教师风采大赛课题：相似三角形中等积式的证明技巧(教师版)

1、 教学内容概要证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。一，直接寻找相似三角形等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似【例1】如图，ABC中，ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：DC2=DEDF证明：DCE与DCF相似二，等量代换法等积式先转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。【例2】如图在ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CFAB，延长

2、BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP2=PEPF联结PC，可证明PC=PB，证明PCE与PCF相似三，等比代换法当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。【例3】如图，ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC延长线于H，求证：DF2=FGFH先证明AFD与BFD相似，得到等积式DF2=AFBF，再证明AFH与BFG相似【练习】1、如图，ABC中，点DE在边BC上，且ADE是等边三角形，BAC=120°求证：（1）ABAC=ADBC （2）DE2

3、=DBCE（1） 证明ABD与ABC相似（用外角）（2） 用AD与AE替换DE，证明ABD与ACE相似2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证：（1）BEM BFC （2）CF2=FBME（1） 先证明ABE与BCF全等，得到E=F，可证相似（2） 用BE替换CF，证明CBF与BME相似3、如图，在ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，AFD=BEC求证：（1）AF=CE （2）BF2=EFAF（1） 证明ABF与ACE全等（2） 用（1）中结论替换AF为CE

4、，再替换BF=AE，证明AEF与ACE相似4、已知，如图，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDC，连接AE、BD（1）求证：AGE DAB （2）延长BD交AE于点M，求证：BG2=MEAE（1） SAS （2） BG=CD=DE，证明MED与ADE相似5、如图，在ABC中，正方形EFGH内接于ABC，点E、F在边AB上，点G、H分别在BC、AC上，且（1）求证：C=90° （2）求证：AHCG=AEFB（1） 证明AEH与BFG相似，可得A与B互余（2） 可证HCG与BFG相似，可得FB：CG=BG：HG=BG：GF，即证明

5、AHE与BFG相似即可6、如图，AD是ABC中BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：FD2=FCFB联结AF，替换FD，证明FCA与AFB相似7、如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，点M、N分别在边AC、BC上，将MCN沿直线MN折叠，点C落在AB边上的点P，过点A作ADBC交CP的延长线于D求证：（1）D=PMN （2）PA：PB=MC：CN（1） MCE与ACD相似可证角等（或利用等角的余角相等）（2） 替换等比式PA：PB=AD：BC，由BC=AC再替换相等线段，证明ADC与CNM相似8、已知在BAC中，AD是角平分线，AE是外角平分线，交BC的延长线于点E，T为DE的中点求证：TE2=BTCT可证DAE=90°，即T是直角三角形斜边中点，可得AT=DT=TE，即证ABT与ACT