测量数据的随机误差估计

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑测量数据的随机误差估计 1测量真值估量 在实际工程测量中，测量次数n不行能无穷大，而测量其值X0通常也不行能已知。依据对已消退系统误差的有限次等精度测量数据样本X1、X2、，Xi、，Xn，求其算术平均值，即 （1） 是被测参量真值X0（或数学期望）的最佳估量值，也是实际测量中比较简单得到的真值近似值。 2测量值的均方根误差估量 对已消退系统误差的一组n个（有限次）等精度测量数据X1、X2、，Xi、，Xn，采纳其算术平均值近似代替测量真值X0后，总会有偏差，偏差的大小，目前常使用贝塞尔（Besse1）公式来计算 （2） 式中，Xi为第i次测量值；n为测量次数，

2、这里为一有限值；为全部n次测量值的算术平均值，简称测量均值；Vi为第i次测量的残差；Vi为标准偏差的估量值，亦称试验标准偏差。 3算术平均值的标准差 严格地讲，贝塞尔公式只有当n时，=、=X0=才成立。 可以证明（具体证明参阅概率论或误差理论中的相关部分）算术平均值的标准差为 （3） 在实际工作中，测量次数n只能是一个有限值，为了不产生误会，建议用算术平均值的标准差和方差的估量值（）与（）来代替式（的（）与2（）。 以上分析表明，算术平均值的方差仅为单次测量值Xi方差的n，也就是说，算术平均值x的离散度比测量数据Xi的离散度要小。所以，在有限次等精度重复测量中，用算术平均值估量被测量值要比用测

3、量数据序列中任何一个都更为合理和牢靠。 式（3）还表明，在n较小时，增加测量次数n，可明显减小测量结果的标准偏差，提高测量的精密度。但随着n的增大，减小的程度愈来愈小；当n大到肯定数值时（）就几乎不变了。另外，增加测量次数凡不仅数据采集和数据处理的工作量快速增加，而且因测量时间不断增大而使“等精度”的测量条件无法保持，由此产生新的误差。所以，在实际测量中，对一般被测参量，测量次数n 一般取424次。若要进一步提高测量精密度，通常需要从选择精度等级更高的测量仪器，采纳更为科学的测量方案、改善外部测量环境等方面入手。 4（正态分布时）测量结果的置信度 由上述可知，可用测量值Xi的算术平均值作为数学

4、期望的估量值，即真值X0的近似值。的分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复性标准差（标准偏差的估量值）来表征，但仅知道这些还是不够的，还需要知道真值X0落在某一数值区间的“确定程度”，即估量真值凰能以多大的概率落在某一数值区间。 以上就是数理统计学中数值区间估量问题。该数值区间称为置信区间，其界限称为置信限。该置信区间包含真值的概率称为置信概率，也可称为置信水平。这里置信限和置信概率综合体现测量结果的牢靠程度，称为测量结果的置信度。明显，对同一测量结果而言，置信限愈大，置信概率就愈大；反之亦然。 对于正态分布，由于测量值在某一区间消失的概率与标准差的大小亲密相关，故一般把测量值Xi与真值X0（或数学期望）偏差戈的置信区间取为的若干倍，即 x=±k（4） 式中，k为置信系数（或称置信因子），可被看作是描述在某一个置信概率状况下，标准偏差与误差限之间的一个系数。它的大小不但与概率有关，而且与概率分布有关。 对于正态分布，测量误差x落在某区间的概率表达式 （5） 为表示便利，这里令=x-则有 （6） 置信系数k值确定之后，则置信概率便可确定。由式（6），当k分别选取1、2、3时，即测量误差x分别落入正态分布置信区间±