二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

1、学习必备欢迎下载二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数一、选择题1.已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3 ,在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点451一 ,y i- , y 2,、3 I 5 I、I 416、，力、y” y3的大小关系是（）A、yiy2y3B 、y2yiy3 G y3< yi< y2 D 、yiy3y2考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解.分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b,得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较yi、y2、y3的大小关系.解答：解：把 x=-3代入x

2、2+bx-3=0中，得9-3b-3=0 ,解得b=2,，二次函数解析式为 y=x2+2x-3 ,抛物线开口向上，对称轴为x=-i , . . yi<y2<y3.故选A.点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义.关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小.2.如图，将二次函数 y= 3ix2 999x+ 892的图形画在坐标平面上，判断方程3ix2- 999x +892 = 0的两根，下列叙述何者正确（）考点专题A.两根相异，且均为正根C.两根相同，且为正根抛物线与x轴的交点。综合题。B.两根相异，且只有一个正根D.两根相同，且为负

3、根分析：由二次函数y= 3ix2 999x+ 892的图象得，方程3ix2 999x+ 892= 0有两个实根，两 根都是正数，从而得出答案.解答：解：二,二次函数y= 3ix2 999x+ 892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相 交，方程3ix2999x+ 892=0有两个正实根.故选A.点评：本题考查了抛物线与 x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个 不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根； 抛物线与x轴无交点时, 方程无实根.3.已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（i, 0）,则它与x轴的另一个交 点坐标是（）A、（i,

4、0）R （2,0）C 、（ -2,0）D、（T, 0）考点：抛物线与x轴的交点。分析：把交点坐标（i, 0）,代入二次函数 y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式 x=x=当一x2 =-,可求出它与x轴的另一个交点坐标.22解答：解：把 x=i , y=0代入y=x2+bx 2得：0=1+b- 2,. b=1,，对称轴为2ax1 x2 x =22, 0） .空点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公卡 Xi X21它与x轴的另一个交点坐标是故选C.点评：本题考查了二次函数和一 x2 = - 2)式 x =。224.已知函数y= （k3）x2+2x+1的图象与x

5、轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<4B. k<4 C , k<4 且 kW3D. kW4 且 kw3考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。专题：计算题。分析：分为两种情况：当 k-3金0时，（k-3）x2+2x+1 = 0,求出= b24ac= 4k + 16>0的解集即可；当k-3= 0时，得到一次函数y=2x+1,与X轴有交点；即可得到 答案.解答：解：当 k3W0 时，（k 3）x2 + 2x+1 = 0, = b24ac=224（k3） X1 = 4k+16>0,k"；当k-3= 0时，y= 2x+1,与x轴有交点.故选B.

6、点评：本题主要考查对抛物线与 x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键.5.如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（, 1）,下列结论：ac< 0;a+b=0;4 ac- b2=4a；a+b+c0.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4考点：二次函数图象与系数的关系。专题：计算题。分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性.解答：解：根据图象可知：c<0, c> 0，acv0,正确；1二.顶点坐标横坐标等于 一，2. _ b =1 ）2a 2a+b=0

7、正确；. 顶点坐标纵坐标为 1,4ac -b2 . =1;4a 4ac- b2=4a,正确；当x=1时，y=a+b+c>0,错误.正确的有3个.故选C.点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.6.已知：二次函数 y=ax2+bx+c （aw0）的图象如图所示，下列结论中： abc> 0；2 a+bv0；a+bvmt am+b） （mM 的实数）：（a+c） 2v b2；a> 1 .其中正确的项是（）A.B .C .D .考点：二次函数图象与系数的关系.专题：数形结合.分析：由抛物线的开口方向判断 a的符号，由抛物线与y轴的交点判断

8、c的符号，然后 根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：二.抛物线的开口向上，a>0,与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c<0,:对称轴为x =2 > 0 , 2a，a、b异号，即b< 0,又,: c< 0,abc>0,故本选项正确；b 一;对称轴为x = -> 0 , a>0,2a，b> 2a,，2 a+b>0；故本选项错误；当 x=1 时，yi=a+b+c；当 x=m时，y2=m(am+b) +c,当 m> 1, y2>yi；当 rk 1, y2<yi,所以不能确定；故本选项错

