第十三章：二叉树

1、第十三章：二叉树第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型引言对期权定价时，一种实用并且很流行的方法是构造二叉树（binomialtree)模型，二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，假设了股票价格服从随机游动（randomwalk）。在树形上的每一步，股票价格以某种概率会向上移动一定的比率，同时以某种概率会向下移动一定的比率。本章解释了用于期权定价的无套利假设的特征，介绍了经常用于对美式期权及其他衍生品定价所采用的二叉树值方法，引入了非常重要的风险中性定价原理第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型 目录 一、一步二叉树模型与无套利方法 二、风险中性定价 三、两步二叉树 四、看

2、跌期权例子 五、美式期权 六、Delta 七、与波动率吻合的u和d 八、二叉树公式 九、增加二叉树的步数 十、运用DeribaGem软件 十一、其他基础资产的期权第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型一、一步二叉树模型与无套利方法假设一只股票的当前价格为20美元，并且己知在3个月后股票的价格将会变为22美元或18美元，希望对期限为3个月、执行价格21美元的欧式看涨期权进行定价。图1-1：本部分例子中股票价格的变化股票价格=20美元股票价格=22美元期权价格=1美元股票价格=18美元期权价格=0第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型构造无风险证券组合：单位的股票的长头寸+1份看涨期权短头寸，则 22

3、-1=18 即=0.25股票价格上涨为22美元，组合价值为 220.25-1=4.5美元股票价格下跌到18美元，组合价值为 180.25=4.5美元第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型当市场不存在套利机会时，无风险的投资组合收益率等于无风险利率。假设这时的无风险利率每年为12%，该投资组合在今天的价值必须为4.5美元的贴现值，也就是 （美元）股票在今天的价格已知为20美元，如果将看涨期权的当前价格记为，那么投资组合在今天的价值是 200.25- =4.367 =0.633（美元）如果期权的当前价格高于0.633美元，那么构造投资组合的费用就会低于4.367美元，投资组合的收益率就会高于无风险利

4、率；如果期权的当前价格低于0.633美元，卖空该投资组合将会获得一个低于无风险利率的融资机会。一般来讲，对于卖出每份看涨期权，都要通过买入股股票来构成无风险投资组合，因此在对冲期权风险时，参数非常重要。367.4e5.43/12-12%S0 股票的价格f0 股票期权T 期权的期限S0u在期权有效期内上涨后的股票价格（u1）S0d在期权有效期内下跌后的股票价格（d1）fu 股票价格变到S0u，相应的期权价格fd 股票价格变到S0d，相应的期权价格推广推广第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型S0u uS0d dS0假设市场上无套利机会。如图1-2所示图1-2 在一步二叉树中的股票

5、价格及期权价格如果股票价格上涨，期权到期时组合的价格为S0u-u如果股票价格下跌，期权到期时组合的价格为S0d-d第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型 考虑到一个由单位股票的多头与一份看涨期权空头所组成的投资组合，需要找到一个是投资组合没有任何风险的。 如果价格上涨，在期权合约到期时投资组合的价为 ； 如果价格下跌，在期权合约到期时投资组合的价为 。 在无套利的假设前提下，这两个值应当相等，即 = = 得出 式子（13-1）表明，是在T时刻期权价格变化与股票价格变化的比率。S0uD uS0dD dS0uD uS0dD ddSuSfdu00D（13-1）第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型 既然

6、投资组合是无风险的，那么投资组合的收益率必须等于无风险利率。 如果将无风险利率记为r，投资组合的现值为 (S0uD u)erT 构造投资组合的初始成本是S0D f 令 = S0D f将式子（13-1）中的带入上式并化简，得到欧式看涨期权的定价公式 = pu + (1 p)d erT其中当股票价格的变动过程由一步二叉树给出时，式子（13-2）和式子（13-3）可以用来对期权进行定价。(S0uD u)erTpedudrT（13-2）（13-3）第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型图13-1的例子中，u=1.1，d=0.9，r=12%，T=0.25， u =1及fd=0。由式子（13-3），得出由式

7、子（13-2），得出6523.09.01.19.0p25.0%12e633.0）03477.016523.0(25.0%12ef第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型 2.股票期望收益的无关性 期权定价公式（13-2）中没有涉及股票价格上涨或下跌的概率 例如，按此公式（13-2）计算，当股票价格上涨概率为0.5时，所得的欧式期权价格与股票价格上涨概率为0.9时所得的欧式期权价格一样。 我们会很自然地认为当股票价格上涨的概率增大时，该股票的看涨期权价格也会增大，股票的看跌期权价值会下降，但事实并非如此。 关键原因：不是在一个绝对的条件下对期权进行定价的，而是根据股票价格来计算期权价格的，未来股票价

8、格上涨与下跌的概率已经反映在它的价格之中。 根据股票对期权定价时，无须再考虑股票上涨与下跌的概率。第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型二、风险中性定价风险中性世界的两个特点可以简化对衍生产品的定价1.股票（或任何投资）的收益率期望等于无风险利率。2.用于对期权（或其他债券）的收益期望值贴现的利率等于无风险利率。期权在到期日的收益在风险中性世界里的期望值： pfu+(1-p)fdp 风险中性世界里股票价格上涨的概率1-p风险中性世界里股票价格下跌的概率第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型证明：p风险中性世界里股票价格上涨的概率将p带入公式，得出：rTTeSSE0)(说明股票价格上涨概率为p时，其

