全国初中数学竞赛试题及答案

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）第- 1 -页共15页（甲）.如果实数& b,。在数轴上的位置如图所示, 那么代数式病一|。+ +疵彳+g+c|可以化简为（(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -a(D) a（乙）.如果。=一2 +应，那么1 +一的值为2 + 3 +。）.(A) -y/2(B) V2(C) 2(D) 25/2b（甲）.如果正比例函数y = ax （a W 0）与反比例函数y = （b W0 ）的图象有两个交点，其 X中一个交点的坐标为（-3, -2）,那么另一个交点的坐标为（）.(A) (2, 3

2、)(B) (3, -2)(C) (-2, 3)(D) (3, 2)2（乙）.在平面直角坐标系xOy中，满足不等式f+/W2x+2y的整数点坐标（x,y）的个数为（）.(A) 10(B) 9(C) 7(D) 5（甲）.如果a,6为给定的实数，且Ivavb,那么1,4 + 1, 2a+b, a+/?+l这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（(A) 1(B)4（乙）.如图，四边形被力中，AC,(01(D)-4劭是对角线,力比'是等边三角形.Z4Z>C=3O0, 49= 3,劭=5,(A) 3/2(B) 4(D) 4.5（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说

3、：“你若给我2元，我的钱数将是你的"倍”；小玲对小倩说：“你若给我"元，我的钱数将是你的2倍”，其中刀为正整数，则外的可能值的个数是().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44(乙).如果关于x的方程x2-px-q = 0 (p, g是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的 个数是().(A) 5(B) 6(C) 7(D) 85 (甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6.掷两次骰子，设 其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0, 1, 2, 3的概率为0。，亿，p1,心，则 Po, Pi，P2, P3中最大的是().(

4、A) Po(B) Pi (C) p2(D) P35(乙).黑板上写有1,-，一共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 2 3100a, b,然后删去a, b,并在黑板上写上数a+b+ab,则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是().(A) 2012(B) 101(C) 100(D) 99二、填空题(共5小题，每小题6分，共30分)6(甲).按如图的程序进行操作，规定：程序运行输入,从“输入一个值到“结果是否>487? ”为 一次操作.如果操作进行四次才停止，那么X 的取值围是.6 (乙).如果a, b, c是正数，且满足a + b + c二11110. abc- + =,那么

5、+ + - a + b b + c c+a 9b + c c + a a + b口一网一日| > 487出瓯tAD为.7(甲).如图，正方形被的边长为2 JI?, E,产分别是力区比的中点，AF与DE, DB 分别交于点和M则/介的面积是7(乙).如图所示，点A在半径为20的圆0上, 矩形OBAC,设直线BC交圆0于D、E两点， 段CE、BD的长度差是oBFC.以0A为一条对角线作若 OC = 12,/则线IQC8（甲）.如果关于x的方程/+女户士2一3依±= 0的两个实数根分别为占，x,那么的 42x2' _值为.8 （乙）.设为整数，且1WW2O12.若（2- +

6、3）（2+ + 3）能被5整除，则所有的个数为.9（甲）.2位八年级同学和勿位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此 恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得。分；平局各得1分.比赛结束后， 所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则力的值为.9（乙）.如果正数x, y, z可以是一个三角形的三边长，那么称（x, y, Z）是三角形数.若Q，b, c）和（L）均为三角形数，且aWbWc,则色的取值围是.a b cc10 （甲）如图，四边形被力接于。0, 力6是直径，AD= DC.分别延长周，CD, 交点为£ 琳BF1EC,并与a&

7、#39;的延长线 交于点E 若力£ = AO, BC = 6,则CF的 长为.10（乙）.已知是偶数，且1WW1OO.若有唯一的正整数对（a, b）使得优=/+成立，则这样的的个数为.三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 11 （甲）.已知二次函数y = x? + （m + 3） x+/w + 2 ,当一1 vxv3时，恒有y <0；关于x的方程Qx2 + （w + 3）工+m+2 = 0的两个实数根的倒数和小于一二.求加的取值围.1011 （乙）.如图所示，在直角坐标系 xOy中，点A在y轴负半轴上，点 B、C分别在x轴正、负半轴上，4 AO = AB = AC,sin

