空间向量的坐标运算

1、3.1.5空间向量运算的坐标表示问题问题引航引航1.1.空间向量的和、差、数乘、数量积的坐标运算空间向量的和、差、数乘、数量积的坐标运算公式是什么公式是什么? ?2.2.利用向量坐标运算推导的空间两向量的平行、利用向量坐标运算推导的空间两向量的平行、垂直的关系式是什么垂直的关系式是什么? ?夹角与长度的坐标公式如何夹角与长度的坐标公式如何表示表示? ?空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设设a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),则则(1)(1)空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算: :向量运算向量运算向量表示向量

2、表示坐标表示坐标表示加法加法a+ +b_减法减法a- -b_数乘数乘a_数量积数量积ab_(a(a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3) )(a(a1 1-b-b1 1,a,a2 2-b-b2 2,a,a3 3-b-b3 3) )(a(a1 1,a,a2 2,a,a3 3) )a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3(2)(2)空间向量平行和垂直的条件空间向量平行和垂直的条件: :平行平行: :ab( (b0) )a=b当当b的坐标的坐标b b1 1,b,b2 2,b,b3 3全不为全不为0 0时时, ,abab_._

3、._，a a1 1=b=b1 1 a a2 2= =b b2 2 a a3 3=b=b3 3 312123aaabbb；ab=0=0a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0=0(3)(3)两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：模：模：| |a| |_，| |b| |_；夹角：夹角：coscosa，b_；向量的坐标及两点间的距离公式：向量的坐标及两点间的距离公式：设设A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则 _,_, | | |_._.222123

4、aaa112233222222123123a ba ba baaabbb222123bbbAB AB (x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1,z,z2 2-z-z1 1) )222212121xxyyzz1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)对于空间任意两个向量对于空间任意两个向量a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),若若a与与b共线共线, ,则则 ( () )(2)(2)空间向量空间向量a=(1,1,1)=(1,1,1)为单位向量为单位向量.(.()

5、 )(3)(3)若向量若向量 =(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),则点则点B B的坐标为的坐标为(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1).().() )312123aaa.bbbAB 【解析【解析】(1)(1)错误错误. .当当b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3) )中的中的b b1 1,b,b2 2,b,b3 3中存在中存在0 0时时, ,式子式子 无意义无意义, ,故此种说法错误故此种说法错误. .(2)(2)错误错误. .空间向量空间向量a=(1,1,1)=(1,1,1)的长度为的长度为 故向量故向量a=(1,1,1)=(1,1,1)不是单位向量不是单

6、位向量. .(3)(3)错误错误. .由向量的坐标表示知由向量的坐标表示知, ,若向量若向量 的起点的起点A A与原点重合与原点重合, ,则则B B点的坐标为点的坐标为(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),若向量若向量 的起点的起点A A不与原点重合不与原点重合, ,则则B B点的坐标就不为点的坐标就不为(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1).).答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)312123aaabbb2221113，AB AB 2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)已知已知a=(2,-1,-2),=(2

7、,-1,-2),b=(0,-1,4),=(0,-1,4),则则a+ +b= =,-2,-2b= =, ,ab= =. .(2)(2)在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,已知点已知点A A的坐标为的坐标为(1,2,3),(1,2,3),点点B B的坐的坐标为标为(4,5,6),(4,5,6),则则 = =. .(3)(3)若若a=(2x,1,3),=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),=(1,-2y,9),如果如果a与与b为共线向量为共线向量, ,则则x=x=,y=,y=. .AB 【解析【解析】(1)(1)利用向量坐标运算的公式分别计算得利用向量坐标运算的公式分别计算得ab= =(

8、2(2，-2-2，2)2)， 2 2b(0(0，2 2，8)8)，ab-7.-7.答案：答案：(2(2，2 2，2) (02) (0，2 2，8) 8) 7 7(2) (2) (4-1(4-1，5-25-2，6-3)=(36-3)=(3，3 3，3).3).答案：答案：(3(3，3 3，3)3)(3)(3)因为因为a与与b为共线向量，故为共线向量，故得得答案：答案：AB 2x1312y9，13xy.62，13 62【要点探究【要点探究】知识点知识点1 1 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算1.1.对空间向量的坐标的三点说明对空间向量的坐标的三点说明(1)(1)向量的坐标向量的坐标: :即终点

