复变函数习题答案第2章习题详解

1、第二章习题详解1.利用导数定义推出:1 ) (z") =z'i ( 为正整数)解：(z)=limRV*T0= lim-*T0z" +1&+；(一,"-2(4)2 + + (4)"解:二回二 扇)="72 .下列函数何处可导何处解析1)/&)=-»解：设 f(z)=u + iv ,则=，v =-y=2x , = 0 , = 0 ,史* = -1都是连续函数。dxdydxdy只有2x=-l,即x =时才满足柯西一黎曼方程。2./«)=/_"在直线工=一_!.上可导，在复平面内处处不解析。22)

2、f(z)=2x3+i3y5解：殳/(?)=+ »,则 =2/，v = 3y3E，舞。，”新“都是连续函数。只有6x? = 9y 2,即、/'2x 土 45y = 0时才满足柯西黎曼方程。./6)=21+13/在直线血工±6)，= 0上可导，在复平面内处处不解析。3) f(z)=xy2 + ix2 y解：设/'(z)= + iy,贝i| = xy2, v = x2y也=/ 把=2盯，包=2盯，生=/都是连续函数。dv J 坊dxdy只有)/ = /且2盯=-2xy ,即x = y = 0时才满足柯西一黎曼方程。./(Z)=x2-iy在点(0,0)处可导，在复平

3、面内处处不解析。4) f(z) = sin xchy + i cos xshy角昆：i殳/(z) = w +1v , 贝U u = sin xchy , v = cosxshy翁 cosxchy, ；sinx的，,=sin xshy , = cos xchy 都是连续函数。完全满足柯西一黎曼方程。在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。3.指出下列函数/)的解析性区域，并求出其导数。1) (l)s解：r(z)=5(z-l),，/在复平面内处处解析。2) z3+i2z解：/(z)=3z2+2Z, /«)在复平面内处处解析。3) -Z2-1解：/ &)=_/产 z¥&#

4、177;l, /&)在复平面内1TJaz + b ad - be解：f (z)4)铛(c, 中至少有一个不为0)cz+d(cz + d)2 (cz+y当田，则当z 7时，z)=磊，处在复平面内除点z 1外处处解析。当C=0时，则d，0, /(z)=y, /(z)在复平面内处处解析。4) 求下列函数的奇点：解：令 z(/+l)=o,解得 z = 0, z =±i o 故 /«)= / ： 1 有0、i、- i三个奇点。2)(Z +靛 2+1)解：令(z + I)%? + 1)= 0 ,解得z=-1, z=±i o 故/,(z)=t 飞-j、 为一1、i、7(

5、z + l)2(z2 + l)三个奇点。5 .复变函数的可导性与解析性有什么不同判断函数的解析性有哪些方法解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区 域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导 性判断解析性；二是用定理：函数/(z) = (x»)+iy(x,y)在其定义域D内解析 <=> “(*，3)和口(*,3)在0内点z = x + iy可微，并且满足柯西一黎曼方程。6 .判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。D如果/(Z)在Z。连续，那末/6)存在；解：假命题。例如，/(z)=x + 2yi在复平

6、面内任意一点z。都连续，但不满足柯西 一黎曼方程，故f(z)不存在。2)如果/(Z)存在，那末/"(Z)在Z。解析；解：假命题。例如，/(z)= xy2 +ix2y , /(z)在点N。=。可导，但/(N)= x + 2yi在小点 不解析。3)如果Zo是/(Z)的奇点，那末/(Z)在Zo不可导；解：假命题。例如，/(z)=/+y3j在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但 /(z)在x 土 y = 0上的点均可导。4)如果人是f(z)和g(z)的一个奇点，那末Z。也是/(Z)+ g(z)和一(%的奇点;解：假命题。例如，f(z) = 3与g(z)=K在复平面内处处不解析，即复平面内任

7、意 一点2。都是/6)与g(z)的奇点。但/(Z)+g(Z)=Z + (-Z)=O在复平面内处处解析，即 /(z)+ g(z)在复平面内没有奇点。5)如果和y(x,y)可导(指偏导数存在)，那末/(z)= +方亦可导；解：假命题。例如，设/(z)=x + 2yi,则(x,y)=x, y(z)=2y均可导，但不满足 柯西一黎曼方程，因此/(z)不可导。6)设/6)= + I在区域O内是解析的。如果是实常数，那末.(z)在整个。内是 常数；如果,是实常数，那末/(z)在O内也是常数。解：真命题。下面证明：因为/6)=“ +方在区域。内解析，即满足柯西一黎曼方程：,dx dydu _ dv豆=一瓦如

8、果“是实常数，则小：。，| = 0,即了为实常数，故/«)在。内为常数。如果了是实常数，则四=?=0 dx dy=0,即为实常数，故/(z)在。内 dy dx为常数。7.如果f(z)= +汴是z的解析函数，证明:，正明：: /(z) = M + IV/z)”在点7处解析，假福dudvdydx8.设叫? +内2,+/孙2)为解析函数，试确定/、/、的值。解：设(x, j) = /wy " +nx2y , 1x,y)= x5 +lxy2 ,则仇，c du 22%. 2 12ap ,=Zitxy ,=3my +nx ,=3x +ly . 一 = 2lxydxdydxdy.0 =2

