2003年高考.全国卷.文科数学试题及答案

1、绝密启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(文史类)注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3 .考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:三角函数的积化和差公式：1sin、工 cos - = sin(、工 I ) sin(:-)21cos: sin - =-sin(，p) sin(:-)1cos cos - =2cos(二)-cos(:-)=1 .sin sin - 二 一一cos()： ,-)

2、 -cos。-)2正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=1(c'+c)l其中c'、c分别表示 2上、下底面周长，l表示斜高或母线长.球体的体积公式：V =4巾3，其中R3，表示球的半径.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分 .第I卷1至2页，第n卷3至10页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题共60分)一.选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的1.直线y =2x关于x对称的直线方程为()(A)y=x(B) y =1 x(C) y 2x (D) y = 2x222 .已知 x 1 (A) (B

3、) 一(C) 8(D) -8 88 0 I，cosx = 4,则tg2x=()2,5(A) (B) -(C) 24(D)-2424772 .3 .抛物线y=ax的准线万程是y =2,则a的值为().1一.4 .等差数列an中，已知a1 =-，a2+a5 =4,an =33，则门为()3(A) 48(B) 49(C) 50(D) 515 .双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为Fi,F2,/FMF2 =120。则双曲线的离心率为( )(A)布(B) §(C)手(D)咚1rk -X /一6 .设函数f (x)=/1 x -，若f(x0) >1 ,则x0的取值范围是()X2 X 0(A

4、) ( -1 , 1)(B) ( -1 ,十8 )(C)(_°o, -2) 2 (0, 十七)(D)(_8, - 1)u (1, 十七)7 .已知 f(x5)=lgxMUf(2)=(),11(A) lg2(B) 1g 32(C) lg(D) -lg23258 .函数y =sin(x+中)(0工9£冗)是口±的偶函数，则5=()冗ji(A) 0(B) (C) (D)冗429 .已知点(a,2)(a >0)到直线l :x-y+3 = 0勺距离为1,则a =()(A) &(B) 2-42(C) &-1(D) 72+110 .已知圆锥的底面半径为 R

5、,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为3 R ,该圆柱的全面积4为()2Q 885 _ o(A) 2nR(B) 9 JiR2(C) 8 兀 R2(D) - n R243211.已知长方形的四个顶点A (0,0),B (2,0),C(2,1)和D (0, 1),一质点从AB的中点Po沿与AB夹角为日的方向射到BC上的点P1后，依次反射到 CD、DA和AB上的点P2、P3和P4 (入射角等于反射角)若R与R重合，则tg9=()(A) 1(B) 2(C) 1(D) 135212 . 一个四面体的所有棱长都为22,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（(A) 3n(B) 4n (C) 3晶(D) 6n

6、2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）第II卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13 .不等式4x- x2 <x的解集是.2x14 .（x2_L）9的展开式中X9系数是 .15 .在平面几何里，有勾股定理：“设VABC的两边AB, AC互相垂直，则AB2 +AC2 = BC2."拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB两两互相 垂直，则. ”16 .如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着

7、色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有 <7 24种颜色可供选择，则不同的着色方法共有J!种. （以数字作答） 、3 一三、解答题：本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17 .（本小题满分12分）已知正四棱柱 ABCD ABC1D1, AB=1, 乎 =2,点E为CC1中点，点F为BD1点中点（I ）证明EF为BD1与CC1的公垂线（n）求点Di到面BDE的距离.18 .（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60% 且|z-1|是|z|和|z2的等比中项,求|z|.19 .（本小题满分12分）已知数列an满足a1 =l,an =3n+an（n之2）.3n

8、 -1（i）求 a2,为；（n）证明 an =*220 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) =2sin x(sin x cosx) .（i）求函数f（x）的最小正周期和最大值;（n）在给出的直角坐标系中，画出函数y = f（x）在区间Ln冗上的图象.IL 2,221 .（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 0（如图）的东偏南日（COS日=Y2）方向300km的海面P处,10并以20km/h的速度向西偏北 45 口方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22 .（本

9、小题满分14分）已知常数a >0 ,在矩形ABCD中，AB=4, BC =4a, O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 BE=CF- =Cp P为GE与OF的交点（如图），问是 BC CD DA否存在两个定点，使 P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值； 若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明:本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则.二.对计算题，当考生的解答在某一步出现

10、错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. D 7. D 8. C 9. C 10. B 11. C 12. A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13. (2,4三、解答题:14. -15.2S&BC * S&a

11、mp;CD + S&DB = SCD16 - 72本大题共 6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (I)证明：取BD中点M,连结MC, FM ,F 为 BD 1 中点，FM / DD 且 FM= 13_ 243 2 = - 2, S dbc( - 2)=22 22 D1D2一一 1 一 一， 一又 EC=-CC1,且 ECXMC, 2四边形EFMC是矩形EFXCC1又 CM上面 DBD1EF,面 DBD1 BDi 仁面 DBDi, EFXBDi故EF为BD1与CCi的公垂线(II)解：连结ED有V由(I)知EFL面DBDi,设点 Di到面BDE的距离为d,贝U

12、 SaDBC , d=SDCD ' EF., AA 1 =2 , AB=1.2S.DBD1BD =BE =ED = .2,EF = 2故我Di到平面BDE的距离为2"33r18.解：设z=r(cos60 +i sin 60 )则复数z的头邻为一 2二 z + z = r,zz = r2 由题设 | z -1|2=| z| |z-2|-22即(z1)(z1) =| z | . (z2)(z2) r r 1=r.r 2r 4r2+2r1=0 解得 r=J21r = J2 1 (舍去)即 |z|二J2219. (I)解: a1 =1,. a2 =3 +1 = 4,a3 =3 +4

13、= 13-1(II)证明：由已知an -anJL =3n,故an = (an - an)(an 2-an _2)(a2 - a1) a1n4 nN3n -1=3n 3n 3 1 =2_3n -1所以an =3一12220.解(I) f(x) =2sin x+2sinxcosx = 1cos2x+sin2x=1. 2(sln 2xcos - -cos2xsln4Tlr-Jl):12 sln(2x -)44所以函数f(x)的最小正周期为 兀，最大值为1 + J2.(n)由(I)知3nx 8故函数y = f (x)在区间,一上的图象是2 21 -4211+“，2121.解：如图建立坐标系：以 。为原

14、点，正东方向为 x轴正向.22x =300 -20 t,在时刻：t(h)台风中心P(x,y)的坐标为102一7 2.2t.y =-3007-201022, 一、22一此时台风侵袭的区域是(xx) +(y y) <r(t),其中r(t) = 10t+60,若在t时，该城市。受到台风的侵袭，则有(0 -x)2 (0 -y)2 < (10t 60)2,即(300 2-20 -1)2 (-300 7-2 20 2t)2 _(10t 60)2, 102102即 t2 -36t +288 <0 , 解得 12 <t <24.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有 A ( 2, 0), B (2, 0), C (2, 4a), D (2, 4a)设里=CL=DC = k(0EkE1),BC CD DA由此有 E (2, 4ak), F (2 4k, 4a), G (2, 4a-4ak).直线OF的方程为：2ax+(2k 1)y = 0,直线GE的方程为：a(2k1)x+y -2a =0.从，消去参数 k,得点P (x, y)坐标满足方程2a2