旋转综合题与问题详解

1、旋转综合题一解答题(共14小题)1 阅读与理解：图1是边长分别为a和b (a> b)的两个等边三角形纸片 ABC和C DE叠放在一 起(C与C重合)的图形.操作与证明：(1) 操作：固定 ABC将厶C DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连接AD BE,如图2;在图2 中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2) 操作：若将图1中的 C DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度 a, 连接AD, BE,如图3;在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明 你的结论； 猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当a为多少度时，线段AD的长度最大是多少？ 当a为

2、多少度时，线段AD的长度最小是多少？2如图1、2是两个相似比为1:的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.(1) 在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC BC交于点E,F,如图 4.求证：aE+bF=eF；(2) 若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和 CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE+BF=EF是否仍然成立？若成立，请给出 证明；若不成立，请说明理由.(3) 如图6,在正方形ABCD中, E、F分别是边BC CD上的点，满足 CEF的 周长等于正方形ABCD勺周长的一半，AE AF分别与对角

3、线BD交于M N,试问 线段BM MN DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出 证明；若不能，请说明理由.3某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60°角的直 角三角板ABC与 AFE按如图(1)所示位置放置放置，现将 Rt AEF绕A点按逆 时针方向旋转角 a( O°VaV 90°),如图(2), AE与BC交于点M AC与EF 交于点N, BC与 EF交于点P.(1) 求证：AM=AN(2) 当旋转角a =30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.c4. 如图1,在厶ABC中，/ A=36

4、76; , AB=AC / ABC的平分线BE交AC于E.(1) 求证：AE=BC(2) 如图(2),过点E作EF/ BC交AB于F,将 AEF绕点A逆时针旋转角 a(O°VaV 144°)得到 AE F',连结 CE , BF'，求证：CE =BF ;(3) 在(2)的旋转过程中是否存在CE / AB?若存在，求出相应的旋转角a;園5. 在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=1 BC=/j，点 O为 Rt ABC点，连接 A0 BO CO且/ AOCM COB=BOA=120,按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将 AOB绕点B顺时针方

5、向旋转60°,得到 A O B （得 到A、O的对应点分别为点A'、O ），并回答下列问题：BC=，OA+OB+OC=6 .在 ABC中, BA=BCZ BACa，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ（1）若a =60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形，并写出/ CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D, 猜想/ CDB的大小（用含a的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点 B, M重

6、合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QP请直接写出a 7 已知，在 ABC中, AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角直线a交BC边于点P (点P不与点B、点C重合), BMN勺边MN!台终在直线a上(点M在点N的上方)，且BM=BN连接CN(1) 当/ BACK MBN=9° 时， 如图a,当9 =45°时，/ ANC勺度数为; 如图b,当9工45°时，中的结论是否发生变化？说明理由；(2) 如图c,当/ BACK MB皆90°时，请直接写出/ ANC与/ BAC之间的数量 关系，不必证明.8

7、.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG勺宽AE丄,长EF=-.；将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMN(如图)，这时BD与MN相交于点O(1) 求K DOM勺度数；(2) 在图中，求D N两点间的距离；(3) 若把长方形AMN!绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ请问此时点B在矩形ARTZ勺部、外部、还是边上？并说明理由.9 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1,在等腰直角 ABC中，AB=AC / BAC=90 ,小敏将一块三角板中含 45° 角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边

8、 所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线 BC于点E.(1) 小敏在线段BC上取一点M连接AM旋转中发现：若 AD平分/ BAM则 AE也平分/ MAC请你证明小敏发现的结论；(2) 当0°<a< 45°时，小敏在旋转中还发现线段 BD CE DE之间存在如下 等量关系：bD+cE=dE.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将厶ABDft AD所在的直线对折得到 ADF连接EF (如图2) 小亮的想法：将厶ABD绕点A逆时针旋转90°得到 ACG连接EG(如图3); 请你从中任选一种方法进行证明；(3) 小敏继续旋

