概率论与数理统计课件

1、 前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计. . 它是用样本算的一个值去估计未知参数它是用样本算的一个值去估计未知参数. . 但是，点估计仅仅给出了未知参数的一但是，点估计仅仅给出了未知参数的一个近似值，它没有反映出这种估计的精个近似值，它没有反映出这种估计的精度度. .区间估计正好弥补了点估计的这个不区间估计正好弥补了点估计的这个不足之处足之处. .可信度：越大越好可信度：越大越好估计估计你的年龄你的年龄 八成八成在在21212828岁之间岁之间被估参数被估参数可信度可信度范围、区间范围、区间区间：越小越好区间：越小越好 引例引例 在估计湖中鱼数的问题中，若我在估计湖中鱼数的

2、问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数们根据一个实际样本，得到鱼数N的最大的最大似然估计为似然估计为10001000条条. .实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条. .为此，我们希望确定一个区间为此，我们希望确定一个区间来估计参数真值来估计参数真值a 使我们能以比较高的可靠程度相信它使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值包含真参数值. .湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的是用概率来度量的b 区间估计的精度要高区间估计的精度要高. .7.4 正态总体的区间估计正态总体的区间估计

3、设设X1 ，X2, ,，Xn为来自总体为来自总体X F(x; )的一个的一个样本样本， 是未知参数是未知参数. 若对于给定的若对于给定的 （0 1），存在两个统计量），存在两个统计量 11122112(,), (,)()nnXXXX 使得对任意的使得对任意的 满足满足 1121(,) (,)1nnPXXXX 一一 置信区间的定义置信区间的定义则称随机区间则称随机区间 为参数为参数 的置信水平的置信水平(confidence level)为为1-1- 的置信区间的置信区间(confidence interval).12 , 置信水平又称为置信度，置信区间的左端点置信水平又称为置信度，置信区间的左

4、端点 又称为置信下界，置信区间的右端点又称为置信下界，置信区间的右端点 又称为置信上界又称为置信上界. .1212 , 1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.12()P2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间长度长度 尽可能短，或能体现该要求尽可能短，或能体现该要求的其它准则的其它准则.21即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.(1)从未知参数从未知

5、参数 的某个点估计的某个点估计 出发，构造出发，构造 与与 的一个函数的一个函数W( , ) , 使得使得W的分布已知，且不依赖于未知参数的分布已知，且不依赖于未知参数 该函数通常称为枢轴量该函数通常称为枢轴量.,1(,)nXX 二二 构造置信区间的方法构造置信区间的方法1. 枢轴量法枢轴量法(3) 利用不等式运算，将不等式利用不等式运算，将不等式(1, )P aWb (2) 适当选取两个常数适当选取两个常数a, b，使对给定的，使对给定的 ，有有( , )aWb 等价变形为等价变形为1121(,)(,)nnXXXX即即( , )P aWb 1121 (,)(,) 1nnPXXXX 此时参数此

6、时参数 的置信水平为的置信水平为1-1- 的置信区的置信区间为间为12 ,. 2. 如何确定如何确定a , b我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短. . 任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)下下95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信的置信区间区间. .0uuu( )f uab950.950.950.cdab在在 概率密度为单峰且对称的情形，概率密度为单峰且对称的情形，当当a =-b时求得的置信区间的长度为最短时求得的置信区间的长度为最短. .( , )W 0uuu)(ufab950.950.950.a =-babab

7、即使即使 的概率密度不对称的情的概率密度不对称的情形，如形，如 分布，分布，F分布，习惯上仍取对称的分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间百分位点来计算未知参数的置信区间. .222( )n212( )n)(xfx)(2nX ( , )W 三三 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计2( ,)N 1 单个总体的情形21221,( ,)nnXXXNXS 设已给定置信水平为 ，并设，为来自总体的样本，和分别是样本均值和方差.N(0, 1)选选 的点估计为的点估计为nX求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自

8、 的样本，的样本， 2,已知),(2 N1nXZn取解：解： 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出Z取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.,1 对给定的置信水平对给定的置信水平对于给定的置信水平对于给定的置信水平, 根据根据Z的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间, 使得使得Z取值于该区间的取值于该区间的概率为置信水平概率为置信水平.2|1nXPzn 使使,1 对给定的置信水平对给定的置信水平221nnP XzXznn 2|1nXPzn 使使从中解得从中解得22,nnXzXznn221