9、.2盯=2/盯= =/dx dydll dV_222 f 21 = 3my ' +nx" = 一(3x + (y")=. = / = -3, jw = 1, my3 +/ix2j + r(x3 +/xy2)为解析函数9 .证明柯西黎曼方程的极坐标形式是：证明：直角坐标与极坐标的转换公式为.COSS,于是由复合函数求导得: y =r sin 19du du dx du dy du n du . n=1 cosSdsin 8dr dx dr dy dr dx dydudu dxdu dydu /.八、du /八=+=(一 rsin8)+(r cos 19)619dx a

10、sdy dsdxv令dv dv dx dv dy dv 八 加八=+= cos S + sin 19dr dx dr dy dr dx dydv dv dx dv dy dv(. dv 八=+= (- 7* s hi 191 + r cos 198s dxd3 dy Q3 dxK 7 dydu dv dudv=,=dx dy dydxdv dv c 加 c du n 8 - c =cos<9 + sin 19 =cos 19 dsin <9dr dx dydy dxdvdv/. n dv(du. n dii8i9dxdy( dx) dv du 八 du /.八 du 1 dv du

11、 , du 八 dur)=r cosi9h 1r sint9)=sin S + cosS = f dr dy aP ) as rd3 dy dx dr即：冬史，包.史dr dS 6r r d310 .证明：如果函数/G)=" + iy在区域。内解析，并满足下列条件之一，那末/6) 是常数。1) /(Z)恒取实值；证明：/(z)恒取实值，即v(x, J)= 0 O/6) = +方是解析函数，所以 =0,也=一史=0 “dx dy dy dx=筝=槊=0即(x,y)为常数，故/(z)是常数。2)闹在。内解析；证明：因为/&) = +»在区域。内解析，所以如=如，dx d

12、y dy dx又为闹=“一而在区域0内解析，所以如=空»,如=_空» dx dy dy dx,包=也=更=2=0,故/是常数。dx dy dx dy')3) |/(4在。内是一个常数；V +2 设o O - - 加一 女av¥ 2V2V + + 加一打加¥ 2m2mo o = = av-ar一砂 V V + + <§获切¥加-加加一野du _ dvdx dxdu _ du _dv dvdx dy dx dy即，均为常数，故/(z)是常o o = = dp-avav¥ 四av<§¥ V

13、V讥-ax仇一纱数。4) arg/(z)在。内是一个常数；证明：殳 S = arg /(Z),则一万 4 S 4 %。如果S = ±2,则 =0,从而如=也=0,又/(z)在。内解析， 2dx dydu dii dv dv= =0 ,dx dydx dy所以y为常数，故/(z)是常数。Q)如果一生§4色，则§=加?电上，于是有， 22adu dv =Udx dx即，了均为常数，故/(z)是常du _ du _dv dvdx dy dx dy数。也口 果色 < 5 < %,则 S = n + arctg ；2ii如果-S4-三，则S = TT + a，c

14、fg上，与Q)的讨论一样，可得到/(z)是 2u常数。5) « +加=c ,其中“，力与c为不全为零的实常数。证明：因为“” + y=c,且”,与c为不全为零，所以a和不能同时为零。假设30,则有“(c-加)，于是包=史，史之 adx a dx dy a dy/«)=“ +，>在区域。内解析，型=艺,也=-艺,=如=也=2=史=0,')dx dy dy dx dx dy dx dy所以y为常数，故/(z)是常数。11 .下列关系是否正确2) cosz = cosz12 .找出下列方程的全部解:1) siiiz = 0解：vsinz = 0,el： e>:

15、 = 0=>e2，z = 1,即 z= ( =0,±l,±2,±3)2) cosz = 0解：/ cosz = 0 ,e'z +e'z = 0=e2l： = -1,z = + ;i/r (/i = 0,±l,±2.±3 )3) l + ez =0解：= 0 , /. e: = 1,即 z =(2 + l)/n (ii = 0,±l,±2,±3- - -)4) siiiz 4-cosz = 0解：vsiiiz + cosz = 0 ,1。" - 0-" )+e-，)

16、= 0= e2，z = i ,2i2即 Z = W + " ( = o.±l.±2.±3 -)13.证明： 1) cosg +z2)=cosz1 cosz2 -sinZj sinz2, sin(zj +z2) = sinz, cosz2 +cos© sinz2-巾(e J*)证明：cosz, cosz2 sinz, sinz2 =)(e,：2 +e，Zi )+'(:=一:(e,z _ 2 +)+ ；(e'z + 2 +) = 13) sin2z = 2siiizcosz证明： v sin(zj +z2)= siiiz1 cosz

