模糊数学例题

1、附录5 地下水的模糊综合评判某水井选取了五个污染物指标进行评价，建立污染物单因子指标集合u = 矿化度，总硬度，NO3，NO2，SO42。实测数据如表附表5-1。附表5-1 7#水井水质监测数据井 号矿化度总硬度NO3-NO2-SO42-7#825.9224.220002总硬度( mg/L)1503004505505503硝酸盐(以N计)(mg/L)2.05.02030304亚硝酸盐(以N计)(mg/L)0.0010.010.020.10.15硫酸盐(以mg/L)50150250350350对于矿化度为例，I级水标准为300mg/L，级水标准为500mg/L，故矿化度对于I级水的隶属度据（9-

2、39）函数表达式得： (1)照此，得到矿化度对其余各级水的隶属函数：而矿化度的级水的隶属函数为： （2） 矿化度的级水的隶属函数为： （3） 矿化度的级水的隶属函数为： （4） 矿化度的V级水的隶属函数为： （5）总硬度对于I级水的隶属度据式（9-39）函数表达式得： (6)总硬度的级水的隶属度的计算式为： （7） 总硬度的级水的隶属度的计算式为： （8） 总硬度对级水的隶属度的计算式为： （9） 总硬度的V级水的隶属度的计算式为： （10）硝酸盐NO3-对于I级水的隶属度的计算式为： (11)硝酸盐NO3-的级水的隶属度的计算式为： （12） 硝酸盐NO3-的级水的隶属度的计算式为： （13

3、） 硝酸盐NO3-的级水的隶属度的计算式为： （14） 硝酸盐NO3-的V级水的隶属度的计算式为： (15)亚硝酸盐NO2-对于I级水的隶属度度的计算式为： (16)而亚硝酸盐NO2的级水的隶属度的计算式为： （17） 亚硝酸盐NO2 的级水的隶属度的计算式为： （18） 亚硝酸盐NO2的级水的隶属度的计算式为： （19） 亚硝酸盐NO2 的V级水的隶属度的计算式为： (20)硫酸盐SO42 对于I级水的隶属度的计算式得： (21)而硫酸盐SO42的级水的隶属度的计算式为： （22） 硫酸盐SO42的级水的隶属度的计算式为： （23） 硫酸盐SO42的级水的隶属度的计算式为： （24） 硫酸盐

4、SO42的V级水的隶属度的计算式为： (25)第2步：根据隶属函数构造一个由各项水质指标组成的模糊矩阵取U为各污染物单项指标的集合，取V为水体分级的集合。可取U(矿化度，总硬度，NO3-，NO2-，SO42-)，V（I级水，级水，级水，级水，V级水）。对于每个U中每个指标的实测值x，可根据隶属函数求出其对于IV级水的隶属度，计算结果如下：附表5-3 隶属度矿化度: x=825.900.34820.651800总硬度: x=224.20.50530.4947000硝酸盐: x2.50.8330.167000亚硝酸盐: x=0.026000.9250.0750硫酸盐: x=128.700.2130

5、.787000于是，便可得到一个55的模糊矩阵，用R记之： （26）第3步：确定各项水质指标的权重可根据水质指标的超标情况确定权值。超标越多，对污染的影响越大，其权重也越大，具体计算式为（6）式，即： （19）式中，为第i种污染物在水中的实测浓度； 为第i种污染物的标准浓度（极限允许浓度）平均值。因为单项指标在总体上的权重与某种用途水的单项分级标准无关，所以对于，如果某单项指标分为五个级别，则取它们的平均值： （20）矿化度的权重为： （21）式中，为实测值，为五个级别的标准值的平均值，按（20）式求得。用以上权重公式计算所得的各指标权重是一种相对权重，为了便于比较，还须将它们归一化，即要使各

6、指标权重之和等于1。计算权重可用（22）式。即： （i=1,2,n） （22）在本例中，U的集合由五项指标组成，故需要构成一个15阶权重矩阵。它也是一个模糊矩阵，记为A。下面计算矿化度的权重。由表1可知：于是，可算得其相对权重：仿此，可求出其它指标的权重。计算结果列于表3。表3 权重计算表矿化度总硬度硝酸盐亚硝酸盐硫酸盐825.911600.7120.28224.24000.5610.222.517.40.1440.060.0260.04620.5630.22128.72300.560.22表3中，由表3可知，权重模糊矩阵A为：第4步 模糊矩阵复合运算模糊矩阵复合运算类似于普通矩阵乘法，所不同

7、的是将“+”号改为“”号，将“”号改为“”号。“”表示两数中取大，“”号表示两数中取小。本题可知：=（0.280）(0.220.505) （0.060.833）（0.220）（0.220. 213）， （0.280.348）(0.220.495) （0.060.167）（0.220）（0.220. 787）， （0.280.652）(0.220) （0.060）（0.220.925）（0.220）， （0.280）(0.220) （0.060）（0.220.075）（0.220）， （0.280）(0.220) （0.060）（0.220）（0.220），=(00.220.0600.213)，(0.280.220.0600.22)，(0.28000.220)，(0000.0750)，(00000)=0.22，0.28，0.28，0.075，0归一化处理后得：(注：各项总和为0.855)=0.257，0.327，0.327，0.088