9、nnP XzXznn 的一个置信水平为的一个置信水平为 的置信区间的置信区间1置信区间的长度为置信区间的长度为22Lzn说明：说明：(2)置信区间的中心是样本均值置信区间的中心是样本均值(3)置信水平置信水平 越大，越大， 越大，因此越大，因此置信区间越长置信区间越长1/2z(4)样本容量样本容量n越大，置信区间越短越大，置信区间越短置信区间的长度为置信区间的长度为22Lzn(1)L越小，置信区间提供的信息越精确越小，置信区间提供的信息越精确( )b2 ，均值 的置信水平为1- 的置未知信区间为因方差未知，则因方差未知，则/2nXzn不是统计量不是统计量. .想法：用样本均方差想法：用样本均方

10、差 S 代替代替. . (1)nXtt nSn于是取于是取 对给定的置信水平对给定的置信水平 ,确定分位数确定分位数12(1),tn使使即即2| |(1)1Pttn 2|(1)1nXPtnSn 22(1),(1)nnSSXtnXtnnn均值均值 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间.即为即为1从中解得从中解得22(1)(1) 1nnSSP XtnXtnnn 例例2 有一大批糖果有一大批糖果. .现从中随机的取现从中随机的取1616袋，袋，称得重量称得重量( (以克记以克记) )如下：如下： 设每袋糖果的重量近似服从正态分布，设每袋糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值试求总体均值

11、的置信水平为的置信水平为0.950.95的的置信区间置信区间506 508 499 503 504 510 497 512506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496514 505 493 496 506 502 509 496解：这是单总体方差未知，总体均值解：这是单总体方差未知，总体均值 的区间估计问题的区间估计问题.22(1),(1)nnssxtnxtnnn根据给出的数据，算得根据给出的数据，算得/20.02510.95,/20.025,115,(1)(15)2.1315ntnt 这里这里503.75,6.2

12、022nxs均值均值 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为122(1),(1)6.20226.2022503.752.1315,503.7524,507.1nnssxtnxtnnn 均值均值 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间为的置信区间为) 1() 1(222nSn 取枢轴量取枢轴量2221222(1)(1)(1)1nSPnn 从中解得从中解得22222212(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn (2)方差方差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间.21 对给定的置信水平对给定的置信水平 ,确定分位数确定分位数122(1) ,n

13、 使使212(1) ,n2222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 方差方差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为21 标准差标准差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间.12221211,(1)(1)nSnSnn例例3 求例求例2 2中总体标准差中总体标准差 的置信水平的置信水平 为为0.950.95的置信区间的置信区间解：解：根据给出的数据，算得根据给出的数据，算得22/20.025221/20.975/20.0251/20.975,115,(1)(15)27.488,(1)(15)6.262nnn ，这里这里6.2022s 标准差标准差 的置信水平为的置

14、信水平为 的置信区间的置信区间.12221211,(1)(1)nSnSnn 代入具体数值算得代入具体数值算得15 6.202215 6.2022,27.4886.2624.58,9.60将具体值解：代入可得22212(1)(1)3.96,3.962WWnsmsSSnm因此所求置信区间为因此所求置信区间为120.02511(14) 3.962.022.1388xxt 4.15即为 ，0.11 由于所得置信区间包含由于所得置信区间包含0，实际中，实际中，认为采用这两种催化剂所得的得率的认为采用这两种催化剂所得的得率的均值没有显著差别均值没有显著差别.4.15所求区间为 ，0.112212/20.051/20.950.0518,0.34,13,0.29,0.10,(1,1)(17,12)2.59,11(1,1)(17,12)(12,17)2.38nsmsFnmFFnmFF解：这里因此所求置信区间为因此所求置信区间为0.3410.34,2.380.45,2.790.29 2.59 0.29正态总体参数的置信区间正态总体参数的置信区间总体个数待估参数条件枢轴 量置 信 区 间一个20 已知 未 知 0/0,1nn XN22,nnXzXznn / (1)nn XSt n/ 2/ 2(1),(1)SnnSnnXtnXtn222(1)/1nSn2222