9、坐标减去起点对应坐标即终点坐标减去起点对应坐标. .(2)(2)点的坐标点的坐标: :求点的坐标时求点的坐标时, ,一定要注意向量的起点是否在原一定要注意向量的起点是否在原点点, ,在原点时向量的坐标与终点的坐标相同在原点时向量的坐标与终点的坐标相同; ;不在原点时不在原点时, ,向量向量的坐标加上起点的坐标才是终点的坐标的坐标加上起点的坐标才是终点的坐标. .(3)(3)正交基底表示坐标正交基底表示坐标: :在空间中选一点在空间中选一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 e1 1, ,e2 2, ,e3 3,若向量若向量a=x=xe1 1+y+ye2 2+z+ze3 3, ,则有序数

10、组则有序数组(x,y,z(x,y,z) )就叫向量就叫向量a的坐标的坐标. .2.2.对空间向量坐标运算的两点说明对空间向量坐标运算的两点说明(1)(1)类比平面向量坐标运算类比平面向量坐标运算: :空间向量的加法、减法、数乘和数空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似量积与平面向量的类似, ,学习中可以类比推广学习中可以类比推广. .推广时注意利用推广时注意利用向量的坐标表示向量的坐标表示, ,即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示表示, ,即即a=(x,y=(x,y).).而在空间中则表示为而在空间中则表示为a=(x,y,z=(x,y,z

11、).).(2)(2)运算结果运算结果: :空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量是一个向量; ;空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数. .【微思考【微思考】(1)(1)当当a0时时,a是否可以为是否可以为0?0?提示提示: :不可以不可以. .当当=0=0时时,a=(0,0,0)=(0,0,0)=0, ,并不是并不是0.0.(2)(2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同? ?提示提示: :空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算空间

12、向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算, ,算法是算法是相同的相同的, ,但空间向量比平面向量多一竖坐标但空间向量比平面向量多一竖坐标, ,竖坐标的处理方式竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的与横坐标、纵坐标是一样的. .【即时练【即时练】已知已知a=(-3,2,5),=(-3,2,5),b=(1,5,-1),=(1,5,-1),求求: :(1)(1)a+ +b. .(2)6(2)6a. .(3)3(3)3a- -b. .(4)(4)ab. .【解析【解析】由坐标运算法则得由坐标运算法则得(1)(1)a+ +b=(-3+1,2+5,5-1)=(-2,7,4).=(-3+1,2+5,5-1)

13、=(-2,7,4).(2)6(2)6a=6(-3,2,5)=(-18,12,30).=6(-3,2,5)=(-18,12,30).(3)3(3)3a- -b=3(-3,2,5)-(1,5,-1)=(-10,1,16).=3(-3,2,5)-(1,5,-1)=(-10,1,16).(4)(4)ab=(-3,2,5)=(-3,2,5)(1,5,-1)=-3+10-5=2.(1,5,-1)=-3+10-5=2.知识点知识点2 2 空间向量的平行与垂直空间向量的平行与垂直对空间两个向量平行与垂直的两点说明对空间两个向量平行与垂直的两点说明(1)(1)类比平面向量平行、垂直类比平面向量平行、垂直: :空

14、间两个向量平行、垂直与平面空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样两个向量平行、垂直的表达式不一样, ,但实质是一致的但实质是一致的. .(2)(2)转化转化: :判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直向向量是否平行或垂直. .【知识拓展【知识拓展】三个点共线的充要条件三个点共线的充要条件三个点三个点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3,z,z3 3) )共线的充要条件是共线的充要条件是简证：三个点

15、简证：三个点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3,z,z3 3) )共线的充要共线的充要条件为条件为 即向量即向量 与向量与向量 共线，其坐标对应成比共线，其坐标对应成比例，从而有例，从而有212121313131xxyyzz.xxyyzzABAC ，AB AC 212121313131xxyyzz.xxyyzz【微思考【微思考】(1)(1)把向量把向量 =(x=(x，y y，z)z)平移后，其坐标有没有变化？平移后，其坐标有没有变化？提示：提示：向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起

