第29届全国中学生物理竞赛决赛试题理论及参考解答

1、29届全国中学生物理竞赛决赛试题（15 分）如图，竖直的光滑墙面上有A和B两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为 l ,有一原长为1、劲度系数为k的轻橡皮筋，一端由 A钉固定，另一端系有一质量为 mJL的小球，其中g为重力加速度.钉子4g和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘.,-干-连.现将小球水平向右拉伸到与A钉距离为21的C点，B钉恰好处于橡皮筋下乂斜4glL”'面并始终与之光滑接触.初始时刻小球状得大小为 v0 =-一、方向竖直向下的：如2;速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻.:二、（20 分）如图所示，三个质量均为 m的小球固定于由刚

2、性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处.ADLBC,且AD=BD=CD=a小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架悬 空.桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为科，在AD杆上距A点a/4和3a/4两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反.：推力推4C】1 .试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时，三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力；2 .如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕 该转轴转动.问转轴在 AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出 该推力的大小.三、（20分

3、）不光滑水平地面上有一质量为 m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为 科.柱体 正视图如图所示，正视图下部为一高度为 h的矩形，上部为一半径为 R的半圆形.柱 体上表面静置一质量同为 m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h/2,链条和柱体表面始终光滑接触.初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑.试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时，1 .柱体能在地面上滑动；2 .柱体能向一侧倾倒；3 .在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生.四、（20分）如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为a, A球质量为m所

4、带电荷量为 Q B球质量为4m,所带电荷量为-4Q.在初始时刻，两球球心距为4a,各有一定的初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落.现要求在此前提下尽量减小 桌面面积，试求.两球初速度的方向和大小；.圆桌面的最小半径.假设两球在运动过程中， 其所带电荷量始终保持均匀分桌面也不发生极化效应.已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力；静电力常量为 ke.五、（20分）Bo、4方向）.若如图所示，一半径为 R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由 转动.一半径为 a的轻质小圆线圈（a<

5、<R）固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴.在盘边缘处等间隔地固定 个质量均为m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为 q.此装置处在一磁感应强度大小为竖直向上的均匀强磁场中. 初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流 I .方向沿顺时针方向（从上往下看 切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动.求薄圆盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属球小的作用力的大小.假设金属小球可视为质点, 小球因运动所产生的磁场.已知固定在圆盘面上的半径为距线圈圆心的距离为r处（r>>a）不计小圆线圈的自感和带电金属a、通有电流I的圆线圈在圆盘面内、 产生的磁场的磁感应强度的大小为2 7.02 IB=km2

6、_a'，式中km为已知常量, r当线圈中的电流沿顺时针方向时,磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上.静电力常量为ke.六、（15分）里“热层活塞如图，一水平放置的刚性密闭气缸，缸壁是绝热的，活塞把气缸内空 间分为两个体积相同的密闭室A和B.活塞由一层热容量很小（略去其影响）、导热良好的材料（与气缸壁有摩擦）和一薄层绝热材料（与气缸壁没 有摩擦）压制而成，七热层在 A室一侧.初始时，A室和B室充有绝对温 度均为T0的同种多原子分子理想气体，A室气体压强是 B室气体压强的4 倍.现释放活塞，活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓 慢，最后停止在平衡位置（此时活塞与缸壁间无静摩擦 ）.已

7、知气缸中的气体具有如下特性：在温度高于某个临界温度 T（T 0）时，部分多原子气体分子将发生分解，一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子.被分解的气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比a满足关系a=P（TTd）,其中3 =2.00T / 分解过程是可逆的,分解1摩尔分子所需能量。=CT）/10 , 1摩尔气体的内能与绝对温度 T的关系为u=CT（C是与气体的种类无 关的常量）.已知当压强为 P、体积为V的这种气体绝热缓慢膨胀时，PV=常量，其中丫 =4/ 3.1 .对于具有上述特性的某种气体，若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解，求这种分子 发生分解的临界温度 Td的可能

