资料课件结构力学第5

1、第五章第五章 力力 法法n5.1 超静定结构的概念及超静定次数的确定超静定结构的概念及超静定次数的确定n5.2 力法的基本原理力法的基本原理 超静定梁的计算超静定梁的计算n5.3 力法计算超静定刚架力法计算超静定刚架n5.4 计算的校核计算的校核n5.5 刚架的简化计算刚架的简化计算对称性的利用对称性的利用n5.6 支座位移对超静定结构的影响支座位移对超静定结构的影响5.1 超静定结构的概念与超静定次数确定超静定结构的概念与超静定次数确定只通过平衡条件可以得到无穷多组解。？只有一个正确，只通过平衡条件可以得到无穷多组解。？只有一个正确，满足变形条件。满足变形条件。多余约束无唯一规定，去除后，结

2、构几何不变就可以。多余约束无唯一规定，去除后，结构几何不变就可以。超静定结构：超静定结构：保证几何不变外，有多余约束，保证几何不变外，有多余约束，用用静力平衡条件不能求解（静力平衡条件不能求解（ ？ ） 。还还可怎样去约束可怎样去约束？在一个超静定结构中，当认定某些约束是多在一个超静定结构中，当认定某些约束是多余约束后，其余就是余约束后，其余就是“必需约束必需约束”。除去除去某一约束某一约束，即变为几何，即变为几何可变可变体系，此即体系，此即“绝对必需约束绝对必需约束” 。 绝对必要约束的内力是用平衡条件首先求出的绝对必要约束的内力是用平衡条件首先求出的。必需约束必需约束绝对必需约束绝对必需约

3、束约束并不限于约束并不限于支承链杆支承链杆，相邻两截面的，相邻两截面的内力内力也也是约束：是约束： 弯矩弯矩是阻止相邻两截面相对转动的一种约束；是阻止相邻两截面相对转动的一种约束； 剪力是阻止相邻两截面相对错动的一种约束剪力是阻止相邻两截面相对错动的一种约束； 轴力轴力是阻止相邻两面截相对运动的一种是阻止相邻两面截相对运动的一种约束约束。超静定结构与静定结构的关系如下：超静定结构与静定结构的关系如下： 超静定结构静定结构超静定结构静定结构+多余约束多余约束超静定结构中的多余约束数量称为该结构的超静定结构中的多余约束数量称为该结构的“超静定次数超静定次数”。判断超静定次数判断超静定次数的直接方法

4、是：逐个地除去超的直接方法是：逐个地除去超静定结构的一些约束，直到使它变为静定结构的一些约束，直到使它变为静定结构静定结构为止，为止，所除去的约束数量即为该结构的超静定次数。所除去的约束数量即为该结构的超静定次数。 图示为铰支座门式刚图示为铰支座门式刚架，若将其左架，若将其左(或右或右)的水的水平支承链杆除去，则成为平支承链杆除去，则成为简支的静定刚架，因此这简支的静定刚架，因此这刚架是一次超静定刚架。刚架是一次超静定刚架。图示图示固定支座刚架除去多余约束的方法：固定支座刚架除去多余约束的方法： (1) 除去支承链杆；除去支承链杆；(2) 加铰；加铰；(3) 切断杆件切断杆件。多余约束的总数等

5、于多余约束的总数等于3，三次超静定刚架。，三次超静定刚架。R5.2 力法的基本原理力法的基本原理 超静定梁的计算超静定梁的计算 超静定结构超静定结构 静定结构。静定结构。 “基本体系基本体系”。两种情况的内力与变形都相同的两种情况的内力与变形都相同的。多余约束多余约束先只考虑先只考虑已知荷载已知荷载产生的竖向位移产生的竖向位移1P 。 然后单独考虑然后单独考虑多余未知力多余未知力Xl 的作用下基本体的作用下基本体系产生变形，系产生变形， B点沿点沿Xl方向产生位移方向产生位移11 。 1P、 11第一个脚标第一个脚标“1 ”表示位移表示位移方向方向(沿力沿力Xl 方向方向) ，第二脚标表示产，

6、第二脚标表示产生该位移的原因生该位移的原因(由荷载引起的由荷载引起的)。 两种情况叠加等于原结构两种情况叠加等于原结构。列出变形协调条件如下：列出变形协调条件如下： 11 + 1P = 0在在Xl作用时的位移：作用时的位移：11 l 1 Xl ，代入代入11 + 1P = 0 可得：可得： l 1 Xl + 1P = 0 此式称为此式称为力法的基本方程力法的基本方程。11表示表示Xl作用在基本体系上时作用在基本体系上时B点沿点沿Xl方方向的位移。向的位移。 当当Xl l 时，其相应位移表示为时，其相应位移表示为l 1(单位力单位力产生的位移产生的位移) 。如何求系数？如何求系数？为求出为求出1