16、点与向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终点的坐标终点的坐标(2)(2)空间向量垂直的坐标运算结果对应的值是否是一个实数空间向量垂直的坐标运算结果对应的值是否是一个实数0 0？提示：提示：若两向量垂直，由数量积的意义知数量积为若两向量垂直，由数量积的意义知数量积为0.0.AB 【即时练【即时练】已知已知a=(2,-1,3),=(2,-1,3),b=(-4,2,x).=(-4,2,x).(1)(1)当当ab时时,x=,x=. .(2)(2)当当ab时时,x=,x=. .【解析【解析】(1)(1)由由ab= =8 82+3x=02+3x=0，得，得x= x= 答案：答案：(2)(2)由

17、由ab得得 即得即得x=x=6.6.答案：答案：-6-610.321342x，103知识点知识点3 3 空间向量的夹角与距离空间向量的夹角与距离对空间两向量夹角与距离的四点说明对空间两向量夹角与距离的四点说明(1)(1)范围范围: :空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同, ,当当所求两向量夹角为钝角时所求两向量夹角为钝角时, ,两直线夹角是与此钝角互补的锐角两直线夹角是与此钝角互补的锐角. .(2)(2)夹角公式的一致性夹角公式的一致性: :无论在平面还是空间无论在平面还是空间, ,两向量的夹角余两向量的夹角余弦值都是弦值都是coscos = ,

18、= ,只是坐标运算时空间向量多了一个只是坐标运算时空间向量多了一个竖坐标竖坐标. .a ba b(3)(3)长度公式的类似性长度公式的类似性: :空间向量的长度与平面向量的长度公式空间向量的长度与平面向量的长度公式形式一致形式一致, ,坐标运算时空间向量多了一个竖坐标坐标运算时空间向量多了一个竖坐标. .(4)(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广空间两点间的距离公式是长度公式的推广, ,首先根据向量的首先根据向量的减法推出向量减法推出向量 的坐标表示的坐标表示, ,然后再用长度公式推出然后再用长度公式推出. .AB 【微思考【微思考】(1)(1)两条异面直线的夹角与两条异面直线的方向向量

19、的夹角何两条异面直线的夹角与两条异面直线的方向向量的夹角何时相等时相等? ?何时互补何时互补? ?提示提示: :当两异面直线的方向向量的夹角是锐角或直角时当两异面直线的方向向量的夹角是锐角或直角时, ,这两个这两个方向向量的夹角就是这两条异面直线的夹角方向向量的夹角就是这两条异面直线的夹角, ,否则互补否则互补. .(2)(2)空间中两点间的距离公式中坐标的顺序是否可以颠倒空间中两点间的距离公式中坐标的顺序是否可以颠倒? ?提示提示: :可以可以. .因为两点间距离公式是相应坐标差的平方和的平方因为两点间距离公式是相应坐标差的平方和的平方根根, ,故颠倒顺序后不影响结果故颠倒顺序后不影响结果.

20、 .【即时练【即时练】当当coscos 的值分别满足下列条件时的值分别满足下列条件时, ,求求a与与b所成的角所成的角. .(1)cos(1)cos=1.=1.(2)cos(2)cos=-1.=-1.(3)cos(3)cos=0.=0.【解析【解析】(1)(1)由由coscosa，b1 1得得coscosa，b= = =1=1，即有，即有ab=|=|a|b| |，所以，所以a与与b同向，故同向，故a与与b的夹角是的夹角是0.0.(2)(2)由由coscosa，b-1-1得得coscosa，b= = =1 1，即有，即有ab= =| |a|b| |，所以，所以a与与b反向，故反向，故a与与b的夹

21、角是的夹角是.(3)(3)由由coscosa，b0 0得得coscosa，b= =0= =0，即有，即有ab=0=0，所以所以a与与b垂直，故垂直，故a与与b的夹角是的夹角是a ba ba ba ba ba b.2【题型示范【题型示范】类型一类型一 用空间向量的坐标运算求点的坐标用空间向量的坐标运算求点的坐标【典例【典例1 1】(1)(1)已知已知A(3A(3，4 4，5)5)，B(0B(0，2 2，1)1)，O(0O(0，0 0，0)0)，若，若 则则C C的坐标是的坐标是( )( )2OCAB5 ，648648A.() B.()55555564 86 4 8C.() D.()55 55 5