9、转三角板，在探究中得出当 45°<a< 135°且aM 90°时， 等量关系BD+CE=DE仍然成立，先请你继续研究：当 135°<a< 180°时(如 图4)等量关系bD+cE=dE是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明 理由.10如图，将边长为a的正方形OAB(绕顶点O按顺时针方向旋转角a(0°v av 45°),得到正方形OABiC .设边BiG与OC的延长线交于点 M边BA与OB 交于点N,边BiAi与OA的延长线交于点E,连接MN(1) 求证： OCMA OAE;(2) 试说明： O

10、MN勺边MN1的高为定值；(3) MNB的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化， 请给予证明，并求出p的值.11. 在正方形ABCD勺边AB上任取一点E,作EF丄AB交BD于点F，取FD的中点G,连接EG CQ如图(1)，易证EG=CG且EGLCGE BC图(1) 将厶BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数 量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.(2) 将厶BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的 数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.12. 己知：正方形 ABCD(1) 如图1,点E

11、、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF此时，线段 BE DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.(2) 如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转Za,当O°VaV 90°时，连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果 不成立，请说明理由.(3) 如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转Za，当a=90°时， 连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线 DF垂直平分BE请直 接写出结论.(4) 如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转Za,当90°VaV 180°

12、时，连接BD DE EF、FB得到四边形BDEF则顺次连接四边形 BDEF各 边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论.13. 如图，点O是等边 ABC-点，Z AOB节，Z BOCa .将 BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得厶ADC连接OD(1) 当B =110°,a =150°时，试判断厶AOD勺形状，并说明理由.(2) 探究：若B =110°,那么a为多少度， AOD是等腰三角形？(只要写出探究结果)a= .(3) 请写出 AOD1等边三角形时a、B的度数.a二度；B=度.14. 已知正方形ABCD中, E为对角线BD上一点，过E点作

13、EF丄BD交BC于F, 连接DF, G为DF中点，连接EG CG(1) 求证：EG=CG(2) 将图中厶BEF绕B点逆时针旋转45°,如图所示，取DF中点G,连接 EG CG问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由；(3) 将图中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论 (均不要求证明).图图囹旋转综合题 参考答案与试题解析一解答题（共14小题）1. （2017?四模）阅读与理解：图1是边长分别为a和b（ a> b）的两个等边三角形纸片 ABC和C DE叠放在一 起（C与C重

14、合）的图形.操作与证明：（1）操作：固定 ABC将厶C DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连接ADBE,如图2;在图2 中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的 C DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度 a, 连接AD, BE,如图3;在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明 你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当a为多少度时，线段AD的长度最大是多少？ 当a为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【解答】解：操作与证明：(1) BE=AD C DE绕点C按顺时针方向旋转30/ BCE2 ACD=3度, ABC与 C

15、DE是等边三角形， CA=CB CE=CD BCEA ACD BE=AD(2) BE=AD C DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为 a,/ BCE2 ACDa, ABC与 C DE是等边三角形， CA=CB CE=CD BCEA ACD BE=AD猜想与发现：当a为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b;当a为0° (或360°)时, 线段AD的长度最小，等于a-b.2. (2014?校级自主招生)如图1、2是两个相似比为1:.二的等腰直角三角形， 将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.(1) 在图3中，绕点D旋转小直角三角形

16、，使两直角边分别与AC BC交于点E,F,如图 4.求证：aE+bF=eF；(2) 若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和 CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE+BF=EF是否仍然成立？若成立，请给出(3) 如图6,在正方形ABCD中, E F分别是边BC CD上的点，满足 CEF的 周长等于正方形ABCD勺周长的一半，AE AF分别与对角线BD交于M N,试问 线段BM MN DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出 证明；若不能，请说明理由.【解答】证明：（1）连CD如图4,两个等腰直角三角形的相似比为1: 而小直角三角形的斜边等于大直角三角形