8、值；2 .对于具有上述特性的另一种气体，若实验测得在上述过程结束时有a=10.0 %的分子分解了，求这种分子发生分解的临界温度 Td.七、（15分）如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成.已知望远镜物镜 L。的焦距为16.OOcm .在L。的焦平面P处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物，如图二所示.在载物台上放置双面平行的平面镜M,通过望远镜的目镜 Le观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过L。折射、M反射、再经L0折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于A点，与上十字叉丝线的距离为5.2mm.绕载物台转轴（沿竖直方向）转动载物台，使平面镜转l80 °

9、; ,此时十字像位于 B点，与上十字叉丝线的距离为18.8mm.根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为rad ;据此结果，调节望返镜，使其光轴与载物台的转轴垂直.平行光管是由十字缝 S和凸透镜L组成.去掉光学系统中的平面镜M,并用钠光灯照亮 S.沿水平方向移动S,当S到平行光管中的透镜 L距离为8.25cm时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在 分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L的焦距等于cm .将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为3.OOCE折射率为1.52的分束棱镜abed（分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又

10、能反光）和待测凹球面镜 0, 0到L的距离为l5.OOcm,并保证分束棱镜的 ab面与图三中的XX'轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的 XX'轴重 合；再将望远镜绕载物台的中心轴转 90。，如图三所示。向右移动 S,当S移动的距离为3.75cm时，通过 望远镜目镜刚好能看清楚十字缝 S的像成在分划板中心十字叉丝线上.试求凹球面镜的曲率半径.LoHHF平行光管节L载物台*转轴望远镜图一卡| 825cm15.00cmfi3.00cm-+I *-0：-xr平行光管分划板和亮十字物图二八、（15分）在处理微观物理问题时，经常接触到诸如电子质量m、质子电荷量e及普朗克常量h等基本物理常量.

11、在国际单位制中，这些物理常量的数值都很小，给相关的数值计算带来不便.为了方便起见，在微观物理领域引入所谓“原子单位制”，规定电子质量为质量单位，网五= h/2n）为角动量单位，质子电荷量的 忆 倍为电荷量单位，其中常数ke和国际单位制中的静电力常量取值相同.按如上定义规定了质量、电荷量和角动量的基本单位后，在“原子单位制”中其它物理量的单位可用相关物理公式导出.如果在“原子单位制” 下，长度、时间和能量的单位用符号Lau、Tau和Eau表示，试从玻尔氢原子模型推出三者分别与米、秒和焦耳的换算关系.结果用 ke、m、e和行等常量表示.29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案（15 分）如图，竖直的

12、光滑墙面上有A和B两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为 l ,有一原长为1、劲度系数为k的轻橡皮筋，一端由 A钉固定，另一端系有一质量为m=k_的小球，其中g为重力加速度.钉子4g和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘F连.现将小球水平向右拉伸到与A钉距离为21的C点，B钉恰好处于橡皮筋下。gl 、一,、方向竖直向下的2A面并始终与之光滑接触.初始时刻小球获得大小为 V0速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻. 参考解答：以B钉为坐标原点建坐标系0卬，如图1所示.小 球在被释放后受到本身重力和橡皮筋的弹力两个 力的作用.设小球相对于原点0 （即B轲）的位

13、置 由位矢，表示，则弹力可表示为F = -kr（1）小球的运动方程在 g坐标系下分解为 阳 = -kx（2）阳，二一划一 Mg（3）定义尸方向新坐标V = y十Eg/无，（3）式可改写为 理, 工-kyf（4）由（2）和（4）式知小球在水平和竖直方向都做筒谐振动,其振动方程可表示为 工。）-4 coM 创+ pjVQ 尸4 cg（划+%）（6）利用参考圆可得到小球速度的表达式% =T© sinO + 科）%。）=-劣方达（而+令）（8）将如下初始条件M。） = /地=詈400）(11)(12)") = 0%(。) =£代入（5）至（8）式1可解得振幅4和4及位相区