22、 5，(2)(2)设设O O为坐标原点，向量为坐标原点，向量 (1(1，2 2，3)3)， (2(2，1 1，2)2)， (1(1，1 1，2)2)，点，点Q Q在直线在直线OPOP上运动，则当上运动，则当 取得最取得最小值时，求点小值时，求点Q Q的坐标的坐标OAOB OP QA QB 【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中能建立与点中能建立与点C C坐标有关的等式吗？是哪坐标有关的等式吗？是哪一个？一个？ 向量的坐标是多少？向量的坐标是多少？2.2.题题(2)(2)中向量中向量 与与 的关系如何？可得到的向量关系式是的关系如何？可得到的向量关系式是什么？向量什么？向量 与向量与向

23、量 怎样用向量怎样用向量 来表示？来表示？AB OQ OP QAQB OA OBOP ， ，【探究提示【探究提示】1.1.能建立与点能建立与点C C坐标有关的等式，是坐标有关的等式，是 ( (3 3，2 2，4).4).2.2.向量向量 与与 共线，可设共线，可设 则则2OCAB5 ，AB OQ OP OQOP. QA OA OQ OAOP ，QB OB OQ OBOP. 【自主解答【自主解答】(1)(1)选选A.A.设点设点C C坐标为坐标为(x(x，y y，z)z)，则则 (x(x，y y，z)z)又又 ( (3 3，2 2，4)4)，所以所以 (2)(2)设设 所以所以(1(1，2 2，

24、3)3)(1(1，1 1，2)2)(1(1，2 2，3 32)2)，(2(2，1 1，2)2)(1(1，1 1，2)2)(2(2，1 1，2 22)2)，OC AB 2OCAB5 ，648xyz.555 ， ， OQOP ，QA OA OQ OAOP QB OB OQ OBOP 则则 (1(1，2 2，3 32)2)(2(2，1 1，2 22)2)(1(1)(2)(2)(2(2)(1)(1)(3(32)(22)(22)2)662 216161010，所以当所以当 时，时， 取得最小值取得最小值又又所以，所求点所以，所求点Q Q的坐标为的坐标为QA QB 43QA QB 44 4 8OQOP11

25、 2().33 3 3 ， ， ，4 4 8().3 3 3，【方法技巧【方法技巧】空间向量坐标的求法空间向量坐标的求法(1)(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标的坐标确定，可先求其两端点的坐标(2)(2)利用运算求坐标：通过空间向量间的坐标运算求得新向量利用运算求坐标：通过空间向量间的坐标运算求得新向量的坐标的坐标(3)(3)利用方程组求坐标：给出条件求空间向量坐标的问题，可利用方程组求坐标：给出条件求空间向量坐标的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐先设出向量的坐标

26、，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标标【变式训练【变式训练】已知已知O O为原点，为原点，A A，B B，C C，D D四点的坐标分别为：四点的坐标分别为：A(2A(2，4 4，1)1)，B(3B(3，2 2，0)0)，C(C(2 2，1 1，4)4)，D(6D(6，3 3，2)2)求满足下列条件的点求满足下列条件的点P P的坐标的坐标 1 OP 2 AB AC .2 AP AB DC. 【解析【解析】(1) (1) (3(3，2 2，0)0)( (2 2，1 1，4)4)(5(5，1 1，4)4)，所以所以 2(52(5，1 1，4)4)(10(10，2 2，8)8)，所以点所以点P P的

27、坐标为的坐标为(10(10，2 2，8)8)AB AC CB OP (2)(2)设设P(xP(x，y y，z)z)，则，则 (x(x2 2，y y4 4，z z1)1)又又 (1(1，6 6，1)1)， ( (8 8，2 2，2)2)，所以所以 (9(9，8 8，3)3)，所以所以(x(x2 2，y y4 4，z z1)1)(9(9，8 8，3)3)，所以所以 解得解得所以点所以点P P的坐标为的坐标为(11(11，4 4，2)2)AP DC AB AB DC x29y48z13 ，x11y4z2 ，【误区警示【误区警示】本题给出了求点本题给出了求点P P坐标的两种情况坐标的两种情况, ,要注

