普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共21题，？茜分150分。考试用时120分钟。参考公式：主体的体积公式V=Sh,其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。锥体的体积公式为V一、选择题：本大题共8小题,符合题目要求的。1.=sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的局。3每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是5-6i1 .设i为虚数单位，则复数56LiA.6+5iB.6-5iC一65iD.-6-5i2.设集合U=1,2,3,4,5,6,M=1,2,4则CUM=A.UB.1,3,5C.3,5,6D.2,4,63.若向量BA=(2,3),CA=(4,7

2、),则BC=A.(-2,-4)B.(2,4)C,(6,10)D.(-6,-10)4.下列函数中，在区间(0,+00)上为增函数的是A.y=ln(x+2)B.yy二xxy<2I5.已知变量x,y满足约束条件«x+y至1,则z=3x+y的最xy士1大值为A.12B.11C.3D6 .某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A.12兀B.45兀C.57兀D.81兀7 .从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是F-6H正视国A.4B.1C.93-D.98.对任意两个非零的平面向量若平面向量a,b满足a>b>0,a与b3n -,一nZ中，则 a

3、76;b =2的夹角日w（0,一）,且a0b和b、都在集合4A.1B.1C.3D.5222二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）9 .不等式x+2-x|<1的解集为。1 110 .（x2+-）6的展开式中x3的系数为。（用数字作答）x11 .已知递增的等差数列an满足a1=1,a3=a224,则an=。12 .曲线y=x3x+3在点（1,3）处的切线方程为。13 .执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8,则输出s的值为。(二)选做题(14-15题，考生只能从中选做一题)14 .(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲

4、线。和G的参数方程分别为'x=t_(t为参数)和!x=而°se代为参数)，则曲线。与G的交.y=ty=.2sin(/点坐标为。15 .(几何证明选讲选做题)如图3,圆。的半径为1,A、RC;彳匕一一:是圆周上的三点，满足/ABC=30,过点A做圆。的切线与OC的延长线交于点巳则PA=。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16 .本本小题满分12分)已知函数”*)=285(0+土)(其中60«三田的最小正周期为10i.6(1)求缶的值；(2)设%Pw0,-f(5a+5J)=-?(5P-5X=16,1235617求cos(a+

5、P)的值。',17 .(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：140,50),150,60),160,70),170,80),180,90),190,100口Q.H(1)求图中x的值；从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成国绩在90分以上(含90分)的人数记为J求巴的数学期望。图418 .本本小题满分13分)如图5所示，在四麴隹P-ABCD中，底面ABC的矩形，PAL平面ABCD点E在线段PC上，PM平面BDE(1) 证明：BDL平面PAC(2) 若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值。19 .(本小题满

6、分14分)设数列an的前n项和为S,满足2sl=an4-2n+1,nwN2且a,a2+5启3成等差数列。(1) 求a1的值；(2) 求数列匕的通项公式；、一.1113(3) 证明：对一切正整数n,有<3.aa?an22220 .本本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G：二+4=1(a>ba0)的离心率a2b2e=J3,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(mn)使得直线l:mxmy=1与圆。x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且4OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在

7、，请说明理由。21 .本本小题满分14分)设a<1,集合A=xWRxa。,B=(xWR2x23(1+a)x+6aa0)，D=A1B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)=2x33(1+a)x2+6ax在D内的极值点。、选择题:、填空题:2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）题号12345678答案DCAABCDC数学（理科）答案9.(5210. 2011.2 n-113. 814.(1,1)15.用三、解答题：12. y=2x+116.本本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos(切x+)(其中缶A0,xw R)的最小正周期为10i .6(1)求0的值；设 a,

8、P e 0,- l,f(5a +5n) =6, f(5P -5n) =16,求 cos(a +P)的值。235617解析：（1 ）最小正周期为 =10n , s=l ；5/ c、 ,5二 二6 r ，二、(2 ) f (5a +-n) =2cos(a + + ) = ,即 cos(c( +一)33 6523一二4得 sin a = g ,又 a u ,p,得 cosa =-； .8.15同理，cosB=行，sin P =,所以 cos(a + P) = cos a cos P -sin a sin P = _ -1310517.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的 频率分布直方

9、图如图 4所示，其中成绩分组区间是：40,50 ,50,60 , 60,70 ,170,80 ,80,90 , 190,1001(1)求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取 2人，该2人中成 绩在90分以上（含90分）的人数记为U ,求上的数学期望。解析：(1)由 0.006M10M3+0.01M10 +0.054M10+10x=1 ,得 x=0.018;（2）成绩在区间 90,90 ）的学生有0.018父10父50 =9人,成绩在区间90,100的学生有0.006父10父50=3人，成绩不 低于80分的学生共12人，之=0,1,2,P1=0)=C92C12211P( =1)*