14、和%,再利用v = 177 =,上述振动方程和速度表达式可用已知量表示为；)(14)05)(16)(却)由(16)式可求出小球速度沿y方向分量第一次为零的时刻，即其中 3V (7此后，如果小球沿y方向的振动没有中断当小球沿y方向的振动到达最大振幅处时,(16) 式右端便等于零.然而，按(16)式右端等于零所求出的其它时刻并不是满足题意的解：因 为在按16)式求出的竖直速度等于零的第二个时刻之前，小球将和B钉发生碰撞，碰撞 时刻为(18)此时，按(13)和(14)两式可知cosmg4j 4(20)E 2冗 =-0;这恰好是B钉的位置.这样,小球将在1 = 4时和B钉发生完全非弹性碰撞，碰撞后小

15、球速度为零;由于碰撞过程时间极短"时刻就是小球速度沿y方向分量第二次为零的时刻. 碰撞后小球并不和B钏粘连，所以小球耨沿y方向做一维的简谐振动，由(4)式可知此振. 动周期为(21)每经过半个振动周期都会出现速度为零的情况此时自然有% =0),这样，除(17) 和3g)式确定的前两个特定时刻之外,每当T f 3、寓/ (22)%并不=(界+%)彳/一，用=1,2产，2£ £ 7 g时，小球速度都为零因而其沿y方向的速度分量也为零.评分标准：本题15分.(2)式1分，(3)或(4)式1分；(6) (7) (8) (13) (14) (15) (16) C17) (1

16、8) (21)式各 1 分，(22)式2分.二、(20 分)如图所示，三个质量均为 m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处.ADLBC,且AD=BD=CD=a小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架悬 空.桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为科，在AD杆上距A点a/4和3a/4两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反.：1 .试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时，推力三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力；2 .如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕A*-XD

17、该转轴转动.问转轴在 AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出该推力的大小.参考解答:1,将固连于杆的A、B和C三端的小球分别称为A、B和C球.由于杆的质量可忽略, 则三小球所受桌面支持力的大小都等于其重力.这一结论可通过如下方法证明：以B球为 例，将B球连同一小段杆隔离出来作为研究对象，分析其在竖直方向的受力情况，它受小球 重力和桌面支持力，这两个力的作用线过小球和桌面接触点并垂直于桌面，如果这两个力大 小不相等，则在该研究对象的杆截面处必存在非零的竖直方向力，才能满足在竖直方向力的 平衡方程.然而，如果存在这样的力，则相对于小球球心，该研究对象的力矩不为零，这违 反研究对象的力

18、矩平衡条件，因此，桌面支持力必等于小球重力.根据如上分析，三小球所 受最大好摩擦力的大小都为舞X =小g ' (1)体系由静止向运动转变的临界状态可能存在两种不同的情况，第一种情况是两个小球所 受摩擦力的大小已达到了皿，而第三个小球尚未达到/皿.这种临界状态对应着体系将绕第 三个小球转动.第二种情况为三小球所受摩擦力的大小都已达到了而，这种临界状态意味 着体系将发生平移或绕三小球以外的某点转动，也可以是平动和转动的合成运动，总之，这 是一种对应着三小球都将开始运动的睢界状态.可以论证所谓的第一种临界状态是不合理的.换言之，这种临界状态是不可能发生的. 为证明这种观点，可设B和C球所受摩

19、擦力已达到几e 而A球摩擦力尚未达到该值，在 此基础上如具再稍增加推力，一种可能是B和C球仍保持静止，但是A球的摩擦力值随之 增加直到加，但这就转变成第二种临界状态了,另一种情况是A球摩擦力虽未达到了皿， 但也不再增加，而B和C球已开始运动，此时A球必为体系的转动中心，B和C球处于绕 之转动的临界状态.由于在该临界状态系统仍静止，所以在水平桌面内其所受外力的矢量和 为零，用矢量形式表示为fA+fB+fc=O上式左边的三个力分别为A、 B和C球所受的静摩擦力.B和C球的摩擦力大小为 玲=卜=3 其方向垂直于两小球到A球的连线，将(1)式正交分解，可求得A球所受 的摩擦力大小为人=亚加>以