9、按无风险利率平均速度增长。股票价格的变化正如当p为价格上涨概率时在风险中性世界所期望的那样。第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型例：股票的当前价格为20美元，3个月后的股票价格变成22美元或者18美元。这里考虑的期权为欧式期权，执行价格为21美元，期限为3个月，无风险利率为12%。第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型分析：3个月后股票的期望满足12/312.020)1(1822epp因此p=0.6523。在第3个月后，看涨期权的期望值为：0.65231+0.34770=0.6523因此，期权今天的价格为633.0e6523.012/312.0美元第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型三、两步二叉

10、树例：股票初始价格为20美元，在树中的任意一步，股票价格或者上涨10%或下跌10%。假定树中每一步的步长均为3个月，无风险利率为12%。期权的期限为6个月，执行价格为21美元。计算在起始点的期权价格。P=0.652320221824.219.816.2图1-3 两步二叉树中的股票价格第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型节点B上的期权价值为0257.2)03477.02.36523.0(12/312.0e节点A上的期权价值为2823.1)03477.00257.26523.0(12/312.0e20 A1.282322 B2.025718 C0D 24.2 3.2E 19.8 0F 16.2 0

11、图1-4 两步二叉树的股票价格及期权价格第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型 推广：我们假定无风险利率为r，二叉树的步长为t年。S0fS0ufuS0u2fuuS0udfudS0dfdS0d2fdd图1-5 一般两步二叉树中的股票价格及期权价格第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型因为步长为t，式（13-2）及式（13-3）变为 = ert pu + (1 p)d dudeprDt（13-5） （13-6）重复（13-5），我们得出(1)r tdudddfepfp f D(1)r tudfepfp f D（13-7）（13-8）（13-9）第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型将式（13-7）和式（

12、13-8）带入式（13-9），我们得出2222 (1)(1)r tuuudddfep fpp fpfD（13-10）第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型四、看跌期权例子例：考虑一个两年期执行价格为52美元的欧式看跌期权，股票的当前价格为50美元。我们假定股票价格服从步长为1年的两步二叉树。在二叉树的每一步上，股票价格过上涨20%，或者下跌20%，我们假定无风险利率为5%。二叉树如图1-6：504.1923604072048432201.41479.4636图1-6 利用两步二叉树来对欧式看跌期权定价第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型如图所示，这里u=1.2，d=0.8，t=1及r=0.05。

13、我们可以算出风险中性概率p为6282. 08 . 02 . 18 . 0105. 0ep最终的股票价格可能为72美元、48美元或32美元。这时fuu=0，fud=4，fdd=20。根据式（13-10），我们有f=e-20.051(0.628220+ 20.62820.37184+0.3718220)=4.1923看跌期权的价值为4.1923美元。第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型五、美式期权定价的过程是从树的末尾出发以倒推的形式推算到树的起点，在树的每一个节点上，我们都需要检验提前行使期权是否为最优。在树的最后节点上，期权的价格等于欧式期权的价格，之前任何一个节点上期权的价格等于以下两个数的

14、最大值：（1）由式（13-5）所计算的值。（2）提前行使期权的收益。第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型505.0894604072048432201.414712.0C美式期权图1-7 利用两步二叉树来对美式看跌期权定价第十三章二叉树模型第十三章二叉树模型六、Delta（）一个股票期权的Delta为期权价格变化同股票价格变化之间的比率，它是当我们卖出一份期权时，为了构造无风险组合而需要持有的标的的股票数量。构造无风险组合优势也被称为Delta对冲（delta hedging）。看涨期权的Delta为正，看跌期权的Delta为负。duduSSffD由图1-1，我们可以计算出所考虑的看涨期权De

15、lta为1 00.2522 18在图1-4中，对应于股票价格在第一步变化的Delta为2.025700.506422 18如果在第一步后股票价格上涨，第二步的Delta为3.200.727324.2 19.8如果在第一步后股票价格下跌，在第二步的Delta为00019.8 16由图1-6得出，在第一步后的Delta为1.41479.46360.40246040 在第二步后Delta等于040.16677248 或4201.00004832 两步二叉树的例子说明，Delta的值随着时间变化而变化。因此，采用期权和股票进行无风险对冲时我们需要不断调整所持股票的数量。结论七、选取u和d使二叉树与波动

16、率吻合为了构造一个步长期限为t的二叉树模型，需要确定3个参数：u、d和p。一旦u和d确定之后，在选取p时要确保预期回报率等于无风险利率r，之前我们已经证明dudeprDt13-11如果选择在真实世界中，二叉树模型得到的收益率标准差与现实的收益波动率一直，u和d会变化吗？我们可以证明，u和d是不变的。假定在现实世界里股价上涨的概率为p* ,在风险中性世界中股价上涨的概率为p。S0S0uS0d现实世界S0S0uS0d风险中性世界p*p1-p1-p*八、二叉树公式例：考虑一个美式看跌期权，其中股票价格为50美元，执行价格为52美元，无风险利率为5%，期权期限为2年，二叉树包含两步。这时t=1。假定波动率为30%。507.4367