17、的直角边，点D为AB的中点， CD=AD / 4=Z A=45，又/ 1 + Z 2=Z 2+Z 3=90°, / 3=7 1， CDFA ADE CF=AE同理可得厶CEDA BFD CE=BF而 cE+cF=eF, aE+bF=eF；（2）结论aE+bF=eF仍然成立理由如下：把厶CFB绕点C顺时针旋转90°，得到 CGA如图5 CF=CG AG=BF7 4=7 1,7 B=7 GAC=45， 7 GAE=90 ,而 7 3=45°, 7 2+7 4=90°- 45° =45°,/ 1+Z 2=45°, CGE CFEG

18、E=EF在 Rt AGE中, AE+AG=GE, aE+bF=eF；(3) 线段BM MN DN能构成直角三角形的三边长理由如下：把厶ADF绕点A顺时针旋转90°得到 ABP点N的对应点为Q,如图AD/>Fy %/ *-PB Ec/4=Z 2,Z 1+Z 3+Z 4=90°, BP=DF BQ=DN AF=AP CEF的周长等于正方形 ABCD勺周长的一半， EF=BE+DF EF=EP AEFA AEPZ 1=Z 3+Z 4 ,而 AQ=AN AMA AMN MN=QM而Z ADNZ QBA=45 , Z ABD=45 , Z QBN=90 , bQ+bM=qM b

19、M+dN=miN3. (2013?)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板 ABC与 AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将 Rt AEF 绕A点按逆时针方向旋转角 a (0°VaV 90°),如图(2), AE与BC交于点MAC与EF交于点N, BC与EF交于点P.(1)求证：AM=ANABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.【解答】（1）证明：用两块完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt AEF绕A点按逆时针方向旋转角 a （0°VaV 90

20、76;), AB=AF / BAMM FAN在厶 ABMfP AFN 中，lZB=ZF ABMm AFN( ASA, AM=AN(2)解：当旋转角a =30°时，四边形ABPF是菱形. 理由：连接AP,v/a =30°,/ FAN=30 ,/ FAB=120 ,v/ B=60° ,/ B+/ FAB=180 , AF/ BP,/ F=/ FPC=60 ,/ FPC/ B=60° , AB/ FP,四边形ABPF是平行四边形, AB=AF平行四边形ABPF是菱形.4. (2013?)如图1,在厶ABC中，/ A=36 ,AB=ACZ ABC的平分线 BE交

21、 AC于E.(1)求证:AE=BC(2)如图(2)，过点E作EF/ BC交AB于F，将 AEF绕点A逆时针旋转角a(0°VaV 144°)得到 AE F'，连结 CE，BF，求证：CE =BF ；若存在，求出相应的旋转角a;(3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE / AB?/ ABC2 C=72，又 BE平分/ ABC/ ABEW CBE=36，:丄 BEC=180 -Z C-Z CBE=72 ,/ ABE=Z A,Z BECZ C, AE=BE BE=BC AE=BC(2)证明：AC=ABt EF/ BC AE=AF由旋转的性质可知：Z E ACZ F'

22、 AB AE =AF , 在 CAE和厶BAF中AOAB'H -1,，AEV 二AT CE =BF（3）存在 CE / AB,E点经过理由：由（1）可知AE=BC所以，在 AEF绕点A逆时针旋转过程中, 的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线I交于M N两点， 如图：当点E的像E'与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，Z BAMZ ABC=72，又Z BAC=36 ,a =Z CAM=3° .当点E的像E'与点N重合时，由 AB/ I 得，Z AMNZ BAM=72 , AM=AN Z ANMZAMN=7° , Z MAN=18° -

23、 2X 72° =36°, a =Z CANZ CAMZ MAN=7° .所以，当旋转角为36°或72°时，CE / AB.（备用图5. （2013?）在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=1, BC兀，点 O为 Rt ABC 点, 连接A0、BOCO且/AOCM COB=BOA=120,按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点B为旋转中心，将 AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到 A O B （得 到A、O的对应点分别为点A'、O ），并回答下列问题：/ ABC= 30° ，Z A BC= 90°，