20、该值已超过最大薛摩擦力人,这意味着A球不可能处于静止状态，所以这种临界状态不可 能出现.同理可知，体系分别绕B或C球开始转动的临界状态也不可能出现，因为这样的 状态对应的B或C球的摩擦力为 fwC $2 + 尤 fg > Znax 可见该值也超过了最大静摩擦力.终上所述，在体系由静到动的临界状态三小球所受摩擦力都达到最大摩擦力7mM.(4)(5)(6)(8)(9)2.用G表示转轴在AD杆上的位置，用F表示推力的大小，在体系绕转轴刚好开始转 动的临界状态，桌面对A、B和C三球的最大静摩擦力（大小均为 mg）的方向分别和连 线GA,GB和GC垂直，如图所示.并且它们对G点的总力矩刚好和外力矩

21、相平衡.设G点 与D点的距底为X4,则力矩平衡方程为mg(2>x2a2 + a2 + a - 初)=一此式可进一步整理为3x2 - £ 1 + 4 -（-三 -1 = 0（2加）2摩）这个方程有实根的条件是上式简化为F N 2（6 +1）加g这意味着只有尸满足如上条件时，才能在杆上找到一个转轴位置而使体系运动起来.换 言之，F = 2（/3 +l）mg是推动该体系转动的最小推力，将上式代入（5）式，可求出X 二3评分标准：本题20分.第1问8分，（1）式2分，（2） （3）式各3分.第2问12分，（4）式4分，（6）式2分，（7） （8） （9）式各2分.用其它方法正确得到（8

22、）式的，给（6） （7）（8）式的分值.三、（20分）不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为 科.柱体正视图如图所示，正视图下部为一高度为 h的矩形，上部为一半径为 R的半圆形.柱 体上表面静置一质量同为 m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h/2,链条和柱体表面始终光滑接触.初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑.试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中,当题中所给参数满足什么关系时,123.柱体能在地面上滑动；.柱体能向一侧倾倒；.在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生.参考解答：L以柱体中轴统与开始时刻链条端点所在水平线的相交点为原点，建

23、立坐标系。沙，如图所示,链条可视为质点组. 设在链条运动的某时刻其右恻端点相对其开始时位置已下 降了一定的距离y,而链条左侧端点则相应上升了同样的距 离,首先分析此时链条的受力情况.除受自身重力外，链条还 受到柱体半圆形表面的支持力,在柱体上部半圆形表面上的 任意点，该支持力必沿半径向外方向，用M表示,链条受到 的支持力是方向随其作用点而变化的方系，简称支持力系.链条质心的运动由它所受到的重力和支持力系决定.为 建立链条质心运动方程，先分析链条质心位置（维,耳）随其右 侧端点y坐标的变化规律.由如图所示的几何关系r可求得 链条质心的坐标为2Ry2Jj其中（鼻d闻）是链条质心在开始时刻的位置，&

24、#163;（= A+后R）表 示链条的总长度.利用速度的定义，可从（）和（2）式求得 质心的速度为h/2L+例：-22 a 2y母 _ 2%LAtLZ L(4)其中白代表避条右端点速度（以向下为正向其其大小可由链条运动的机械能守恒关系求得 在链条下滑过程中只有重力做功，所以机械能守恒JWJ由此可知式中已同时考虑了口的方向.由加速度的定义，从（6）式可求出链条右侧端点的加速度”齐 （7）式也可从链条满足的运动方程臼2M（-g） = （A0）a求出，其中夕= m/L.】类似地，由加速度的定义，从（3）和（4）式出发，并利用（6）和（7）式，可求得链 条质心运动的加速度%=噜丫%=涉根据牛顿第二定律

25、写出链条质心运动方程，可得到如下关系（10） i叫+ £心=m%（11）式中，和gN,分别为链条所受柱体的支持力系沿'和y方向的矢量和. /i根据牛顿第三定律，柱体受到链条的压力力系沿X和7方向的矢量和分别为FlEMx（12）和，IX（13）/柱体受到自身堇力、地面支持力N。、地面摩擦力/和链条的压力力系的作用，如果柱体尚 未滑动和倾倒，则由力的平衡条件知/ + 久=0（14）乂 + 5 + 摩=0（15）柱体发生滑动的临界条件为|/| =”闻（16）将（8）至（15）式代入上式，可求得柱体在地面上刚好发生滑动时坐标丁所满足的方程为(17)4y2 +"=0A(18)

