9　双曲线的几何性质

1、.课时分层作业九双曲线的几何性质建议用时：40分钟根底达标练一、填空题1设双曲线C的两个焦点为，0，0，一个顶点是1,0，那么C的方程为_解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c，a1，那么b2c2a21，所以双曲线C的方程为x2y21.答案x2y212双曲线的渐近线方程为y±x，那么双曲线的离心率为_解析e，当时，e；当时，e.答案或3双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，那么m的值为_. 【导学号：71392085】解析方程可化为y21.由条件知22×2，解得m.答案4假设双曲线1a0，b0的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么双曲线的离心率为_解析由2a2c4b

2、，得ac2b2，即a22acc24c24a2，得5a22ac3c20，5a3c·ac0，即5a3c，e.答案5双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为3,0，且焦距与虚轴长之比为54，那么双曲线的标准方程是_解析双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为3,0，那么焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，那么双曲线的标准方程是1.答案16a>b>0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，那么C2的渐近线方程为_解析由题意知e1，e2，e1·e2·.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1，即1，解得&#

3、177;，.令0，解得bx±ay0，x±y0.答案x±y07双曲线C：1a>0，b>0的离心率为2，焦点到渐近线的间隔 为，那么C的焦距等于_解析双曲线的一条渐近线方程为0，即bxay0，焦点c,0到该渐近线的间隔 为，故b，结合2，c2a2b2得c2，那么双曲线C的焦距为2c4.答案48ykx2与双曲线1右支交于不同的两点，那么实数k的取值范围是_. 【导学号：71392086】解析由消去y得14k2x216kx250，<k<.答案二、解答题9双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，过点P3，1，一条渐近线与直线3xy2平行，求双曲线的标准方

4、程解法一：假设双曲线的焦点在x轴上，那么由渐近线方程y3x得3，b3a.故可设双曲线的标准方程为1，又双曲线过点P3，1，1，解得a2，b280，所求双曲线的标准方程为1.假设双曲线的焦点在y轴上，那么由渐近线方程y3x得3，a3b.故可设双曲线的标准方程为1.点P3，1在双曲线上，1，解得9b280，不合题意综上所述，所求双曲线的标准方程是1.法二：双曲线的一条渐近线与直线3xy2平行可设双曲线方程为9x2y20，双曲线过点P3，1，9×321280，双曲线方程为9x2y280，即1.10假设双曲线x2y21的左支上有一点Pa，b到直线yx的间隔 为，求点P的坐标. 【导学号：71

5、392087】解因为点Pa，b到直线yx的间隔 为，由点到直线的间隔 公式得，即|ab|2，又点Pa，b在双曲线x2y21左支上，所以a0且a2b21，由联立，解得或舍，所以点P的坐标为.才能提升练1如图2­3­2，F1和F2分别是双曲线1a>0，b>0的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|的长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，那么双曲线的离心率为_图2­3­2解析连接AF1图略，|F1F2|2c，且AF2B为等边三角形，又|OF1|OA|OF2|，AF1F2为直角三角形，又AF2F1×60°

6、;30°，|AF2|c，|AF1|c.由双曲线的定义知cc2a，e1.答案12过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.假设以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点O为坐标原点，那么双曲线C的方程为_解析由直线方程xa和渐近线方程yx联立解得Aa，b由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c4，即右焦点F4,0由该圆过A点，可得|FA|2a42b2a2b28a16c28a16c2，所以8a16，那么a2，所以b2c2a216412.故双曲线C的方程为1.答案13F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P3,1为双曲线内一点，点A在双曲线上，那么APAF2

7、的最小值为_解析首先根据定义，得AF2AF12a.APAF2APAF12aAPAF12，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值由图可知，当F1，A，P三点共线时，APAF1PF1获得最小值，最小值为，APAF2的最小值为2.答案24F1，F2是双曲线1的左，右焦点. 【导学号：71392088】1假设双曲线上一点P到焦点F1的间隔 为10，求点P到焦点F2的间隔 ；2假设P是双曲线左支上的点，且PF1·PF232.试求F1PF2的面积解由双曲线的标准方程1可知a3，b4，c5.1由双曲线的定义，得|PF2PF1|2a6，那么|PF210|6，解得PF24或PF216.2由P在双曲线左支上得PF2PF16，两边平方得PFPF2PF