28、意当向量要注意当向量的始点不为原点时的始点不为原点时, ,求终点坐标需将向量的坐标加上始点坐标求终点坐标需将向量的坐标加上始点坐标. .解答此类问题解答此类问题, ,要注意向量的起点是否在原点要注意向量的起点是否在原点, ,即即 =(x=(xB B,y,yB B,z,zB B) )-(x-(xA A,y,yA A,z,zA A).).AB 【补偿训练【补偿训练】已知已知ABCABC中，中，A(2A(2，5 5，3)3)， (4(4，1 1，2)2)， (3(3，2 2，5)5)，求顶点，求顶点B B，C C的坐标及的坐标及【解析【解析】设设B(xB(x，y y，z)z)，C(xC(x1 1，y

29、 y1 1，z z1 1) )，所以所以 (x(x2 2，y y5 5，z z3)3)， (x(x1 1x x，y y1 1y y，z z1 1z)z)因为因为 (4(4，1 1，2)2)，所以，所以 解得解得所以所以B B的坐标为的坐标为(6(6，4 4，5)5)AB BC CA. AB BC AB x24y51z32，x6y4z5 ，因为因为 (3(3，2 2，5)5)，所以所以 解得解得所以所以C C的坐标为的坐标为(9(9，6 6，10)10)， ( (7 7，1 1，7)7)BC 111x63y42z55 ，111x9y6z10 ，CA 类型二类型二 坐标形式下的平行与垂直坐标形式下

30、的平行与垂直【典例【典例2 2】(1)(1)若若a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),则则 是是ab的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件312123aaabbb(2)(2)已知空间三点已知空间三点A(A(2 2，0 0，2)2)，B(B(1 1，1 1，2)2)，C(C(3 3，0 0，4)4)设设设设| |c| |3 3，c ，求，求c；若若k kab与与k ka2 2b互相垂直，求互相垂直，

31、求k.k.ABAC. ， abBC 【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中根据充要条件的相关知识考虑此命题中根据充要条件的相关知识考虑此命题的条件是什么？的条件是什么？2.2.题题(2)(2)中由条件中由条件c ，能得到的向量，能得到的向量c与向量与向量 的关系式的关系式是什么？向量是什么？向量k kab与与k ka2 2b互相垂直，其数量积的值等于多互相垂直，其数量积的值等于多少？少？【探究提示【探究提示】1. 1. 是条件是条件. .2.2.由条件由条件c 能得到的向量能得到的向量c与向量与向量 的关系式是的关系式是c ，向量，向量k kab与与k ka2 2b互相垂直，其数量积

32、的值等于互相垂直，其数量积的值等于0.0.BC BC 312123aaabbbBC BC BC 【自主解答【自主解答】(1)(1)选选A.A.设设 k k，易知，易知ab，即条件，即条件具有充分性又当具有充分性又当b0时，时，b(0(0，0 0，0)0)，虽有虽有ab，但条件，但条件 显然不成立，所以条件不具有显然不成立，所以条件不具有必要性，故选必要性，故选A.A.312123aaabbb312123aaabbb(2)(2)因为因为 ( (2 2，1 1，2)2)且且c ，所以设所以设c ( (22，2)(R)2)(R)所以所以| |c| | 3|3|3.3.解得解得1.1.所以所以c( (

33、2 2，1 1，2)2)或或c(2(2，1 1，2)2)BC BC BC 22222 因为因为a (1(1，1 1，0)0)，b ( (1 1，0 0，2)2)，所以所以k kab(k(k1 1，k k，2)2)，k ka2 2b(k(k2 2，k k，4)4)因为因为(k(kab)(k)(ka2 2b) )，所以，所以(k(kab) )(k(ka2 2b) )0.0.即即(k(k1 1，k k，2)2)(k(k2 2，k k，4)4)2k2k2 2k k10100.0.解得解得k k2 2或或k kAB AC 5.2【延伸探究【延伸探究】将本例将本例(2)(2)中中“若若k kab与与k k