24、OA+OB+OC=_.CB【解答】解：I/ C=90，AC=1 BC萨，tan/ ABC=30， AOB绕点B顺时针方向旋转60°, A O' B如图所示；/ A BC/ ABC60° =30° +60° =90°,v/C=90， AC=1, ZABC=30， AB=2AC=2 AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到 AOB, A B=AB=2 BO=BO , A O' =AO BOO是等边三角形， BO=OO ,Z BOO =Z BO O=60 ,vZ AOCM COBH BOA=12O ,/ COBH BOO =Z

25、 BO A +Z BO O=120 +60° =180°,COA'、O四点共线，在 Rt A BC中，A C=：二=._, OA+OBOC=A O +OO +OC=A C= .6. (2012?)在厶ABC中, BA=BCZ BACa, M是AC的中点，P是线段BM上的 动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ(1) 若a =60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点 D,请补全图形，并写出Z CDB的度数；(2) 在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D, 猜想Z CDB的大小(用含a的代数式表示

26、)，并加以证明；(3) 对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点 B, M重 合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QP请直接写出a 的围./ BAC=60 , M是AC的中点, BMLAC, AM=M,C将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ AM=M,QZ AMQ=12° , CM=MQZ CMQ=60, CMQI等边三角形,/ ACQ=60 ,/ CDB=30 ;(2)如图2,连接PC, AD, AB=BC M是AC的中点, BML AC,即BD为AC的垂直平分线, AD=CD AP=PC PD=PD在厶 APD与 CPD中 ,fAD=

27、CDm ,PA=PC APDA CPD(SSS ,/ ADB2 CDB / PAD2 PCD又 PQ=PA PQ=PC / ADC=Z 1 , / 4=Z PCQM PAD/ PAD/ PQDM 4+Z PQD=180 ,/ APQ/ ADC=360 -(/ PAD/ PQD =180° ,/ ADC=180 -/ APQ=180 - 2a, 2/CDB=180 - 2a , / CDB=90 a;(3)如图1,延长BM CQ交于点D,连接ADvZ CDB=90 a, 且 PQ=QD/ PADZ PCQZ PQC=Z CDB=180 2a,v点P不与点B, M重合，Z BAD>

28、Z PAD>Z MADv点P在线段BM上运动，Z PAD最大为2a,Z PAD最小等于a, 2 a> 180°- 2 a>a, 45°VaV 60°.< 图17. (2012?)已知，在 ABC中, AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置 开始绕点A按顺时针方向旋转角0,直线a交BC边于点P (点P不与点B点C 重合), BMN勺边MN始台终在直线a上(点 M在点N的上方),且BM=BN连接 CN(1) 当 Z BACZ MBN=90 时， 如图a,当0=45时，Z ANC勺度数为 45°: 如图b,当0工45°时

29、，中的结论是否发生变化？说明理由；(2) 如图c,当Z BACZ MB皆90°时，请直接写出Z ANC与Z BAC之间的数量 关系，不必证明.【解答】解：（1）I / BAC=90 , 9 =45°, API BC, BP=CP（等腰三角形三线合一）, AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又/ MBN=9°，BM=BN AP=PN（等腰三角形三线合一）,AP=PN=BP=PC且 AN! BC,四边形ABNC是正方形，ANC=45 ;连接CN当9工45°时，中的结论不发生变化.理由如下：BAC/ MBN=9° , AB=AC BM=

30、BNABC/ ACB/ BNP=45 ,又/ BPN/ APC BNPA ACPBPPNAPPC '又/ APBW CPN ABPA CNP/ ANCM ABC=45 ;(2)Z ANC=90 -丄/ BAC2理由如下：I/ BACM MB 皆 90°, AB=AC BM=BN/ABC=/ ACB=/ BNP 丄(180°-/ BAC,2又/ BPN=/ APC BNPA ACPBPPNAPPC又/ APB/ CPN ABPA CNP/ ANC/ ABC在厶ABC中 , / ABC丄(180°-/ BAC =90°-二/ BAC2 28. (20