26、(19)其解应在区间内，即由此可知一- 尸笈（2方+ ftR） 这是在链条下滑过程中，在链条右端接触地面之前，柱体能在地面上滑动的条件.2.另一方面，由（8）、（10）和（12）式可知，链条在下滑过程中作用于柱体的水平方 向的压力尺方向向左，所以柱体可能向左倾倒.倾倒的临界条件为地面支持力的作用点移至 柱体左下角的A点，同时其它力相对于该点的力矩之和刚好为零.链条对柱体的压力力系对 A点的力矩的值（沿顺时针方向为正）可写为%=Z【g+%）（-练）-e+4X-MJ（20）上式中2 = R和J = -h分别代表由A指向半圆圆心B的位矢的x和y分量，&和（分别 代表由B指向半圆上点i的半径矢

27、量尺的x和y分量.由于柱体在其半圆形表面上点i受到(21)(22)网侬)Q5)(26)(27)Mt 坳将(18)和(25)式中用和了如的表达式代入上式得RA乃-&W侬)Q9)显然此结果可进一步化他为(30)的压力-其沿半径方向，所以有鼠) 勺(-综)因此(20)式可化简为。二町+忱在柱体刚好能倾倒的临界状态下相对于柱体A点的力矩平衡条件为 rv + mgR = 0由(8)至UD式可算得力矩%,再利用(?k (Ilk U3)和(15)式，上式成为-4m营Ry . n , mgR+ m 彝=0X1此即4/ +如"=0这是柱体刚好能倾倒时坐标?所满足的方程，其解应在(QA/2区间内

28、，即由此可知翼这是在链条下滑过程中，在链条右端接触地面之前，柱体能向一侧倾倒的条件.3.为使柱体滑动先于倾倒发生,应有这就是在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，柱体若既能在地面上滑动，也能 向一!倾倒,使柱体滑动先于倾倒的条件.评分标准，本题20分.第1问13分，(1) C2)(8) (9) (10) (IV (14) (15) (16) (18) (19)式各 1 分. 第2问4分t(22) (23) (26) (27)式各 I 分.第3问3分，(28)式1分，(30)式2分.四、(20分)如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为a, A球质量

29、为m所带电荷量为 Q B球质量为4m所带电荷量为-4Q.在初始时刻，两球球心距为 4a,各有一定的初 速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落.现要求在此前提下尽量减小桌面面积，试求1 .两球初速度的方向和大小；2 .圆桌面的最小半径.假设两球在运动过程中， 其所带电荷量始终保持均匀分 布：桌面也不发生极化效应. 已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力；静电力常量为 ke.参考解答；解法一】,按照"两球不发生碰撞且都不会从桌阖掉落的前提下尽量减小圆桌面面积”这个要求,可 以推断出两球的质心废该保持不动.在初

30、始附刻，质心在两球球心的连线上，与A球球心和 B球球心的距离分别是(1)4fn -4j = 16g/5一一4a s： 4a/5 那+ 4附在此后的任何时刻j如果两个球心之间的距离为，那么A球球心到质心的距离是45, R球球心到质心的距离是"5.按题意，两球之间的相互作用力是库仑吸引力，即f = K3在质心系中，若用熊和藐分别表示质心到A球心和B球心方向的单位矢量，A球和B球 的运动方程分别为.(3)(4)-4g3 冽" =%厂 'ac4-401 -41g = ' z一三二 镰B (沁J抑和(4)式表明A球和B球都在质心系中做椭圆运动.为了使两球的运动轨道覆盖

31、尽量小的面积，球心距的初始值40应该是它的最大值：最 小距离只能是两球的半径之和2口，所以初始时，A球和B球分别处在其椭圆轨道的远日 点，距质心的距离分别为167/5和4q/5； A球和B球处在其椭圆轨道的近日点时，距质 心的距离分别为8口/5和2W5.A球椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是(5)B球椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是(6)(8)所以A球的椭圆轨道大于B球的椭圆轨道.由于两球的质心不动，在任何时刻A球速度与B球速度应满足% 二%但方向相反.在初始时刻两球相距最远，所以它们的初始速度的方向一定要和两球球心的连 线垂直.在质心系中，设B球的初始速度为Op。，那么A球的初始速度就是% = 4