7、P ，l 1 ，先分别绘出由荷载引起的弯矩图，先分别绘出由荷载引起的弯矩图MP图和由图和由Xl = l引起的弯矩图引起的弯矩图Ml图图(单位内力图单位内力图)，然后利，然后利用图乘法。用图乘法。Ml图自行相乘，得图自行相乘，得l 1MP图与图与Ml图相乘，得图相乘，得1P 代入方程代入方程:在基本体系中代入在基本体系中代入X1 ，用平衡条件可绘出用平衡条件可绘出M、 Q图，即是原来超静定梁的图，即是原来超静定梁的内力图。内力图。 l 1 Xl + 1P = 0求得求得 下面用叠加法绘下面用叠加法绘M图图在计算在计算X1的过程中，必绘出的过程中，必绘出MP图和图和M1 图，图，所以最后的所以最后

8、的M图可用叠加法求得：图可用叠加法求得： M=MP+X1 M1= MP+(3ql / 8) M1力法解超静定结构内力的步骤如下：力法解超静定结构内力的步骤如下：(1)判断超静定判断超静定次数次数，确定多余，确定多余约束约束；(2) 代以多余约束代以多余约束未知力未知力(方向可任意假设方向可任意假设)，转变，转变为静定结构，得基本体系；为静定结构，得基本体系；(3)针对原来多余约束处位移，并利用叠加原理，针对原来多余约束处位移，并利用叠加原理，列出力法列出力法方程方程(变形协调条件变形协调条件)；(4)利用求位移公式或图乘法计算方程中的利用求位移公式或图乘法计算方程中的自由项自由项和系数和系数，

9、解方程，求出多余约束未知力，若为负，解方程，求出多余约束未知力，若为负值，表示该力的真正方向与先前假设的相反；值，表示该力的真正方向与先前假设的相反；(5)用平衡条件或叠加法绘制内力图。用平衡条件或叠加法绘制内力图。二次超静定结构的计算问题二次超静定结构的计算问题 图示两端固定梁，右端支座只有转动和竖向图示两端固定梁，右端支座只有转动和竖向约束而无水平约束，称约束而无水平约束，称“定向支座定向支座” 。 1)判断结构的超静定次判断结构的超静定次数，选择多余约束；数，选择多余约束；(2)多余约束除去，代以多多余约束除去，代以多余约束未知力余约束未知力(方向可任意方向可任意假设假设)，将原来的超静

10、定结，将原来的超静定结构转变为静定结构，得到构转变为静定结构，得到基本体系；基本体系；(3)针对原来多余约束处应针对原来多余约束处应无相对位移的事实，并利无相对位移的事实，并利用叠加原理，用叠加原理，列出力法方列出力法方程程(变形协调条件变形协调条件)。11X1 + 12X2 + 1P = 0(截面截面B在在X1方向方向无上下移动无上下移动)21X1 + 22X2 + 2P = 0(截面截面B在在X2方向方向无转动无转动)注意：注意： ij 的脚标，第一字的脚标，第一字母母i 表示位移的方向，第二字表示位移的方向，第二字母母j 表示产生此位移的原因表示产生此位移的原因(由哪一个单位力引起由哪一

11、个单位力引起)。(4)利用图乘法计算自由项和系数（利用图乘法计算自由项和系数（基本体系基本体系），），利用利用MP，M1和和M2图，进行图形相乘，求出这些位移图，进行图形相乘，求出这些位移，解方程。，解方程。 12= 21位移互等定理：位移互等定理：“第二个单位力第二个单位力在在第一个单位力第一个单位力方向产生的位移，等于方向产生的位移，等于第一个单位力第一个单位力在在第二个单位力第二个单位力方向产生的位移方向产生的位移。(5)用平衡条件绘制内力图。用平衡条件绘制内力图。X2为为负负值，表示它的值，表示它的方向应与原假设的方向应与原假设的相反相反。(4) 代入系数，解方程。代入系数，解方程。用

12、叠加法绘制内力图：用叠加法绘制内力图： M=MP+X1 M1 +X2 M2还可如何还可如何取基本结构取基本结构？列出力法方程列出力法方程(变形协调条件变形协调条件):11X1 + 12X2 + 1P = 021X1 + 22X2 + 2P = 0重新分析图示超静定梁，以支座重新分析图示超静定梁，以支座A A、B B处的处的反弯矩反弯矩作为多余约束力。作为多余约束力。对于对于n次超静定结构，力法典型方程：次超静定结构，力法典型方程：弯矩的计算是：弯矩的计算是：例题例题5-3：试用力法计算图示两铰门式刚架试用力法计算图示两铰门式刚架 5.3 力法计算超静定刚架力法计算超静定刚架1)选择基本体系。（