8、ZABC = -。点D在线段AB上，连结CD交y 轴于点E,且S,COE =。试求图像经过B、C、E三点的二次函数 的解析式。12 （甲）.如图，。的直径为A8,0O过点。，且与。切于点6. C为。上的点，OC与00交于点、D,且OD>CD .点、E在OD上,且DC = DE,应'的延长线与0。1交于点尸，求证：XBOCsDOF .12 （乙）.如图，。的接四边形力版中，AC,（1）。/是/劭的外接圆的切线；初是它的对角线，力6的中点/是力物的心.求证:(2) AB+AD = 2BD.13（甲）.已知整数a 6满足：是素数，且劭是完全平方数.当。之2012时，求a的最小值.13（

9、乙）.给定一个正整数，凸边形中最多有多少个角等于150。？并说明理由.14 （甲）.求所有正整数，使得存在正整数Xp X2，X20l2 ,满足< <王汹2，且122012f + += n.X1 X2&012 14（乙）.将2, 3,，（422）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数& b, c （可以相同），使得M = c,求的最小值.参考解答一、选择题1（甲）.C解：由实数a, b, c在数轴上的位置可知b<a<O<c,且网c,所以 a + +yj(c-a)2 + b+c=-a + (a+b) + (c-a)-(b+c) = a .1 (乙)

10、.B解：Id1 = 141 =14L= =1 + = = l + y/l- 1 = 5/2 .2 + 上 2 +2 + g e+13 +。1 + V22 （甲）.D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一 个交点的坐标为（3, 2） .3 （乙）.B解：由题设 x?+/W2x+2y,得 0W(x-l>+(y-l)2 W2.因为x, y均为整数，所以有(I)? =0, (y-l)2=0；（AT-1）2 =0, 。一炉=1；(1)2=1，0一 lf=0；（1）。，一1）2=1.解得第- 1 -页共15页中位数为于是3 （乙）.B解：如图，以切为边作等

11、边侬连接展:以上共计9对（x, y）.4 (甲).D解：由题设知，Iv4 + lv + b+lv2a + b,所以这四个数据的平均数为1 + (a +1) + (a + b +1) + (2a + b) _3 + 4a + 2b44(a + l) + (a + b+l) 4+4a + 2b24，4 + 4a + 2b 3 + 4a +2b l4-44,/ BCD= / BCA+ / ACD=4 DC兴 / ACD =4 ACE,所以 ABCMAACE, BD = AE.又因为NAPC = 30。，所以NAZ坦= 90。.在中，AE = 5f AO = 3,于是妗 JAE' _ A。&#

12、39; = 4,所以 CD = DE = 4.4 （甲）.D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x, y均为非负整数.由题设可得x+2 =（y-2）, <y + n = 2（x-），消去x得（2夕-7）?=产4,2(2)，-7) + 15_山 152y 7 2y-l因为7旦为正整数，所以2y 7的值分别为1, 3, 5, 15,所以y的值只能为4, 5, 6, 11.从 2y-7而外的值分别为8, 3, 2, 1； x的值分别为14, 7, 6, 7.5 （乙）.C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为一4<0,故方程的根为一正一负.由二次 函数y = V-p

13、xq的图象知，当x = 3时，y >0,所以3? 3p-q> 0 ,即3P+ q<9.由于p, q 都是正整数，所以P = l, 1W,W5；或p = 2, 1W,W2,此时都有 = p?+ 4夕> 0.于是共有7 组（p, G符合题意.6 （甲）.D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别 是0, 1, 2, 3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以98910 m uPo =72, Pl = » P?=记，“3=记，因此最大 3oJoJo5b7 （乙）.C解:因为所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘

14、 积不变.设经过99次操作后黑板上剩下的数为X,则x+l = (1 +1)(- +1)(-+1)+1)解得x 4-1 = 101, x = 100.二、填空题8 (甲).7VxW19解：前四次操作的结果分别为342, 3 (3-2)-2 = 9x-8, 3(9x-8)-2 = 27x-26, 3(27x-26)-2 = 8U-80.由已知得 27x-26W487,18 lx-80 >487.解得 7VxW19.容易验证，当7VA<19时，3x2W487 9x8W487,故x的取值围是 7VxW19.6 (乙).7解：在11a + b b + c c + a=两边乘以 + b + c

