数值计算方法教案数值积分

1、精品文档计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会计算方法又称数值分析是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。计算方法还要求适应电子计算机的特点。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的数值分析即计算方法”下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积分内容的心得与体会。首先了解一下数值积分的内容:(1)针对定积分Ib . . 什.=f f （x dx ,右 f （x ）= ax5,a=0,b=1 ,即有 I15 x6=f x dx =J06精品文档f(x)=sn2,f(x)=sinx2,，时，很难找到其原函数。x(2)被积函数

2、并没有具体的解析形式，即f(x)仅为一数表。I的值即为四条曲线所围图形的面定积分I=bf(x)dx的几何意义为，在平面坐标系中a积，这四条曲线分别是y=f(x),y=0,x=a,x=b。?a+b:laf（x）dx（b-a）f12-其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积bb-a| f a f b以及梯形公式I=fxdx：=梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积:y再来是辛普森公式I=jf(x)dx比b|a|f(a)+4fl，a-bf(b)辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由(a,f(a)1a-b,f1bj,(b,f(b)三点构成。I222)2bn

3、从而到处其一般公式为ff(x)dxZAf(Xk),其中Xk称为节点，Ak称为求积系数，或ak=0权。衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。若某积分公式对于xk(k=0,l|i,m)均能准确成立，但对于xm不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。*研究中矩形公式f(x)dx虫b-a)f,3j的代数精度及几何意义。7a2bb【解】当f(x)=x=1时，公式左边=Jf(x)dx=1dx=b-a,公式右边=b-a,左二a-a右；1、bbX2bb2-a2当f(x)=x时，公式左边=jf(x)dx=

4、xdx=,aa2.222，左=右;2当f (x)=x2时，公式左边2，x dx =,33b - a32公式右边=b-aiayb,左#右;八八/a+b*ba式右边=(ba),二故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的,中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。a+bb2其次是研究几种计算方法:首先是待定系数法。例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当f(x)=1及f(x)=x时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。b解：设积分公式为：f(x)dx定Aof(a)+A1

5、f(b)。ab -a 二A。A1 b2 -a2 = A0a A1b2针对f(x)=1及f(x)=x,代入积分公式的左边和右边，有:,解得Ao=(ba),A1=(ba)22于是有积分公式：ff(x)dx%af(aaf(b)。a22该公式即为梯形求积公式。例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式解：设积分公式为+ A2f(b)。b，,abafxdx：A0faA1f针对f(x)=1,f(x)=x&f(x)=x2,代入积分公式的左边和右边，有:ba=A0+A+A21 22a+b121_(b-a)=A()a+A+A2b，解得：A()=-(ba),A=-(ba),A2=-(b-a2 、，26、J3、，

6、6、1332ia+b2-(b-a卢A0a+A.A+A2bb积分公式为：I = f x dx af a 4f T f b该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法(插值型求积公式)，即过函数f(x)的n+1节点x0,x1,xn,作nn次多项式函数Pn(x),根据拉格朗日公式：Pn(x)=lk(x)f(xk),则有k=0f (x )dx划 JaPn(x)dx=1lk(x)dxf(xk) = Akf(k -0 -k-0xk),其中,k=0k=0bAk = a lk x dx代数精度的分析：若被积函数f(x觉次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数Pn(x)即是被积函数f(x)本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。若f(x)是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线巳以)=加十司乂十22，其中必有a2=0,即P2(x)=f(x);同理，若f(x)是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式