13、判断结构的超静定次数，选择选择基本体系。（判断结构的超静定次数，选择多余多余约束，约束，将该多余约束除去，代以未知将该多余约束除去，代以未知反力反力X1，得基本体，得基本体系。）系。）RlP + 11 X1 0(2) 建立力法建立力法方程方程（变形协调条件）：（变形协调条件）：3）求系数及自由项。）求系数及自由项。基本体系在荷载作用下沿基本体系在荷载作用下沿X1方向产生位移方向产生位移lP ，相，相应此时的弯矩图为应此时的弯矩图为MP图：图：基本体系在基本体系在X1 1作用下沿它本身方向产生位移作用下沿它本身方向产生位移11 。相应此时的弯矩图为。相应此时的弯矩图为M1图。图。 M1单位为单位

14、为m 。a）求系数）求系数11时，以时，以M1图自乘：图自乘：b）求自由项）求自由项lP时，用图时，用图MP与与 M1图进行图乘：图进行图乘： 4 4）求解力法方程。）求解力法方程。 将求的的系数及自由项代入方程将求的的系数及自由项代入方程 11 X1 + lP 0 可求得：可求得： X1 - lP / 11 - (-7840/EI) / (272/3EI) 86.5 kN (5) 绘制内力图绘制内力图a) 用叠加法画弯矩图用叠加法画弯矩图 M= X1 M1 + MP= 86.5 M1 +MPRb) 画剪力图画剪力图c) 画轴力图画轴力图说明说明:因为在荷载作用下，力法方程中各项都有因为在荷载

15、作用下，力法方程中各项都有EI值，可以值，可以相约相约。所以在刚架计算中，各杆的截面。所以在刚架计算中，各杆的截面惯性矩只给出惯性矩只给出相对值相对值I和和2I，而不需计算它们的，而不需计算它们的绝对值。绝对值。这说明，这说明，超静定结构因荷载而引起的内力只超静定结构因荷载而引起的内力只与杆件间的与杆件间的相对刚度相对刚度有关，而与有关，而与绝对刚度绝对刚度无关无关。例题例题5-4：计算图示刚架，画出：计算图示刚架，画出M、Q、N图。图。梁横截面梁横截面b*h30*40 cm2，柱截面，柱截面30*30 cm2 。解：解：1 1）选择基本体系。）选择基本体系。 2 2）建立力法方程。）建立力法

16、方程。 （根据根据C C点处原有水平、垂直点处原有水平、垂直链杆，应无水平、竖向位移的事实，变形协调条链杆，应无水平、竖向位移的事实，变形协调条件：件： 注意：注意： i j 的脚标，第一字母的脚标，第一字母 i 表示位移的方向，第二字母表示位移的方向，第二字母 j 表示产生此位移的原因表示产生此位移的原因(由哪一个单位力引起由哪一个单位力引起)。1111221211222200PPXXXX 4 4）求解力法方程）求解力法方程。 3 3）求系数及自由项）求系数及自由项。（图乘法）。（图乘法）1212913.5405 013.530.75894.375 0XXXX124.018527.321XK

17、NXKNIBC : IAB=(403) : (303)=2.4 : 1用叠加法绘用叠加法绘M图：图：M=MP+X1M1+X2M2 =MP+4.0185M1+27.321M2 5 5）绘制内力图）绘制内力图。（叠加法或静力平衡法）。（叠加法或静力平衡法）Q、N图可根据图示各力来绘制。图可根据图示各力来绘制。5.4 计算的校核计算的校核超静定结构内力计算正确的解答既满足超静定结构内力计算正确的解答既满足平衡平衡条件条件，同时又满足，同时又满足变形条件变形条件。变形条件校核的做法：变形条件校核的做法：根据最后根据最后M图，算出沿任意作用图，算出沿任意作用X i方向位移方向位移 i ，检查，检查 i

18、是否与原结构中相应位移相等。是否与原结构中相应位移相等。计算结果与原结构中相应位移相等，则正确。计算结果与原结构中相应位移相等，则正确。超静定结构最后内力图的校核是否只需要验算超静定结构最后内力图的校核是否只需要验算平衡条件平衡条件 ？例题例题5-3 ：超静定结构内力计算的变形校核：超静定结构内力计算的变形校核校核校核(A)H将将 M图与图与M1进行图乘，得水平位移进行图乘，得水平位移(A)H 。X1 结果为零结果为零，说，说明解答正确，符明解答正确，符合变形条件。合变形条件。 多次超静定结多次超静定结构中的位移校核构中的位移校核有时需验算有时需验算几个几个变形协调条件。变形协调条件。校核例题