15、 = 9得93 + - + - +a+b b+c"- = 10 即 c + a-+ + _ = 7 a+b b+c c+a7 （甲）.8解：连接力 s2DW,所以记正方形ABC。的边长为2a.由题设易知BENAD AN DN 2BF NF BN 12 由此得AN = 2N/，所以4N = A尸.3在Rt力跖中，因为AB = 2a, BF = a,所以于是AF = JAB2 + BF2 = >j5a , AB 2小cos ZBAF =.AF 5由题设可知力应且加人 所以ZAED=ZAFB,ZAME = 180° - ZBAF - ZAED = 180° - Z

16、BAF - ZAFB = 90 .于是2aAM = AE cos NBAF =a , 5MN = AN - AM =-AF - AM = a , 315s/WvDSFDMN _ 4AF='L5,48,又 Swd = . (2。) , (2。) = 2。-,所以 S.nd= yr §乂卬=百。二因为。=小，所以5.加=8.287 （乙）5解：如图，设OE的中点为M,连接则QM_LOE. 因为 08 = 5/20?-12- =16,所以OM =OBOC 16x12 48BC205CM =y/0C2-0M2 = y, BM = y36 2864CE-BD = (EM - CM)(D

17、M - BM) = BM CM = 528 （甲）.3解:根据题意，关于x的方程有由此得3QA=4(k2-3k + ) 20,(A3)W0.93又(43)220,所以(A3>=0,从而A=3.此时方程为f+3x+ =0,解得小=照=422011取 20128 (乙).1610解：(/?2 一 + 3次 + “ + 3)= +3-n2 =4 +5? +9因此5 |(1+9),所以“4 三 l(imd5),因此 = 5k±l,或5k±22012+5 = 4022所以共有2012-402=1610个数9 (甲).8解：设平局数为a ,胜(负)局数为6,由题设知2n +初=

18、130,由此得0W6W43.又 a + b=。" +。” + 2),所以2 + 2/? = (/ +1)(/« + 2).于是0W 6=130(m + 1)(/ + 2) W43,87(777 + 1)(/77 + 2) <130,由此得? = 8,或/ = 9.当， =8 时， =40, = 5；当桃=9 时，6 = 20,。= 35, a > "+>= Q ,不合题设. 22故 ? = 8 .<-<1c3-J59 (乙). 2a + b> c(l)解：依题意得:1+lb所以代入（2）得1<1 + 1<_ + 1,

19、两边乘以a得 a b c c-a c+ - 即仁化简得/一3a+。2 <0,两边除以c?得 "a c , c c-a ,图13（»1<0所以守Y苧另一方面：,所以c综合得乎<2另解：可令3=%，由（1）得b>（l k）c, c代入（2）化简得K-3k+ 1<0,解得综合得匕史2匕史<氏士芭 另一方面：a&b&c,所以 2210 （甲）. 2解:如图，连接BD, OD.由49是。的直径知NS。=/BDA = 90° .依题设N的T=90° ,四边形被笫是。0的接四边形，所以ZBCF =ZBAD,所以 Rt

20、4BCFsRt4BAD ,因此 .CF AD因为必是。的半径，AD = CD,所以勿垂直平分；ODBC,于是卷=糅=2.因此DE = 2CD=2AD, CE = 3AD.RA3由知 DEEC = AEBE.因为 AE =，BE = BA, 22所以 24。34。=空?。4, BA=242AD ,故 2 2AD BC 3&Cr = - nC =.BA2 或 210 （乙）.12解:依题意得 =/一6)由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即 = 4%, 当1WW1OO时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对(a, W,贝U：k = pk = p2,其中p是素数

21、，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n有12个。三、解答题11 (甲).解：因为当一I<xv3时，恒有y<0,所以=（加 + 3）2 4（帆+2）> 0,即（7 + 1> >0,所以 mW1.（3 分）当了二一1时，yWO；当x = 3时，yWO,即（-1）2 + （tn + 3）（-1） + ?+ 2 0 ,且3?+ 3（？ + 3） + ? + 2 W0 , 解得7W W 5 .（8 分）设方程x?+(m+3)x+(m+2) = 0的两个实数根分别为玉，毛，由一元二次方程根与系数的关? + 3 /

