,î其中 为正整数问：， f (x, y) 在原点连续；（1）当 为， f x (0,0), f y (0,0) 都（2）当 为；， f (x, y) 在原点有一阶连续偏导数（3） 为例 7（北京师范大学）设16ì

50、xy(x 2 - y 2 )x + y ¹ 0,22f (x, y) = ïx 20,+ y 2íïx 2+ y 2 = 0.î证明： f xy (0,0) ¹ f yx (0,0) 证 由偏导数定义易得 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ，因此有ì x 4 y + 4x 2 y 3 - y 5x + y ¹ 0,22,f (x, y) = ï(x 2 + y 2 )20,íxïx 2 + y 2 = 0.î于是，f x (0, y) - f x (0,0)

51、 = lim - yf (0,0) = lim= -1 xyyyy®0y®0f yx (0,0) = 1 ，所以 f xy (0,0) ¹ f yx (0,0) 同理可求例 8（上海交大 2000）求函数u = xv z 的全微分解 由于¶u¶x¶u¶v¶u¶z= vz × xv z-1 ,= z × xv z ln x,= v × xv z ln x ，所以， du = vzxvz-1dx + zxvz ln xdv + vxvz ln xdz 二 偏导数的计算与证明

52、82;z¶z-( x+ y + z )例 9（淮北煤师院 2005）求由方程 x + y + z = e所确定的隐函数的偏导数,¶x ¶y解 方程两边关于 x 求偏导得1 + ¶z= e-( x+ y + z ) (-1 - ¶z ) ，¶x¶x整理得(1 + e -(x+ y+z) )(1 + ¶z ) = 0 ，¶x¶z¶z-( x+ y + z )+ 1 ³ 1，所以 ¶x = -1由对称性立得 ¶y = -1 而e17¶z ¶z

53、例 10（湖南大学）设 z = f (x - y , e ) ， f 可微，求 ¶x , ¶y 解 记u = x 2 - y 2 ， v = e xy ，则有22xy¶z = ¶f × ¶u + ¶f × ¶v= 2x ¶f + yexy，¶f¶x¶u ¶x¶v ¶x¶u¶v¶z = ¶f × ¶u + ¶f × ¶v= 2 y ¶f +

54、 xexy¶f¶y¶u ¶y¶v ¶y¶u¶v¶z例 11（大学 1998）设方程 z + xy = f (xz, yz) 确定可微函数 z = z(x, y) ，求 ¶x 解 记u = xz, v = yz ，方程两边关于 x 求偏导得¶z¶f¶z¶f¶z¶x + y = ¶u (z + x ¶x ) + ¶v × y ¶x ，y - z ¶f¶z¶x&#

55、182;u=x ¶f + y ¶f-1¶u¶v例 12（华中师大 2001）设 f 为可微函数， u = f (x 2 + y 2 + z 2 ) ，且3x + 2 y 2 + z 3 = 6xyz （1）¶u试对以下两种情况，分别求在点 P (1,1) 处的值：¶x0（1） 由方程（1）在点（1，1，1）某邻域确定了隐函数 z = z(x, y) ；（2） 由方程（1）在点（1，1，1）某邻域确定了隐函数 y = y(x, z) 解（1）记v = x 2 + y 2 + z 2 ，由（1）中假设得¶u¶f

56、2;v¶f¶z¶x = ¶v × ¶x= ¶v (2x + 2z ¶x ) （2）在方程（1）两边关于 x 求导得¶z3 + 3z 2= 6 yz + 6xy ¶z ，¶x¶x¶z2 yz - 1=，将其代入（2）式得¶xz 2 - 2xy18¶u¶f2 yz - 1=(2x + 2z ×) ，¶x¶vz 2 - 2xy¶u从而¶x= 0 P0（2）方程（1）两边关于 x 求导得

57、2;y¶y3 + 4 y ¶x = 6 yz + 6xz ¶x ，¶y6 yz - 3=¶x4 y - 6xz于是有¶u = ¶f × ¶v = ¶f(2x + 2 y ¶y ) = ¶f (2x + 2 y ×6 yz - 3 ) ，¶x¶v ¶x¶v¶x¶v4 y - 6xz¶u从而¶x¶f= -¶vP0P0例 13（西北工业大学）设 z = xf (x - y,

58、 xy 2 ) ，其中 f 具有连续的导数，求¶z¶ 2 z¶x , ¶x¶y 解 记u = x - y, v = xy 2 ，则¶z¶x= f (x - y, xy 2 ) + xf (x - y, xy 2 ) + xy 2 f (x - y, xy 2 ) ，uv¶ 2 z= - fu (x - y, xy ) + 2xyfv (x - y, xy ) - xfuu (x - y, xy )222¶x¶y+ 2x 2 yf (x - y, xy 2 ) + 2xyf (x - y, xy 2 )uvv- xy 2 f (x - y, xy 2 ) + 2x 2 y 3 f (x - y, xy 2 )uvvv= - fu (x - y, xy ) + 4xyf (x - y, xy ) - xf (x - y, xy )222vuu+ (2x 2 y - xy 2 ) + 2x 2 y 3 f (x - y, x