19、校核例题8-4的结果的结果校核例题校核例题5-4校核例题校核例题5-45.5 刚架的简化计算刚架的简化计算对称性的利用对称性的利用R力法方程力法方程:000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX对于对称刚架，应选择对称的基本体系对于对称刚架，应选择对称的基本体系 “对称对称”，是对，是对结构本身结构本身(几何尺寸、截面大小、几何尺寸、截面大小、支座约束以及材料等支座约束以及材料等)而言，而荷载是任意的。而言，而荷载是任意的。 从结构对称轴处把刚架切断，得到左右对称的基从结构对称轴处把刚架切断，得到左右对称的基本体系，本体系， X1 , X2 , X

20、3分别为割开截面上的弯矩、轴力分别为割开截面上的弯矩、轴力和剪力，成对的作用在截断的左右两个截面上。和剪力，成对的作用在截断的左右两个截面上。总结出一个规律：总结出一个规律：对称图形与反对称图形的对称图形与反对称图形的图乘结果为零图乘结果为零。 称为图形的称为图形的“正交性正交性”。ij : i 表示位移的方向，表示位移的方向，j 表示产生此位移的原因。表示产生此位移的原因。000333322221211212111PPPXXXXX对称未知力成一组对称未知力成一组反对称未知力成一组反对称未知力成一组例例 试计算图示刚试计算图示刚架的内力。架的内力。根据根据G点处相邻两截点处相邻两截面应面应无相

21、对转动、相无相对转动、相对分开对分开(靠近靠近) 、相对、相对错动错动的事实，列出力的事实，列出力法方程：法方程：11 X1 + 12 X2 + 1P = 021 X1 + 22 X2 + 2P = 033 X3 + 3P = 014.25 X1 36 X2 765 = 036 X1 + 144 X2 + 2160 = 0258 X3 + 0 = 0n结论：结论：“对称刚架在对称荷载作用下，反对称未对称刚架在对称荷载作用下，反对称未知力为零。知力为零。”n引出结论引出结论：“对称刚架在反对称荷载作用下，对对称刚架在反对称荷载作用下，对称未知力为零。称未知力为零。”X1 = 42.8 kNX2

22、= 4.3 kNX3 = 00022221211212111PPXXXX利用叠加法绘利用叠加法绘M图：图：M=MP+X1M1+X2M2 +X3M3 =MP+42.8M1 + ( 4.3 ) M2弯矩图对称，利用弯矩图对称，利用平衡条件绘出平衡条件绘出Q图，图，N图图对称刚架在反对称荷载作用下，对称未知力为零。对称刚架在反对称荷载作用下，对称未知力为零。000333322221211212111PPPXXXXX弯矩图是反对称的弯矩图是反对称的n对称荷载对称荷载n反对称荷载反对称荷载0003333222121212111PXXXXX0022221211212111PPXXXX如果荷载是对称，如下图

23、，则：如果荷载是对称，如下图，则： P22113p300MXMXMMX 如果荷载是反对称，则如果荷载是反对称，则: P3321p2 p1 00MXMMXX 0022221211212111PPXXXX0003333222121212111PXXXXX结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。位移都是反对称的。例，求图示结构的弯矩图。例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。常数。解：根据以上分析，力法方程为：解：根据以上分析，力法方程为：0P1 11

24、1 X P1111115 .121800144MXMMXEIEIP 对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：取半结构计算：取半结构计算：PF2PF2PF2PF2PFPFPFPF对称轴对称轴PFPFPFPFPF（d）PF（c）PFPFPFPFPFPFPFPFPFCFQCFQ8.8力法计算铰接排架力法计算铰接排架5.6支座位移对超静定结构的影响支座位移对超静定结构的影响 (i1，2，n)是是基本体系基本体系在支座位移时沿在支座位移时沿Xi方向的位移。方向的位移。iCcRiiC 例例5-15 求求图示梁支座图示梁支座转动引起的转动引起的弯矩。弯矩。01111CX 例例517 超静定门式刚架如图所示，超静定门式刚架如图所示，E26GPa。已知支。已知支座座D向下移动向下移动6cm，向右移动，向右移动5cm，试计算刚架内力。，试计算刚架内力。01111CX从上可知，超静定结构在支座位移情况下，未知力与结从上可知，超