17、2 +cqsZ sinz2令2 = Zi =22 ,贝U sin2z = 2sinzcosz4)3名 l-tg Z证明：.cos(zi +z2) = coszj cosz2 -sinZj sinz2 , sin(© +句)=sinz】 cosz? + cos© sinz2令乙=Zi = © , 贝4 cos2z = cos2 z sin2 z 9 siii2z = 2sinzcoszcos(z + ) = cos z cos sin z sin zr = -cosz 6) |cosz|2 =cos2 x + sh2y , 卜inz=sin2 x + sh2y证明：

18、|cosz= coszcosz = coszcosz = (e，+ e+e，：' )j = (c* +e，'+c，z令 z = x + (y ,贝 i z = x 一 (y同理可证：卜in=sin2 xsh2y14 .说明：1)当yf8时，卜in(x + ij)|和卜os(x + iy)趋于无穷大；解：,sin(x +8)| = Jsin2 x + sh2y , 而 lim sh1 y = +oo,lim|sin(x+ (y) = +8同理：A lim|cos(x + iy)| = +8JT82)当£为复数时,卜inf| M 1和|cosf| 4 1不成立。解：由于f

19、 为复数，可设f = iy(yHO),则 |cosf| = |cosiy| =+ sh2y > 1->+00)|sin/| = |siniy| = shy =y -e-y故当f为复数时,卜inf| 4 1和|cosf| M 1不成立o15 .求Lw(-i), Lw(-3 + 4i)和它们的主值。n = 0, 土 L±2, =0.±1,±2,解：£/(-/) = ln|-1| + iArg(-i)= In 1 + /arg(- i)+ In/r = z- y+ 2/FLn (3 + 4/)= ln|-3 + 4z| + iArgJ 3 + 4i

20、) = In 5 + i(/r - arctg。+ 2 %主值为 ln(- 3 + 4Z)= In 5 + /1 /r -arctg 16 .证明对数的下列性质:1) £/7。1句)=+LtlZ2L/i(Z1Z2)=In|z1zJ + iArg(z1zJ=ln|zJ|zJ + /Arg(z1zJ=ln|z1| + ln|z2| + iArg(z1)+iArg(z2)Liiz +力应2 = h1Zi + iArgz +lii z2 +iArgz2所以：L/?6遥2)=山区1 +Ltiz22) Ln = Lnzx - Lnz21正明：Ln = In红4)£1=ln|z,|-ln

21、|z2| + iArg(Zt)-iArg(z2) = Lnz, -Lnz217.说明下列等式是否正确：1) Lnz2 = 2Lnz解：设z=re'sLnz2 = Lii(re' =七(/2§)= 1n/+7(25 + 2 万)=21nr+ i(2S + 2n") n = 0,±l,±2,- 2Lnz = 2£/7&，§)= 21nr + /2(i9 + 2m) = 21n r+ r(2i9 + 4/n/r)nt = 0,±l,±2,所以L/和2Ln的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。2)

22、Lny/z = Lnz2Ln4z = L/卜= In >fr + i(g + 2n nLnz = L/i(re1,9) = In r + z (>9 + 2m n 2222所以 LwG和Lnz的实部相同，2£ 一18.求 e”, e , 3,和(1 + i)'的值。解： J'亍=，e=e(cos生一isin 生=一跄122)芋疗 If 仁一叫也e 4 =ee 4 =e" cosHsin=<I 44 J 2=glnr + 2/r)n = O.±l.±2, ) = ； In r + in ") m = 0,

23、7;l,±2,但虚部不尽相同，故L/ = 2Lz不正确。解：设Z=i3,=/(32汨=e2,” 1n3 =cos(ln3)+isin(ln3)(1 + Q =6必(卬)=e'2 七叫=e 七+2 叫coG 间+isin(ln I m = 0,±l,±2, ' - -19 .证明(z")=W“t,其中为实数。证明：如果4是整数，则Qa) =(e"区)=/人(,也。 Z如果a 不是整数，则 Q") = (paln：) = (aInz) = Zau =Z20 .证明：1) ch2z-sh2z = 1 ；3) sh(zl +Z

24、2)= shzxchz2 +c/iZjS/iz2 , ch(zi + Z2) = chzichz2 +shzishz2 ochzxchz2 + shZiShZ = g(e' +e")；&三 +b'_ef )；&口 一厂功)eZ1 -eZxeZl +eZleZ2)= -(eZleZ2 + eZt eZ2 +eZ1e2 +eZle2)+-(eZl4V)4V+e-z*2 +/I-Z2 +<?-2,-Z2)+(?:,+Z2 _ef+S+ez,-Zi)=ch(zl +Z2)21.解下列方程:1) shz = 0 ；W : shz = 0ez -e-z =0e2' =0 => z = = 0,±1,±2,2) chz = 0 ；解：chz = 0/. ez +e: = 0即小n n = 0,±l,±2,3) shz = i。解：*/ shzz-c-z =2/即 e2z 2iez 1 = 0=> 卜