数列极限四则运算法则的证明

1、数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法贝U1:lim(An+Bn尸A+B法则2:lim(An-Bn尸A-B法则3:lim(An-Bn尸AB法则4:lim(An/Bn尸A/B.法则5:lim(An的k次方尸A的k次方(k是正整数)(n-+8的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列Xn和常数A有以下关系：对于？0(不论它多么小，总存在正数N,使得对于满足n>N的一切Xn,不等式|Xn-A|<e都成立，则称常数A是数列Xn的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1:limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法

2、则1的证明：limAn=A,对任意正数e存在正整数N?,使n>N?曲亘有|An-A|ve(极限定义)同理对同一正数e存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B|<&设N=maxN?,N?,由上可知当n>N时两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|&|An-A|+|Bn-B|<£+£=2£.由于e是任意正数，所以2e也是任意正数.即:对任意正数2£存在正整数N,使n>N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|<2£,由极限定义可知，lim(An+Bn尸A+

3、B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C-An)=C-A.(O常数)证明:limAn=A,，对任意正数e存在正整数N,使n>N时恒有|An-A|<e(极限定义)式两端同乘|C|,得：|C.An-CACe.由于e是任意正数，所以Ce也是任意正数.即:对任意正数Ce存在正整数N,使n>N时恒有|CAn-CA|<Ce.由极限定义可知，lim(C-An)=C-A若C=0的话更好证)法则2的证明：lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:

4、若limAn=0,limBn=0,则lim(An.Bn)=0.证明：,limAn=0,对任意正数e存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0|<e(极限定义)同理对同一正数e存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-0|<e设N=maxN?,N?,由上可知当n>N时两式全都成立.此时有|AnBn=|An-0|Bn-01V£=$2.由于e是任意正数，所以e也是任意正数.即:对任意正数S存在正整数N,使n>N时恒有|An-Bn-0|<£2.由极限定义可知，lim(An-Bn)=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则lima

5、n=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.1.lim(AnBn)=lim(an+A)(bn+B)=lim(anbn+Ban+Abn+AB)=lim(anbn)+lim(Ban)+lim(Abn)+limAB1)=0+B-liman+Alimbn+limAB(引理3、引理2)=BX0+AX0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=Lw0,则存在正整数N和正实数e使得对任何正整数n>N,有|Xn|>e.证明：取e=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<e于是有|Xn

6、|>|L|-|Xn-L|>|L|-|£=£引理5:若limAn存在，则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|<M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|w1于是有|An|w|A|+1我们取M=max(|A1|,.,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明：由引理4,当BWO时(这是必要条件),？正整数N1和正实数£0使得对？正整数n>N1,有|Bn|>£0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|<M,|Bn|<K.现在对？£>0,?正整数N2和N3,使得：当n>N2,有|An-A|<£0*|B|*£/(M+K+1)当n>N3,有|Bn-B|<£0*|B|*£/(M+K+1)现在，当n>max(N1,N2,N3)时，有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|0(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*