34、a2 2b互相垂直互相垂直”改改为为“若若k kab与与ak kb互相平行互相平行”，其他条件不变，求，其他条件不变，求k k的值的值【解析【解析】a( (1 12 2，1 10 0，2 22)2)(1(1，1 1，0)0)，b( (3 32 2，0 00 0，4 42)2)( (1 1，0 0，2)2)，所以所以k kab(k(k，k k，0)0)( (1 1，0 0，2)2)(k(k1 1，k k，2)2)ak kb(1(1，1 1，0)0)( (k k，0 0，2k)2k)(1(1k k，1 1，2k)2k)，因为因为k kab与与ak kb平行，所以平行，所以k kab(ak kb)

35、)，即即(k(k1 1，k k，2)2)(1(1k k，1 1，2k)2k)，所以所以 则则 或或k11kk122k ，k11 ，k11. ，【方法技巧【方法技巧】向量平行与垂直问题的两种类型向量平行与垂直问题的两种类型(1)(1)平行与垂直的判断平行与垂直的判断. .应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；量是否共线；判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为直，即判断两向量的数量积是否为0.0.(2)(2)利用平行与垂直求参

36、数或其他问题，即平行与垂直的应利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：用解题时要注意：适当引入参数适当引入参数( (比如向量比如向量a，b平行，可平行，可设设ab) )，建立关于参数的方程；，建立关于参数的方程；选择坐标形式，以达到选择坐标形式，以达到简化运算的目的简化运算的目的【变式训练【变式训练】已知空间三个向量已知空间三个向量a=(1,-2,z),=(1,-2,z),b=(x,2,-4),=(x,2,-4),c=(-1,y,3),=(-1,y,3),若它们分别两两垂直若它们分别两两垂直, ,则则x=x=, ,y=y=,z=,z=. .【解析【解析】因为因为ab,

37、,所以所以x-4-4z=0.x-4-4z=0.因为因为ac, ,所以所以-1+(-2)y+3z=0.-1+(-2)y+3z=0.因为因为bc, ,所以所以-x+2y-12=0,-x+2y-12=0,所以所以x=-64,y=-26,z=-17.x=-64,y=-26,z=-17.答案答案: :-64-64-26-26-17-17【补偿训练【补偿训练】已知已知a=(1,5,-1),=(1,5,-1),b=(-2,3,5).=(-2,3,5).(1)(1)若若(k(ka+ +b)()(a-3-3b),),求求k k的值的值. .(2)(2)若若(k(ka+ +b)()(a-3-3b),),求求k k

38、的值的值. .【解题指南【解题指南】先对向量先对向量(k(ka+ +b) )与与( (a-3-3b) )进行化简用坐标表示进行化简用坐标表示, ,再利用平行与垂直的关系式求对应再利用平行与垂直的关系式求对应k k的值的值. .【解析【解析】k kab(k(k2 2，5k5k3 3，k k5)5)，a3 3b(1(13 32 2，5 53 33 3，1 13 35)5)(7(7，4 4，16)16)(1)(1)因为因为(k(kab)()(a3 3b) )，所以所以 解得解得k k(2)(2)因为因为(k(kab)()(a3 3b) )，所以所以(k(k2)2)7 7(5k(5k3)3)( (4)

39、4)( (k k5)5)( (16)16)0 0，解得解得k kk25k3k57416 ，1.3106.3类型三类型三 向量夹角与长度的计算向量夹角与长度的计算【典例【典例3 3】(1)(1)已知已知A A点的坐标是点的坐标是(-1(-1，-2-2，6)6)，B B点的坐标是点的坐标是(1(1，2 2，-6)-6)，O O为坐标原点，则向量为坐标原点，则向量 与与 的夹角是的夹角是( )( )(2)(2)已知正四棱锥已知正四棱锥S-ABCDS-ABCD的侧棱长为的侧棱长为 底面的边长为底面的边长为E E是是SASA的中点，求的中点，求 与与 的夹角的夹角OAOB 3A.0 B. C. D.22

