对数和对数的运算教案

1、2.2.1对数与对数运算（三课时） 教学目标：1.理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质.2 .理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程.3 .熟练运用对数的性质和对数运算法则解题.4 .对数的初步应用.教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式教卒过祀国计第一课时师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,求20年后国民生产总值是原来的多少倍？生：设原来国民生产总值为1,则20年后国民生产总值 y= （1+7.2%） 20=1.07220 ,所以20年后国民生产总值是原来的1.07

2、2 20倍.师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求哥值的问题.也 就是上面学习的指数问题.师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1,需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程得：1.072 x=4.我们把这个应用问题转化为知道底数和哥值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题， 即本节的对数问题.师：（板书）一般地，如果 a （a>0, aw1）的x次哥等于N,就是ax = N ,那么数x 就叫做以a为底N的对数（logarithm）,记作x=log aN,其中a叫做对数

3、的 底数，N叫做真数， 式子log aN叫做对数式.对数这个定义的认识及相关例子：（1）对数式10g aN实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法.（2）对数是一种新的运算.是知道底和哥值求指数的运算.实际上ax = N这个式子涉及到了三个量a, x, N,由方程的观点可得“知二求一”.知道a, x可求N,即前面学过的指数运算；知道 x （为自然数时）、N可求a,即初中学过的开 根号运算，记作 JN' =a ；知道a,N可以求x,即今天要学习的对数运算，记作10g aN=x.因此，对数是一种新的运算，一种知道底和哥值求指数的运算.而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为

4、logaN,读作：以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法.师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数.师：（板书）对数log aNa>0且aw 1）在底数a=10时，叫做常用对数（commonlogarithm）, 简记lgN ;底数a=e时，叫做自然对数（natural logarithm）,记作lnN ,其中e是个无理数， 即 e 2.718 28 .师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆 对数这个概念，请同学们填写下列表格.式子名称？ax nN?指数式 对数式ax=Nlog aN=x练习1?把下列指数式写成对数形式：练习2

5、?把下列对数形式写成指数形式:练习3 ?求下列各式的值：（两名学生板演练习1,2题（过程略），一生板演练习三.）因为22=4,所以以2为底4的对数等于2.因为53=125,所以以5为底125的对数等于3.（注意纠正学生的错误读法和写法.）例题（教材第73页例题2）师：由定义，我们还应注意到对数式 log aN=b中字母的取值范围是什么？生：a>0且 awl; xC R； NC R.师：NC R?（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零.）生：由于在实数范围内，正数的任何次哥都是正数，因而 ax=N中N总是正数.师：要特别强调的是：零和负数没有对数.师：定义中为什么规定

6、a>0, aw 1?（根据本班情况决定是否设置此问.）生：因为若a<0,则N取某些值时，x可能不存在，如 x=log（-2）8不存在；若a=0,则 当N不为0时，x不存在，如log 02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的， 即10g 00有无数个值；若 a=1, N不为1时，x不存在，如log i3不存在，N为1时，x可以 为任何数，是不唯一的，即 log 11有无数多个值.因此，我们规定：a>0, aw1.（此回答能培养学生分类讨论的数学思想.这个问题从ax=N出发回答较为简单.）101g105510g51125练习4?计算下列对数：lg10000, lg0.

7、01 , 210g24 , 310g3 27 , 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想.生：210g2 4 =4.这是因为 log 24=2,而 22=4.生：310g3 27 =27.这是因为 10g 327=3,而 33=27.生：101g105 =105.生：我猜想 a10gaN = N，所以 510g51125=1125.师：非常好.这就是我们下面要学习的对数恒等式.师：（板书）a10gaN=N （a>0, aw1, N>0）.（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明.）（学生讨论，并口答.）生：（板书）证明：设指数等式 ab=N则

8、相应的对数等式为 1ogaN=h所以ab=a10gaN = N师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义.师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明.而对数定义是建立在指数基 础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明.师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件.生：a>0, aw1, N>0.师：接下来观察式子结构特点并加以记忆.（给学生一分钟时间.）师：（板书）210g 28= ? 210g42=?生:师：210g28=8; 210g42

