数列新定义专题

1、课题：基于数列的新定义相关题型数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识点。基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。1、数列与函数相结合1)与二次函数相结合例：在直角坐标平面上有一点列Pl(ai,bl),P2(a2,b2),P3(a3,b3),n,bn),对每一个自然数n,点Pn(an,bn)在函数y=x2的图象上，且点Pn(an,bn),

2、点A(n,0),点B(n+1,0),构成一个以点pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。(1)求对每一个自然数n,以点Pn纵坐标构成的数列bn的通项公式；1r令J一，求磐的值。2)与指数函数相结合例：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),n(0n,bn),对每一个自然数n,点Pn(an,bn)在函数y=2000(0<也<10)的图象上，且点Pn(an,bn),点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。(1) 求点Pn(an,bn)的纵坐标bn的表达式；(2) 若对每一个自然数n,以bn,bn+1,bn+

3、2为边长能构成一个三角形，求a的范围；(3) 设Bn=b1b2b3b(nCN+),若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求Bn的最大项是第几项？3)数列与对数函数相结合例：已知函数I，：_J,(1)n=1,2,3,时，把已知函数的图像和直线y=1的交点横坐标依次记为山秘用，；an,6-求证：ai+a2+a3+n<1;(2)对于每一个n值，设An,Bn为已知函数图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。4)数列与分段函数相结合例：设函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线。当n<y<n+1

4、(n=0,1,2,时;眩图像是斜率为bn的线段(其中正常数bw°。设数列xn由f(xn)=n(n=1,2,3,定义'(1) 求x1,x2和xn的表达式；(2) 求f(x)的表达式，并写出定义域。5)数列与反函数相结合例：已知函数f(x)=K-24万+2(x>域反函数为y=f1(x),若数列an的前n项之和为Sn(nCN+)。对所有大于1的自然数n都有Sn=f-1($-1),且a1=2,求数列an的通项公式。2、数列与三角相结合把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生，但由于三角函数的周期性，也使得数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期

5、性的特点，只有这样才能将所遇困难有效化解.例：数列an的通项公式anncos,其前n项和为Sn,则S2016等于多少？2例：Sn sin sinL 77是多少？sin(nN),则在S,S2,，S。中，正数的个数22n2n例：数列an的通项公式ann(cossin),其刖n项和为Sn.33(i)求Sn；(n)令bn-S3，求数列bn的前n项和.n43、其他新定义题型这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点，预设相关前提条件，再引出问题，该类题型重点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。d ( n N 7为常数),则称数列an为调和数列。已例：若数列 an满足an1an.1知数列一为倜和

6、数列，且x1x2x20200,则x5x16.xnn例：7E乂：称，f为n个正数尸2,Pn的均倒数。若数列an的前n项PP2Pn1，,的均倒数为，则数列an的通项公式为2n1例：有限数列A(a1,a2,an),Sn为其前n项和，定义S1SSn为A的“凯森和”，n如有500项的数列3,22，,a500)的“凯森和”为2004,则有501项的数列(2,a1,a2,a500)的“凯森和”为.例：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a12,公和为5,那么a18的值为,这个数列的前21项和S

7、21为.aan1例：在数列an中，对任意nN都有k(k为常数)，则称数列an为“等an1an差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为anabnc(a0,b0,1)的数列一定是等差比数列；等差比数列中可以有无数项为0,其中正确的是.例：定义：若数列an对任意的正整数n,都有anan1d（d是常数），则称an为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”。已知“绝对和数列"an中，a12,“绝对公和”d2,则其前2010项和S2010的最小值为.S2n,例：设Sn是数列an的前n项和，右人一（nN）是非零常数，则称数列an

8、为“和Sn等比数列”。（1） 若数列2bn是首项为2,公比为4的等比数列，则数列bn（填“是”或“不是”）“和等比数列”.（2） 若数列cn是首项为g,公差为d（d0）的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d与G之间满足的关系为.22例：在数列an中，若anan1p（p2,nN,p为吊数），则称数列an为“等方差数列”。下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则an2是等差数列；（1）n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn（kN,k为常数）也是等方差数列；若an是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列。其中正确命题的序号是.课后练习：aa1 .若数列an满足k（k为常数

9、），则称数列an为“等比和数列”，k称2 ,则 a2009an1an为公比和。已知数列an是以3为公比和的等比和数列，其中a11,a22 .对数列an,规定an为数列an的一阶差分数列，其中anan1an(nN).一一，一.523(1) 已知数列an的通项为an-n2n(nN),试判断an是否为等差数列22或等比数列，并说明理由.(2) 若数列an的首项为ai1,且满足anan2n，记0与，求数列bn的2n通项bn及数列an的前n项和Sn.3 .在数列an中，若ai,a2是正整数，且an昌1an2l，n3,4,5,L，则称an为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；(2)若“绝对差数列”an中，a203a10,数列bn满足bnanan1an2,n1,2,3,L，分别判断当n时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项4 .在m(m>2)个不同数的排列P1P2Pn中，若1wivjwm时P>p(即前面某数