9、误；当 x=1 时，a+b+c=0；当 x=- 1 时，a- b+c>0；( a+b+c) (ab+c) =0,即(a+c) 2b2;22 . ( a+c) =b故本选项错误；当 x= - 1 时，a- b+c=2；当 x=1 时，a+b+c=0,a+c=1,a=1+ ( - c) > 1,即 a> 1 ；故本选项正确；综上所述，正确的是.故选A.点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1) a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0;否则a<

10、;0;(2) b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式 x =一2判断符号；2a(3) c由抛物线与y轴的交点确定：交点在 y轴正半轴，则c>0；否则c<0；(4) b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac>0； 1个交点，b2-4ac=0,没有交点，b2- 4ac<0.7 .已知二次函数y= ax2的图象开口向上，则直线 y=ax 1经过的象限是()A.第一、二、三象限B .第二、三、四象限C.第一、二、四象限D .第一、三、四象限考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系专题：二次函数分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a&

11、gt;0； 一次函数y=kx+b (kw0)的一次项系数k>0、b<0时，函数图象经过第一、三、四象限.解答：D点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系.二次函数图象的开口方向决定了二次项系数 a的符号.8 .设一元二次方程(x - 1) ( x - 2) =m ( m> 0)的两实根分别为a , 3 ,且a v 3 ,则a , 3满足()A. 1Voe <3<2B. 1Voe V2V 3C. a1v3<2D. a<1 且 3>2考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。专题：数形结合。分析：先令m=0求出函数y= (xT) (x-

12、2)的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出 a, 3的取值范围.解答：解：令m=O,则函数y= (x-1) (x-2)的图象与x轴的交点分别为(1,0), (2,0),. mT> 0, a < 1, 3 > 2.故选D.点评：本题考查的是抛物线与 x轴的交点，能根据 x轴上点的坐标特点求出函数y= (x- 1)(x-2)与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键.9.分二次函数y= - x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于 x的一元二次方程-x2+2x+k=0的 一个解xi=3,另一个解x2=()A、1R - 1C、- 2 D 0考点：抛

13、物线与x轴的交点。专题：数形结合。分析：先把xi=3代入关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0,求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解 x2的值.解答：解：二.把xi=3代入关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0得，-9+6+k=0,解得 k=3,，原方程可化为：-x2+2x+3=0 ,_2X 1+x2 = 3+x2=-=2,解得 x2=- 1.-1故选B.点评：本题考查的是抛物线与 x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系.10.若 x1, x2 (x1x2)是方程(x-a ) ( x-b ) =1 (avb)的两个根，则实数 x1, x2,

14、 a, b 的大小关系为()A x1<x2<avb B 、x1avx2b C、x1avbvx2 D、avx1bvx2考点：抛物线与x轴的交点.分析：因为X1和X2为方程的两根，所以满足方程（x-a ） （ x-b ） =1,再有已知条件X1VX2、 avb可得到Xi, X2, a, b的大小关系.解答：解：: Xi和X2为方程的两根，（ Xi-a ） （Xi-b） =1 且（X2-a） （X2-b） =1,（ Xi-a ）和（Xi-b）同号且（X2-a）和（X2-b）同号；Xi< X2,，（Xi-a ）和（Xi-b ）同为负号而（X2-a ）和（X2-b ）同为正号，可得：X

15、i-a v 0且Xi-b v 0, Xi va 且 Xi< b, .Xi< a, . X2-a > 0 且 X2-b >0, .X2>a 且 X2>b, .X2> b,，综上可知a, b, Xi, X2的大小关系为：XiVavbX2.故选C.点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若Xi和X2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负.二、填空题2i.如图，已知抛物线 y=X+bX+c经过点（0, - 3）,请你确定一个 b的值，使该抛物线与轴的一个交点在（i, 0）和（3, 0）之间.你确定的 b的值是考点：抛物线

16、与X轴的交点.专题：计算题.分析：把（0, 3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（i, 0）和（3, 0）之间取一个点，把它的坐标代入解析式即可求出答案.解答：解：把（0, - 3）代入抛物线的解析式得： c=-3, . y=X2+bX- 3.二确定一个 b的值，使该抛物线与 X轴的一个交点在（i, 0）和（3, 0）之间，假如过（2, 0）,代入, 得0=4+2b- 3, b=1.故答案为.22点评：本题主要考查又坍勉物线与 X轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与X轴的交点的坐标特点是解此题的关键.2.如图，是二次函数 y=aX 2+bX+c （aw0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b