32、%。当两球相距2a时，B球和A球的速度分别为1和%1 =4%，它们的方向也和那时两球球 心的连线相垂直.按角动量守恒，在这两个时刻两球相对于质心的总角动量必相等，所以、16a . 4a 、8a , 2a加(4%。)可 + 4m%° y =加(4%)y + 4mvB y,(9)由此解得(10)(11)(12)vBl =2vB0.按能量守恒，在这两个时刻两球总能量(动能加势能)必相等，所以品4%。)2 +；(4m)%-甘2> = (4%)2 +：(4雨%-冬亡, z2z22a将(10)式代入Q1)式中即可解出5黑% =4廉由前分析知，最小的圆桌面范围由A球的运动划定，在质心系中，它

33、的运动轨道是以 质心为力心、长半轴为12。/5、短半轴为8瓦/5的椭圆，所以两球都不会从桌面押落的 圆桌面的最小半径4”为(评分标准：本题20分.第1问18分,(1)(2)式各 1 分，(3) (4)式各 2 分，(5) (6) (7) (8)式各 1 分,(9) (11)式各3分，(12)式2分.第2问2分,(13)式2分.解法二：按题意，两球之间的相互作用力是库仑吸引力，即用 兀 表示E球心到A球心方向的单位矢量，A球和B球的运动方程是叫 ©%二小，(1)人B4024叫心,(2)AB所以粤(心(3)DrAB这表明，两球的相对运动类似于天体在万有弓I力作用下的运动，它们不发生碰撞、

34、且不无限 远离的一般情形是相对做椭圆运动.若以A球心为原点建立平动参考系，则B球作椭圆运 动.按照“两球不发生碰撞且都不会从桌面掉落的前提下尽量减小圆桌面面积，这个要求，可 以推断出两球的质心应该保持不动.为了使两球的运动轨道覆盖尽量小的面积，两球球心距 离的初始值4a应该是它的最大值，最小距离只能是两球的半径之和2a.在初始时刻两球相 距最远，所以它们的初始速度的方向一定要和两球球心的连线相垂直.设初始时刻A和B球相对桌面的速度分别为vA0和外。,则B球相对于A球的初速度为 初始时刻体系的能量为2 5 4a由天体运动知识可知B球距圈A球的最近和最远距离之和满足4k Q2%+% *(5)

35、63;又因为初始时刻两球球心距离的初始值4a为两球最远距离情况,即 j = 4a .利用(5)式得1 4mv . r冷 113=伙。H T- (6)2 54a 4a +小当=2时两球刚好相切，对应着两球发生碰撞的临界情况.可求得B球相对于A球的初 速度为由于两球的质心必须相对于桌面静止，所以有再利用关系D = %。- %。可求得两球相对于桌面的速度大小为(9)两速度都垂直于初始时刻的球心距，且两者方向相反.(10)初始时刻，质心在两球球心的连线上，与A球心和B球心的距离分别是m + 4m5w .4；4=一。(11)m + 4m 5* '如果两个球心之间的距离为/,那么A球球心到质心的距

36、离是4，/5, B球球心到质心的距离是/5.结合和式可知在质心系，A球和B球绕质心的运动轨迹也是椭圆，初始时, A球和B球分别处在其椭圆轨道的远日点"距质心的距离分别为16。/5和4。/5 ； A球和B 球处在其桶圆轨道的近日点时，距质心的距离分别为8。/5和2。/5.A球椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是(12)16m8/2(13)(14)(15)n = Ja x a =ab V 555B球椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是所以B球的椭圆轨道在桌面上包含在A球绕质心的椭圆轨道之内.最小的圆桌面范围 由A球的运动划定.A球的运动轨道是以质心为力心、长半轴为12。/5、短半轴为804/5 的椭

37、圆，所以圆桌面的最小半径为&1n为(16)评分标准：本题20分.第1问14分，(1) (2)式各2分，(3)式1分，(4) (5) (6)式各2分;(7) (8) (9)式各 1 分.第2问6分，(12) (13) (14) (15)式各 1 分，(16)式 2 分.五、（20分）如图所示，一半径为R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由转动.一半径为 a的轻质小圆线圈（a<<R）固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴.在盘边缘处等间隔地固定4个质量均为m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为 q.此装置处在一磁感应强度大小为 R、方向 竖直向上的