31、12?)如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,长方形 AEFG勺宽AE= 丄,长EF丄；将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMN(如 图)，这时BD与MN相交于点O.(1) 求/ DOM勺度数；(2) 在图中,求D N两点间的距离；(3) 若把长方形AMN绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ请问此时点 B在矩形ARTZ勺部、外部、还是边上？并说明理由.圜1【解答】解：(1)根据题意得：/ BAM=15 ,四边形AMN是矩形，/ M=90 ,/ AKM=90 -Z BAM=75 ,/ BKOZ AKM=75 ,四边形ABCD是正方形，Z ABD=45 ,

32、Z DOMZ BKOZ ABD=75 +45° =120°(2)连接AN交BD于 I，连接DN tan Z HAN=:,AH 3 Z HAN=30 , AN=2NH=,7由旋转的性质：Z DAH=15 , Z DAN=45 ,vZ DAC=45 , A, C, N 共线，v四边形ABCD是正方形, BDL AC,v AD=CD=3 :, DI=A匸*AC*J 怔址护=3, NI=AN- AI=7 - 3=4 ,在 Rt DIN 中,DN= | ' |'=5;(3)点B在矩形ARTZ勺外部.理由：如图，根据题意得：Z BAR=15 +15° =30&

33、#176; , vZ R=90 , AR丄,7_ AK=厶J|cos30&<3.32 AB=3,点B在矩形ARTZ勺外部.T9. (2012?)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1,在等腰直角 ABC中, AB=AC / BAC=90 ,小敏将一块三角板中含 45° 角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边 所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线 BC于点E.(1) 小敏在线段BC上取一点M连接AM,旋转中发现：若 AD平分/ BAM则 AE也平分/ MAC请你证明小敏发现的结论；(2) 当0°<a&l

34、t; 45°时，小敏在旋转中还发现线段 BD CE DE之间存在如下 等量关系：bD+cE=dE.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将厶ABDft AD所在的直线对折得到 ADF连接EF (如图2) 小亮的想法：将厶ABD绕点A逆时针旋转90°得到 ACG连接EG(如图3);请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当 45°VaV 135°且a丰90°时， 等量关系BD+CE=DE仍然成立，先请你继续研究：当 135°VaV 180°时（如 图4）等量关系bD+cE=d

35、E是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明%圉3【解答】（1）证明：如图1，vZ BAC=90，/ BAD/ DAM£ MAE" EAC=90 .vZ DAE=45， / BAD/ EAC=45 .vZ BAD/ DAMZ BAD/ EACZ DAMZ EAC=45，Z DAMZ MAE/ DAMZ EAC Z MAE/ EAC 即 AE平分Z MAC(2)选择小颖的方法.证明：如图2,连接EF.由折叠可知，Z BAD/ FAD AB=AF BD=DFvZ BAD/ FAD由(1)可知，Z CAE/ FAEAF=AC心.I .-.，AE=AE AEFA AEC( SA

36、S， CE=FEZ AFEZ C=45 . Z DFEZ AFD+Z AFE=90 .在 Rt DFE中, DF+FE=DE, bD2+CE2=DE2.(3) 当135°VaV 180°时，等量关系bD+cE=dE仍然成立.证明如下：如图4,按小颖的方法作图，设 AB与EF相交于点G.将 ABD召AD所在的直线对折得到 ADF AF=AB / AFD2 ABD=135，/ BAD2 FAD又 AC=AB： AF=AC又/ CAE=90 -Z BAE=90 - (45°-/ BAD =45° +Z BAD=45 +Z FAD2 FAE/ CAEZ FAE在