17、+c= 0; b>2a;aX2+bX+c=0的两根分别为-3和i;a- 2b+c>0.其中正确的命题是.（只要求填写正确命题的序号）考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点。专题：计算题。分析：由图象可知过（1, 0）,代入得到a+b+c=0;根据- -=-1,推出b=2a；根据图象2a关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（-3, 0） , （1, 0）;由a - 2b+c=a - 2b - a - b=-3b<0,根据结论判断即可.解答：解：由图象可知：过（1, 0）,代入得：a+b+c=0, .正确；. b1 ）2a.b=2a, .错误

18、；根据图象关于对称轴对称，与X轴的交点是（-3, 0） , （ 1, 0） , .正确；a - 2b+c=a - 2b - a - b= - 3b< 0,，错误.故答案为：.点评：本题主要考查对二次函数与 X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键.3 .孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得X1=1, X2=2,则c的值为 2 .考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析：根据两根 X1=1, X2=2,得出两根之积求出 c的值即可.解答：解：解方程 x2 - 3x+c=0得X1=1, X2

19、=2,x 1X2=c=1 X 2,点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系利用两根之积得出c的值是解决问题的关键.4 .试写一个有两个不相等实根的一元二次方程： .考点：根与系数的关系。专题：开放型。分析：根据根与系数的关系，一元二次函数有两个不相等的实根，则必须满足=b 2-4ac>0,可结合以上条件，写出满足条件的一元二次方程；解答：解：要使一元二次函数有两个不相等的实根，则必须满足=b 2-4ac>0,假设 x2+4x- 5=0,则加24ac=16 - （4X5） =36>0; 一元二次方程 x2+4x - 5=0,有两个不相等的实根.故答案为：x2+4x

20、- 5=0 （答案不唯一）.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.B (x2, 0)，点 A在点 B5 .如图，抛物线 y=-x 2+2x+m ( mK 0)与x轴相交于点 A (xi, 0)的左侧.当x=x2-2时，y<0(填“二”或号).考点：抛物线与x轴的交点.专题：数形结合.分析：由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得 m小于0,当x=x2-2时，从而求得 y小于0.解答：解：,抛物线 y=-x 2+2x+m (m< 0)与x轴相交于点 A (xi, 0)、B (x2, 0),. .xi+x2=2, xix2=

21、-m> 0 mK 0. xi+x2=2. xi=2-x 2. x=-x i v 0. .y< 0故答案为v.点评：本题考查了二次函数根与系数的关系，由根与系数的关系得到m小于0,并能求出x=x2-2小于0,结合图象从而求得 y值的大于0.三、解答题1.已知函数y=mx-6x+1 (m是常数).(1)求证：不论 m为何值，该函数白图象都经过 y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与 x轴只有一个交点，求 m的值.考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征。专题：计算题。分析：(1)根据解析式可知，当 x=0时，与m值无关，故可知不论 m为何值，函

22、数y=mx -6x+1的图象都经过y轴上一个定点(0, 1).(2)应分两种情况讨论：当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答.解答：解：(1)当x=0时，y=1.所以不论m为何值，函数y=mx-6x+1的图象都经过y轴上一个定点(0, 1);(2)当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；当mO时，若函数y=m4-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程m)2- 6x+1=0有两个 相等的实数根，2所以 = ( - 6) - 4m=0, 17=9.综上，若函数y=mx- 6x+1的图象与x轴只有一个交点，则 m的值为0或9.点评：此题考查

23、了抛物线与 x轴的交点或一次函数与 x轴的交点，是典型的分类讨论思想的 应用.2.已知抛物线y= - x2+4x-3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，顶点为 P.(1)求A B、P三点的坐标；x取何值时,(2)在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出 数值大于零；(3)将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式.xy考点：抛物线与 x轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换.分析：(1)令y=0求得点A B的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P的坐标；(2)首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x轴的交点，写出取何值时，函数值大于零；(3)将此抛物线的图象向下平移一个单位，即对应点的纵坐标少1,从而写出函数解析式.解答：解：(1)令 y = 0,则x2+4x 3= 0,解，得 x= 1 或 x= 3.贝U A (1, 0) , B (3, 0).根据顶点坐标公式，则- b- = 2, 4ac 1b =1,即P (2, 1);2a4a根据图象，得x<1或x>3时，函数值大于零；(3)抛物线的对顶点式是 y=- (x-2) 2+1,则将此抛物线的图象向下平移一 个单位后，得到y=- (x-2) 2+1