38、均匀强磁场中. 初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流 I .方向沿顺时针方向（从上往下看）.若 切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动.求薄圆盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属球小的作用力的大小.假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属 小球因运动所产生的磁场.已知固定在圆盘面上的半径为a、通有电流I的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为r处（r>>a）产生的磁场的磁感应强度的大小为2- 021B=km2S，式中km为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，r磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上.静电力常量为ke.参考解答；在切断圆线圈中的电流时,变化的磁场将产生涡旋电场

39、油对称性可知I在圆盘边缘处 淌旋电场场强的大小处处相等,旋电场对单位正电荷的作用力在单位正电荷沿四盘边缘 运动一周过程中所作的功，就是与圆盘边缘重合的闭合回路中的感应电动势、若以后表示感 应电动势，/表示圆盘边殊处涡旋电场场强的大小白则有g = （1） 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小为式中A是在切断圆线圈电流过程中通过圆盘平面磁通鬓的改变量，&为经历的时间,由 磁感应线的闭合性知道，圆线圈磁场对圆盘的磁通量的大小等于通过圆盘以外的圆盘所在平 面的磁通量，但符号角反.为了求出圆线圈磁场对圆盘以外的圆盘所在平面的磁通量，先考 褰该髅扬对半径为与,之间的圆环的磁通量癖，此磁通量可用

40、不处的磁感应强度 B = 4空%与圆环面积2町（1 -彳）的乘积来表示，即a 47T2k a21Tn圆线圈磁场对西盘以外的圆盘所在平面的磁通量注意到F = R，L=8有0 =2R .由于电流切断后，磁场消失，故通过圆盘的磁通量的变化量的大小M=-广(3)(4)由（I）、（2）、（4）各式得_ 2+ kJ由楞次定律可知涡旋电场沿顺时针方向.涡旋电场作用于第i个金属小球的力矩为(5)r n n 2km亦，夕 /L =qE,R = 7方向垂直于圆盘面竖直向下.濯）旋电场作用于4个金属小球的合力矩2江小呼”在圆线圈电流消失过程中，&时间内涡旋电场作用于4个金属小球的合力矩的冲量为一 8左m方.

41、ZAr = 2±1R根据角动量定理，小球将获得角动量.若金属小球绕固定转轴转动的角速度为0, 有(8)由（8）式得2kmra q r吁由于金属小球固定在圆盘上，故圆盘转动的角速度亦为G,且沿顺时针方向转动.金属小球转动时，受到磁感应强度为纥的磁场作用力的大小为九他R八二？。1（10）mK力的方向沿圆盘半径指向圆心.4个带电金属小球间存在静电相互作用力，任一小球受到其他3个金属小球的静电力 的合力为(11)(12)(13)小化对净5中 此力方向沿圆盘半径由圆心向外.以/表示圆盘在水平方向对金属小球的作用力的大小，由牛顿第二定律有由(9)、(10)、(11)、(12)各式得f "

42、;m 兀" +k/(1+2扬 2km7ra2q2BQ' rnR5e -汨蕨一评分标准：本题20分.(1)(2)式各1分，(4)式4分，(5)式3分；(6) (7) (8)式各 2 分，(9) (10) (11) (12) (13)式各 1 分.六、（15分）里“热层活塞如图，一水平放置的刚性密闭气缸，缸壁是绝热的，活塞把气缸内空 间分为两个体积相同的密闭室A和B.活塞由一层热容量很小（略去其影响）、导热良好的材料（与气缸壁有摩擦）和一薄层绝热材料（与气缸壁没 有摩擦）压制而成，七热层在 A室一侧.初始时，A室和B室充有绝对温 度均为T0的同种多原子分子理想气体，A室气体压强是

