中考数学压轴题几何证明题必备

1、学习必备欢迎下载例题讲解【例1】如图10,平行四边形ABC时，AB= 5, BG= 10, BC边上的高A附4, E 为BG边上的一个动点(不与B> G重合).过E作直线AB的垂线，垂足为F. FE 与DG的延长线相交于点G,连结DE, DR(1)求证：ABEMAGEG(2)当点E在线段BG上运动时， BEF和AGEG勺周长之间有什么关系？并说明你的理由.(3)设BE= x, zDEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式，并求 出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？解析过程及每步分值1) 因为四边形ABG国平行四边形，所以AB|_DG 1分所以.B =/GGE , , G =/

2、BFE所以BEFsZgeg 3 分2) ) zBEF与ACEG的周长之和为定值. 4分理由一：过点C作FG的平行线交直线 AB于H ,因为G"AB所以四边形 FHC矩形.所以 FH= CG FG= CH因此，4BEF与ACEG的周长之和等于 BC+ CI+ BH由 BC= 10, AB= 5, AM= 4,可得 CH= 8, BH= 6, 所以 BO CHF BH= 24 6 分理由二：6分由AB= 5, A阵4,可知在 RtBEF与 RtAGCEE,有： 4343EF BE, BF =?BE, GE EC, GC=、CE, 5555所以， BEF的周长是12BE , ECG勺周长是

3、12CE55又BE+ CE= 10,因此BEF与UCEG的周长之和是24.(3)设 B9x,则 EF =4x, GC =3(10 x) 551,1 4 36 2 22所以 y =EFLDG =M(10 x)+5 = x2 x 225 5255配方得：y所以，当x6 , 55、2 121=(x-)2 256655=时，y有取大值.6最大值为12168分9分10分【例2】如图 二次函数y = ax2+ bx+c(a>0)与坐标轴交于点A B C且O"1 OB= OC= 3 .(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标和对称轴方程.(3)点M N在y=ax2+ bx+c的图像上(

4、点N在点M的右边)且MN/ x轴求 以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.解析过程及每步分值(1)依题意 A(1,0) B(3,0), C(0,3)分另iJ代入 y = ax2+bx+c 1 分解方程组得所求解析式为y=x22x3 4分22(2)y=x 2x3=(x1) -4 5 分二顶点坐标(1, -4),对称轴x =1 7分(3)设圆半径为r ,当MN在x轴下方时，N点坐标为(1 + r, r) 8分把N点代入y2=x -2x -3得 r =-117 同理可得另一种情形 r = 1172圆的半径为'4斤或1 +折10分22【例3】已知两个关于x的二次函数yi与当x = k时，y2=1

5、7;且二次函数y2的图象的对称轴是直 y2, y1 =a(x k)2+2(k a0), y1 + y2 = x2+6x + 12线x=-1.(1)求k的值；(2)求函数y1，y2的表达式；(3)在同一直角坐标系内，问函数 y的图象与y2的图象是否有交点？请说 明理由.解析过程及每步分值(1)由 y1 =a(x -k)2 +2, y1 + y2 = x2 +6x +12得 y2 =(y1 +y2) y1 =x2 +6x+12 a(xk)2 2 =x2 +6x +10-a(x-k)2.又因为当 x =k时，y2 =17 ,即 k2 +6k +10=17 ,解得k1 =1 ,或k2 = -7 (舍去

6、)，故k的值为1 .(2)由 k =1 ,得 y2 = x2 +6x+10-a(x -1)2 =(1 一a)x2 +(2a+6)x+10 a,2a 6所以函数y2的图象的对称轴为 x =,2(1-a)于是，有-2a +6 = -1 ,解得a = -1 ,2(1-a)所以 y1 =x2+2x +1, y2 =2x2 十 4x 十11 .(3)由y = (x1)2 +2,得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2)；由y2 =2x2+4x+11 =2(x+1)2+9 ,得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(-1,9)；故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交

7、点.【例4】如图，抛物线y=x2 +4x与x轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点。，得到直线1,设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、B O P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点 A、 B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4 +6J2b < S <6 +8J2时，求x的取值范围解析过程及每步分值解：(1) y =x2 +4x =(x+2)2 4A(-2,-4)(2)四边形 ABPO为菱形时，P(-2,4)一_ .24四边形

8、ABOP为等腰梯形时，Pi(-)5, 5四边形ABPO为直角梯形时，Pi( -,8)5 5,612四边形ABOP为直角梯形时，Pi(-)5,5(3)由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线1的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x<0, POB的面积S.pOB =24 (一2x) = 4x1, AOB的面积 S总OB =-x4x4 =8,S = S AOB ' S POB = -叙'8(x :二 0) 4+62 <S<6+8<2 ,S ,4 6,2, 彳 rS<2 -3.221 -4,22S .6 8.2口. <

9、;-4x+8>4 + 6V2即J广-4x 8 <6 8 2，x的取值范围是j2exw二2当点P在第四象限是，x>0,过点A P分别作x轴的垂线，垂足为 A'、P' 则四边形POA A的面积4 2x,C、 1 ，c、(x 2)(2x) x=4x 421 一.AA' B的面积 s&ab=1m4m2=4 S - SPOAA S.AAB _ 4x 8(x0)4+6& ESE6+8V2,-3V2 -2S -4 6.2, , iiS <6 8 -2口 4x+8>4+6V2即,4x+8<6+8<2x岂24-2-1S 2，-3