10、-Gj 22C2P( -2)-3C1222E()=01211222218.本本小题满分13分)如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCM矩形，PL平面ABCD点E在线段PC上，PM平面BDE(3) 证明：BDL平面PAC(4) 若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值。解析：(1)PAL平面ABCDPALBDD PCL平面BDE.PCBD .BDL平面PAC;(2)设ACClBD=0,连OE,.PCL平面BDE，PC±BE,PC，OE,所以/BED是二面角B-PC-A的平面角；由(1)知BDLAC,又四边形ABC型矩形，所以四边形ABCD菱形， .AB=AD=2,AC

11、=2冠，BO=42,PC=3, 点A到PC的距离为PA?C=早，.点o到pc的距离为一，PC33二面角B-PC-A的正切tan/BEO=E0=3.OE19.(本小题满分14分)设数列Q的前n项和为S,满足2Sn=an书2n*+1,nwN;且a1,a2+5,a3成等差数列。(4) 求a1的值；(5) 求数列an的通项公式；.1113(6) 证明：对一切正整数n,有十十,<3.a1a2an2解析：(1)2al=2§=a2-22+1,a2=2a1+3,2Sn=an由一2n书+乏N，当n至2时，2&=a2n+1,2an=2(Sn-SnG=an书-an2n*+2n(n之2),即为

12、士=31+2n(n之2),a3=3a2*4=6a1+13,由a1,a2+5总成等差数列，得a1*a3=2(a2*5),解得a1=1；(2)由U=碗+232),得。=券+叱2),设“手(除2),则313a213bnl”n”n叫,得叫十2(bn+2)(n*2),又b2+2=；+2=143,3n-2133n-2133n2bn+2=(b2+2)(R=(-)(n>2),bn=-(-)-2(n>2),24242n1n1,n=1an=133n2，2n(n22),综上知an=4nn')n133T-22n,n.2下面用数学归纳法证明：an=133222nA3n"1(n之2),即要证

13、53n">2n(n之2).当n=2时，5>4,不等式成立；假设当n=k时，53kq>2k(k主2),则k1-2k-2kk153=3父53>32>2，即假设当n=k+1时，不等式成立；由可知，53n“>2n(n>2)恒成立，即an=133鹏22n>3n"(n22)；371一一=F72n<-nz(n之2),当n之2时,an133n，22n3n1.1.1.an313rl= 3(1一)：二3 23n2-1.31113a20.本本小题满分e =,且椭圆当n=1时，=1=<一,综上所述：对一切正整数n,有+<一.2aa?

14、an222xy14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆。：二十3=1但>b>0)的离心率abC上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.:3(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(mn)使得直线l:m)+ny=1与圆Ox2+y2=1相交于不同的两点A、B,且4OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。解析：(1)由题意可设a=J3k(k>0),c=J2k,则b=k,22设P(x,y)是椭圆C1上任意一点，则J+4=1,3k2k2|PQj=x2+(y2)2=(3k2-3y2)十(y2)2=2(y+1)2+3k2+6,又|

15、PQ|2M32=9,yb,b即yk,k,解得k=1,L?*k2或4ij”22|PQmax=3k26|PQ|2max=-2(-k1)23k262.椭圆C的方程为x-+y2=1.3(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),soab=|OA|OB|sin/AOB=sin/AOBM1,仅当OAOB时，最大S OA最大，此时点O到l的距离为,即2222m2付m+n=2,由点M(mn)在椭圆C上，得+n=1,1-m2=3,n2=1,所以存在点M的坐标为(士，6,士42),使OAB勺面积最大，为1222221.本本小题满分14分)设a<1,集合A=(xWRxa。,B=xWR2x23(1+a)x+6a

16、a01D=A1B.(1)求集合D(用区间表示)；求函数f(x)=2x33(1+a)x2+6ax在D内的极值点。解析：(1)设g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,其对称轴为x=3(1+a)421判别式A=9(1+a)248a=3(a-)(a-3),g(0)=6a,当当1<a<1时，Ac。，B=RD=AriB=(0*);33(1 a)41.一，一,3(1a)-：aE1时，岂0,g(x)=0的两根为x1=343(1a)0公当«4,即a>0时，0<为三乂2，B=(-°o,x1)U(x2,+=c),D=(0,x)U(x2,y);g(0)=6a0,3(1a)0但当«4>即1<aM0时，x1<0<x2,D=(x2,+);g(0)=6a<0当3(1+a)M0即aw1时g(0)<0x1<0<x2,D=(x2,y)；4综上所述：当1<a<1时，D=(0,十无)；3位c13(1a)-.(3a-1)(a-1)3(1a).(3a-1)(a-1)当0<aw1时，D=(0,-)Up