43、 B室气体压强的4 倍.现释放活塞，活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓 慢，最后停止在平衡位置（此时活塞与缸壁间无静摩擦 ）.已知气缸中的气体具有如下特性：在温度高于某个临界温度 T（T 0）时，部分多原子气体分子将发生分解，一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子.被分解的气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比a满足关系a=P（TTd）,其中3 =2.00T / 分解过程是可逆的,分解1摩尔分子所需能量。=CT）/10 , 1摩尔气体的内能与绝对温度 T的关系为u=CT（C是与气体的种类无 关的常量）.已知当压强为 P、体积为V的这种气体绝热缓慢膨胀时，PV=常量，其中丫

44、 =4/ 3.1 .对于具有上述特性的某种气体，若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解，求这种分子 发生分解的临界温度 Td的可能值；2 .对于具有上述特性的另一种气体，若实验测得在上述过程结束时有a=10.0 %的分子分解了，求这种分子发生分解的临界温度 Td.参考答案：L设初始时两室气体的体积均为11B室中气体的摩尔数为玛，压强为兄.初始时A 室气体压强是4兄，因而A室气体的摩尔数为4琦，把A、B室中的气体作为整体，虽然活 塞与气缸壁间存在摩擦，但是摩擦力做功转换成热完全被B型中的气体吸收，因而整个气 体与气缸外界无能量交换,因此A室中气体经历了绝热过程；B室中的气体经历的过程并

45、不 是绝热过程.活塞释放之后A室中气体的温度降低，根据题知其中的气体分子不会发生分解. B室中的气体吸热，温度可升高，可能超过政有可能发生分子分解,设A室中气体的终 态温度为7；1B室中气体的终态温度并且假定活塞运动过程中有部分气体分子分解，b 室终态气体有摩尔分子分解.按热力学第一定律4/C区-% + -4风K伉- 4） +力联7广劭卢热+晒 = 0（I）代入 = 上式化为47A+ 0+咻干-瓢.终态时两室气体的压强必相等，设为P ,并设终态时A和B室的体积分别为匕和匕，那么 状态方程是将它们代入式得4 g+ (I + a)_= 5,怪,4M (1 + a)nQR I 10)nR此即P%”b

46、)=(5*)取，由于气缸是刚性的，有以+=2匕,所以尸臼5 一下面求B室末态的温度心.对A室气体有对B室气体有P(2%/) = Q + a)E，将(7)式代入(8)式，并利用(6)式以及相关的状态方程，得5-(a/10) az 一2(1 +a)8丫，5-(a/l 0)1当a =。时,国因此4 2 1.45Q2.当 a = 10.0% 时，5-091223/44=L30 却而仪=月(弓-4),因此“弓-沙.30-(M00、Too>(4)(6).(7)(8)(9)(10)(ID(12)(13)评分标准：本题15分.第1问11分，(1)或(2)式2分，(4)或(5)式2分，(6)式2分;(7)

47、 (8)(10) (11)式各 1 分，第2问4分，(12) (13)式各 2 分.iii)凹球面镜的焦距为iv)凹球面镜的曲率半径为(5)(6)f = F。= -S' - QF + 00 = 23.87cmR = 2/ = 47.74cm评分标准：本题15分.填空6分，第一空4分，第二空2分.计算9分，(1)式1分，(2) (3)式各2分，(5)式3分，(6)式1分.七、（15分）如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成.已知望远镜物镜 L0的焦距为16.00cm .在L0的焦平面P处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物，如图二所示.在载物台上放置双面平行的平面镜M,通过

48、望远镜的目镜 Le观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过L0折射、M反射、再经Lo折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于A点，与上十字叉丝线的距离为 5.2mm.绕载物台转轴（沿竖直方向）转动载物台，使平面镜转180 ° ,此时十字像位于 B点，与上十字叉丝线的距离为 18.8mm.根 据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为rad ;据此结果，调节望返镜，使其光轴与载物台的转轴垂直.平行光管是由十字缝 S和凸透镜L组成.去掉光学系统中的平面镜M,并用钠光灯照亮 S.沿水平方向移动S,当S到平行光管中的透镜 L距离为8.25cm时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在 分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L的焦距等于 cm .将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为 3.00cm折射率为1.52的分 束棱镜abed（分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光）和待测凹球面镜 0, 0到L的