22、 9w + 2 <-W系得不+毛=一(?+3), 为毛二帆+2.E、J 119 c X, +X,因为H<, 所以-=x1 x2 10 xYx2解得twv-12,或相一2.因此加一 12 .11 （乙）.解：因为 sinN4?C = d = 3 , 40 = 8,AB 5所以四=10.由勾股定理，得BO =，AB2-AO2 =6.易知ABOgAACO,因此C0 =如=6.于是40,-8）, 8（6,0）, C（-6,0）.设点的坐标为（mfri）.由 Sacoe = S&4de，得 ,ACDB = AAOB '所以 BCn = AOBOt ixl2（-n） = 1x8

23、x6 .解得n = -4.因此为四的中点，点的坐标为（3, 4）.因此09, 40分别为力8 比'的两条中线，点后为A8C的重心，8所以点£的坐标为（0, 耳）.（也可由直线CD交y轴于点E来求得.） 设经过6, C, £三点的二次函数的解析式为y = a（x6）（x+6）. 将点£的坐标代入，解得&=仁.272 Q故经过尻C, £三点的二次函数的解析式为12 （甲）.证明：连接BD,因为06为的直径，所以N0D5 = 9O。.又因为OC=OE,所以口必是等腰三角形.（5 分）设6c与OQ交于点M,连接机则/0M8 = 90。.又因 为O

24、C = OB,所以ZBOC = 2ZDOM = 2ZDBC = 2ZDBF = ZDOf .（10 分）又因为N8OC, NOQ/分别是等腰BOC,等腰OQ尸的顶角，所以XBOCsDOF .（15 分）12 （乙）.证明：（1）如图，根据三角形心的性质和同瓠上圆周角相等 的性质知：ZC/£） = ZMZ）+ZZZM,Z.CDI = ACDB+ZBDI = ZBAC+ AIDA = AIAD+ AIDA.所以 NCID = /CDI, CI = CD.同理，CI = CB .故点C是力Q的外心.连接OA, 0C,因为/是力C的中点，且出=用所以0/_L力C,即OILCI .故。/是胸外

25、接圆的切线.（2）如图，过点/作7FJ_4于点£设施'与故交于点尸.由 BC = C。，知 OCVBD.因为/CBF=/IAE, BC= CI = AI,所以 RfABCF 乌 RfAA/E.所以防=AE.又因为 /是/!助的心，所以 AB+ADBD = 2AE+BDBD = 2BF = BD.故 AB+AD = 28£>.也可由托勒密定理得：AB CDAD BC = AC BD ,再将AC = 25C = 2CD代入即得结论AB+AD=2BDO13 （甲）.解：设a-b =加（加是素数），ab = ;/ （）是自然数）.因为4ab = （ab）:所以（2a4

26、2= /»,（2a研2）（2am2n） = m.（5 分）（1）当之1时，因为2a一升2与2azjt2都是正整数，且2a一研2/?>2a/»2（加为素数），所以 2a砧2n= /, 2am2n= 1.解得（m + l）2nv -1a=, n =.44于是.（777-I）2b = am=.4（10分）又 a22012,即（m+ 1匚22012.4又因为必是素数，解得勿289.此时，&2（89：1） =2025.4当。= 2025 时，加=89, 6 = 1936, “ = 1980.此时，a的最小值为2025.（2）当 =0时，因为。之2012,所以b = 0,

27、从而得a的最小值为2017 （素数）。综上所述，所求的a的最小值为2017。（15分）13 （乙）.解:设凸n边形最多有k个角等于150° ,则每个150°角的外角 都等于30° ,而凸n边形的n个外角和为360。，所以出 = 12,只有当 =12时， 30k才有最大值12. （5分）下面我们讨论时的情况：（1）当>12时，显然，k的值是11；（2）当 =3,4,5,6,7 时，k 的值分别为 1, 2, 3, 4, 5；（3）当- = 8,9,10,11 时,k 的值分别为 7, 8, 9, 10. （10分）综上所述，当时，凸n边形最多有一2个角等于15