37、厶 AEF AEC中,irAF=ACZF相二ZWE,;AE=AE AEFA AEC( SAS, CE=FEZ AFEZ C=45 .Z DFEZ AFD-Z AFE=/ 135°-Z C=135 - 45° =90°.Z DFE=90 . bD+cE=dE .10. （2012?高淳县一模）如图，将边长为a的正方形OAB（绕顶点O按顺时针方 向旋转角a（ 0°VaV 45°），得到正方形OAB1C .设边BC与OC的延长线交于点M 边BA与OB交于点N,边BAi与0A的延长线交于点E,连接MN(1) 求证： OCMA OAE;(2) 试说明：

38、OMN勺边MN±的高为定值；(3) MNB的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化,/ AiOE+Z AiOMM CiOM# AOM=90 ,pzoa-zc!OAq 二 OCZa1oe=Zc1oji/ AiOEZ COM在。制和厶OAE中, OCMA OAE (ASA；(2)解： OCMA OAE (已证), OE=OM在厶 EONffiA MON中, ZEON=ZHOH=45"L OM=ON EONm MO( SAS, EN=MN OMN勺边MN±的高等于厶OEN& EN上的高，即OA的长a,为定值;(3) p不会发生变化，是定值2a.

39、理由如下：根据(1) (2), OGMA OAE,A EONA MON MN=ENAE=GM MNB的周长 p=MN+NBMB,=EN+NB+MB,=EB+MB,=AE+ABi+MEB,=CM+AB+MB,=AiBi+BiG ,正方形OABC勺边长为a,-AB=BCi=a, p=2a，是定值.11.（2011?）在正方形ABCD勺边AB上任取一点E,作EF丄AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG CQ如图（1）,易证EG=CG且EGLCG（1）将厶BEF绕点B逆时针旋转90°,如图（2）,则线段EG和CG有怎样的数 量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将厶BEF绕点B逆时

40、针旋转180°,如图（3）,则线段EG和CG又有怎样的 数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.【解答】 解：（1）EG=CG EGL CG(2) EG=CG EG! CG证明：延长FE交DC延长线于M连MG vZ AEM=90，/ EBC=90，/ BCM=9° , 四边形BEM(是矩形. BE=CMZ EMC=9° ,由图(3)可知，v BD平分Z ABC Z ABC=90，Z EBF=45，又 v E FL Ab BEF为等腰直角三角形 BE=EF Z F=45°. EF=CMvZ EMC=9°，FG=DG MG丄 FD=FGv

41、BC=EM BC=CD EM=CDv EF=CM FM=DM又 v FG=DGZ EMC=45 Z F=Z GMCGFE与 GMC中,，一 N',E?=CM GFEA GM( SAS. EG=CG Z FGEZ MGC vZ FMC=90 , MF=M, FG=DG MGL FD,Z FGEZ EGM=9° ,Z MGCZ EGM=9° , 即 Z EGC=90 , EG!CG12. (2011?)己知：正方形 ABCD(1) 如图1,点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF此时，线段 BE DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.(2) 如图2,

42、等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转Za,当O°VaV 90°时，连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果 不成立，请说明理由.(3) 如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转Za,当a=90°时， 连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线 DF垂直平分BE请直 接写出结论.(4) 如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转Za,当90°VaV 180°时，连接BD DE EF、FB得到四边形BDEF则顺次连接四边形 BDEF各 边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结

43、论.£月【解答】解：(1)(2)在厶 DFAP BEA中，vZ DAF=90 -Z FAB / BAE=90 -Z FAB/ DAFZ BAE又 AB=AD AE=AF DFAA BEA BE=DFZ ADFZ ABE BE! DF;(3) AE=(贡-1) AD(4)正方形.D!CBE底F圍13. (2011?校级一模)如图，点0是等边 ABC-点,Z AOB节，Z BOCa .将 BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得厶ADC连接OD(1) 当B =110°,a =150°时，试判断厶AOD的形状，并说明理由.(2) 探究：若B =110°,那么a为多少度， AOD是等腰三角形？(只要写出探究结果)a=125°或110°或140°.120 度；3=120(3)请写出 AOD是等边三角形时a、B的度数.【解答】解：（AOD是直角