40、2，3，BE SC【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)中如何求中如何求| | |，| | |的值？的值？2.2.题题(2)(2)中如何由正四棱锥的特点建立空间直角坐标系？中如何由正四棱锥的特点建立空间直角坐标系？ 与与 的夹角公式是什么？的夹角公式是什么？【探究提示【探究提示】1.1.利用向量利用向量 的坐标，求对应向量的模的坐标，求对应向量的模. .2.2.因正四棱锥的顶点在底面上的射影是底面的中心，故以正方因正四棱锥的顶点在底面上的射影是底面的中心，故以正方形形ABCDABCD的中心为坐标原点建立坐标系较好的中心为坐标原点建立坐标系较好.cos.cos OAOB OA OB ，B

41、ESC ，BE SC.BE SC BE SC【自主解答【自主解答】(1)(1)选选C.cosC.cos = = 所以所以 =.=.OA OB ，OA OBOA |OB| 14361.1436 1436 OA OB ，(2)(2)建立如图所示的空间直角坐标系由于建立如图所示的空间直角坐标系由于可以求得可以求得SOSO 则则由于由于E E为为SASA的中点，的中点，所以所以所以所以AB3SA2，2.2333333B(0)A(0)C(0)222222，2S(0 0).2， ，332E()444，33 32BE ()444 ，332SC ()222，因为因为 所以所以所以所以 120120. .BE

42、SC1 BE2 ，SC2，11cosBESC222 ， ，BESC ，【方法技巧【方法技巧】求两直线夹角的步骤求两直线夹角的步骤(1)(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上让尽可能多的点落到坐标轴上. .(2)(2)求方向向量：依据点的坐标求出直线方向向量的坐标求方向向量：依据点的坐标求出直线方向向量的坐标. .(3)(3)代入公式：利用两向量的夹角公式计算两直线方向向量的代入公式：利用两向量的夹角公式计算两直线方向向量的夹角夹角. .(4)(4)转化：把两向量的夹角转化为异面直线的夹角时注意角的转化

43、：把两向量的夹角转化为异面直线的夹角时注意角的范围范围. .【变式训练【变式训练】如图如图, ,在直棱柱在直棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,CA=CB=1,BCA=90,CA=CB=1,BCA=90, ,棱棱AAAA1 1=2,M,N=2,M,N分别分别是是A A1 1B B1 1,A,A1 1A A的中点的中点. .(1)(1)求求 的长的长. .(2)(2)求求coscos 的值的值BN 11BA CB ，【解析【解析】由于由于CA,CB,CCCA,CB,CC1 1两两互相垂直两两互相垂直, ,故以故以C C为坐标原点为坐标原点, ,分别分别以以CA,CB,CC

44、CA,CB,CC1 1所在的直线为所在的直线为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴, ,建立如图所示的空间建立如图所示的空间直角坐标系直角坐标系. .(1)(1)依题意知依题意知B(0B(0，1 1，0)0)，N(1N(1，0 0，1)1)，故故 (2)(2)由上易知由上易知A A1 1(1(1，0 0，2)2)，B(0B(0，1 1，0)0)，C(0C(0，0 0，0)0)，B B1 1(0(0，1 1，2)2)，于是于是 (1(1，1 1，2)2)， (0(0，1 1，2)2)， 3 3，| | | | | |故故coscos 222BN1 00 11 03. |1BA 1CB 11BA C

45、B 1CB 1BA 11BA CB ，1111BA CB30.10BA CB 6，5.【补偿训练【补偿训练】在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是D D1 1D,BDD,BD的中点的中点,G,G在棱在棱CDCD上上, ,且且CG= CD,HCG= CD,H是是C C1 1G G的中点的中点. .利用空间利用空间向量解决下列问题向量解决下列问题: :(1)(1)求求EFEF与与B B1 1C C所成的角所成的角. .(2)(2)求求F,HF,H两点间的距离两点间的距离. .14【解析【解析】如图所示，以如图所示，以 为单位正交基底建立空间直为单位正交基底建立空间直角坐标系角坐标系D-xyzD-xyz，则，则D(0D(0，0 0，0)0)，E(0E(0，0 0， ) )，F( 0)F( 0)，C(0C(0，1 1，0)0