9、=2.第2题对吗？错在哪儿？)10ga N a a = N .师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？ （经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式.生：当哥的底数和对数的底数相同时，才可以用公式（师用红笔在两处 a上重重地描写.）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？生：化简！师：请打开书74页，做练习4.（生口答.略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性 质.师：负数和零有没有对数？并说明理由.生：负数和零没有对数.因为定义中规定a>0,所以不论x是什么数，都有 ax>0,这就是说，不论x是什么数，N=ax永远是正数.因此，由等式

10、x=log aN可以看到，负数和零没 有对数.师：非常好.由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的 知识来研究对数.师：（板书）性质1:负数和零没有对数.师：1的对数是多少？生：因为a0=1 （a>0, awl）,所以根据对数定义可得 1的对数是零.师：（板书）1的对数是零.师；底数的对数等于多少？生：因为a1=a,所以根据对数的定义可得底数的对数等于1.师：（板书）底数的对数等于1.师：给一分钟时间，请牢记这三条性质.练习：课本第74页练习1、2、3、4题。作业：课本第86页习题2.2A组题第1、2题。第二课时师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下

11、.1m n m nm、n mn ,生：a a =a (m,n e Z) ； (a ) =a (m,ne Z) ； (ab)n = an bn (n e Z)，%二产.师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则.（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即log a （MN =log aM + lOgaN.（请两个同学读法则（1）,并给时间让学生讨论证明.）师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们 只学了定义和性质， 显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明. 而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先

12、要把对数等式转化为指数等式.师：（板书）设logaM=p logaN=q由对数的定义可以写成M=a, N=aq.所以M- N=ap - aq=ap+q,所以log a （ M. N） =p+q=log aM+logaN.即10g a （ MN =log aM + logaN.师：这个法则的适用条件是什么？生：每个对数都有意义，即 M>0, N> 0; a>0且aw1.师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆.生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算.师：非常好.例如，（板书）log 2 （32X64） =?生：10g 2 （32X 64） =log 2

13、32+log 264=5+6=11.师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用一一降级运算.它使计算简化.师：（板书）log 62+log 63=?生：10g 62+log 63=log 6 （2X 3） =1.师：正确.由此例我们又得到什么启示？生：这是法则从右往左的使用.是升级运算.师：对.对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用.真正领会法则的作用！师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数.师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习.（给学生三分钟讨论时间.）生：（板书）设log aM=p log aN=q.根据对数的定义可以写成M=a

14、, N=aq.所以师：非常好.他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的.大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论.那么，我们是否还有其它证明方法？生：（板书）师：非常漂亮.他是运用转化归结的思想， 借助于刚刚证明的法则 （1）去证明法则（2） .他 的证法要比书上的更简单.这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用.事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到， 而且在解题中的应用更加广泛.师：法则（2）的适用条件是什么？生：M>0, N>0; a>0 且 awl.师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆.

15、生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一 个升级运算.师：（板书）lg20-lg2= ?师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法.师：（板书）例1 ?计算：（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由. ）：（1） log 93+log 927=log 93 X 27=log 981=2;（3） 10g 2 （4+4） =log 24+log 24=4;生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则.（板书）生：第（3）题错！法则（1）的内容是：生：第（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时

16、要特别注意什么？生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）;其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）.师：（板书）（3）正数的哥的对数等于哥的底数的对数乘以备指数.即log a （N） n = n log aN.师：请同学们自己证明（给几分钟时间）师：法则（3）的适用条件是什么？生：a>0, aw1; N>0.师：观察式子结构特点并加以记忆.生：从左往右仍然是降级运算.师：例如，（板书）10g 332=log 525=5log 52.练习计算（10g 232） 3.（找一好一差两名学生板书.）错解：（log 232）

17、 3=log 2 （25） 3=log 2215=15.正确解：（log 232） 3= （log 225） 3= （ 5log 22） 3=53=125.（师再次提醒学生注意要准确记忆公式.）师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数.即师：法则（4）的适用条件是什么？生：a>0, aw1; N>0.师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆.即10g aM = a log aN （ a C R）.（师板书）例2 ?用log ax, log ay, log az表示下列各式：（0 1。&=logixy-log1z =hg4x +lo&y0号羽解：一（注意（3）的第二步不要丢掉小括号.例3 ?计算： 解：（生板书）(1) log 2 (47X 25) =log 247+log 225= 7log 24+5log 22=7 X 2+5 X 1=19.师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容.小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算(从定义、记法、性质、法则等方 面来研究)；如何学习公式或法则(从公