10、2 -24,2 1.x的取值范围是3 SpOA A =S 梯形ppAA -SppO = 2 <x 42一1 22【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木， 根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）(1)分别求出利润yi与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少 利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：(1)设y产kx,由图所示，函数 yi=kx

11、的图像过(1, 2),所以2=k 1, k = 2故利润yi关于投资量x的函数关系式是 yi = 2x；因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2 = ax2,由图12-所示，函数y2=ax2的图像过(2, 2),所以 2 = a 22, a =-2故利润y2关于投资量x的函数关系式是y = - x2 ;2(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0 W x E 8),则投入种植树木(8-x)万元，他获得的利润是 z万元，根据题意，得1 2 1 212z = 2(8-x)+ x = x -2x 16=(x-2)142 22当x = 2时，z的最小值是14;因为 0 <x <8,所以2 Mx2

12、 <6所以(x -2)2 <36所以工仪-2)2 <1821 .所以一(x2)2 +14 <18+14 =32,即 z<32 ,此时 x = 82当x=8时，z的最大值是32.【例5】如图，已知 A(-4,0) , B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大，B点的对应点为C(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上 析式并画出函数图象；(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点 P,求该抛物线的解请找出抛物线上所解析过程及每步分值解：(1)过C点向x轴作垂线，垂足为 D,由位似图形性质

13、可知:AO BO 4 ABS ACD =-AD CD 9由已知 A(T,0) , B(0,4)可知： AO=4,BO=4.AD=CD =9. . .C点坐标为(5,9).直线BC的解析是为:9-45-0有满足到直线AB距离为3"的点P.化简得：y =x . 44 = c2. 一、 一(2)设抛物线斛析式为 y=ax +bx + c(a>0),由题意得：<9 = 25a+5b + c ,2b - 4ac = 0-1a2二1r ai =125 I .4斛信：bi = -4 b b2=一Ci =4；L 1 Q =421 9 4，解得抛物线解析式为 y1 = x 4x+4或y2=

14、 x+ x+4.25512 4 ._又 y2 =x2十一x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去.255.满足条件的抛物线解析式为y = x2 -4x 4(准确画出函数 y = x2 -4x +4图象)(3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到 直线AB的距离为h,故P点应在与直线AB平行，且相距3&的上下两条平行直线|和|2上.由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线 BC的距离也为342如图，设11与y轴交于E点，过E作EH BC于F点，在 RtBEF中 EF =h =3/2, /EBF =/ABO=45'，BE =6 .，可以求得直线l1与y轴

15、交点坐标为(0,10)同理可求得直线|2与y轴交点坐标为(0, -2)两直线解析式 1：丫=*+10; l2：y=x2.2)/22)上)y=x -4x + 4 y=x -4x + 4根据题意列出方程组：«y;yy = x10y=x-2"；鼠七1k0七二3满足条件的点 P有四个，它们分别是 R(6,16), F2(T,9), P3(2,0) , P4(3,1) .【例6】如图，抛物线L1 :y = x2-2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线 L2 , L2交x轴于G D两点.（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线或12在x

16、轴上方的部分是否存在点 N,使以A, C, M 形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线Li上的一个动点（P不与点A B重合），那么点N为顶点的四边P关于原点的对解析过程及每步分值解令得-2工+3=0,二工i=一3,工± = L .A（一，03B（I,0）.,抛物我匕向右平移2个单位得抛物线L-，以- 1*。），口（30）2=-1.，抛物线L为3-一（工+1）（工一箝， 即y=箝+2=+3.虫）存在.令父=0,得抛物线L是向右平移2个单位得到的，:,盘 N（2,3）在5上+且=又丫八匚=磊二""=月。./,四边形ACNM为

17、平行四边膨.同理, 上的点 NY-2,3）辆足 NfM/AC,M = Aa ，四边形ACMN'是平行四边形二N2,3,W（一磊3）即为所求.称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.（幼设是L*上任意一点则点P关于原点的对称点Q（一与一立3且 V = 一 Hi * - 2町 十 3»将点。的横坐标代入L2,得皿。一工/一2与+3 =）港-m *二点Q不在抛物绫1“上【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=9, AD = 3掷，点P是边BC上的动点（点P不与点B ,点C重合），过点P作直线PQ / BD ,交CD边于Q点，再把 PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长

18、度为x , PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y .（1）求/CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上?（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 二?解析过程及每步分值解：（1）如图，:四边形ABCD是矩形，:AB = CD, AD = BC .又 AB =9, AD =3百，/C=90,二 CD =9 , BC =3行.CDB = 30 .- BC 3二 tan / CDB =,CD 3'/ PQ / BD , ，NCQP =CDB =30 .(2)如图1,由轴对称的性质可知, RPQCPQ，RPQ=/CPQ, RP = CP.由(1)知 /CQP =30，,二/ RPQ = /CPQ =60 ,，/RPB=601RP = 2BP.；CP=x,.PR = x, PB=3/3x.在4RPB中，根据题意得：2（3j3 x）=x,解这个方程得：x=2j3.（3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，113 20 < x < 2屈,S»acpq =父 CP mCQ = x