导数和微分单元总结

1、X师点拨16 / 13学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测【知识结构】一-T微分微可T,两个函数四则,运算的微分求简单函I 一一数的微分I微分的应用i【内容提要】1 .本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用.2 .导数的概念.y ,函数y=f(x)的导数f (x),就是当 x-0时，函数的增量 y与自变量 x的比 y的 二x极限，即f'(x)f(x =x) - f (x)二 x函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(xo, f (%)处的切线的斜率.3 .函数的微分函数y=f(x)的微分，即dy=f ' (x)

2、dx .微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即f'(x)=dy.dx函数值的增量 y也可以用y的微分近似表示，即 y=dy或Ayf' (x)dx。4 .求导数的方法(1)常用的导数公式c' =0(c为常数)；(xm)' = mx"(mWQ);(sinx) ' =cosx;(cosx) ' =sinx ;(ex) = ex,(ax)'=axlna ；、，1(ln x)= ， x(log：)' = 1i Oageo x(2)两个函数四则运算的导数:(u ± v) &

3、#39; =u' 土 v，；(uv) ' =u' v+uv'u'v -uv2v(v ¥ 0)。复合函数的导数设 y=f(u) , u=(x),则 y'x = y'u u'x= f'(u)卬'(x).5 .导数的应用切线的斜率根据导数的几何意义，函数f(x)在点x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。(2)函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果 f/ (x)>0 ,则函数y=f(x)在这个区间上为增

4、函数；如果* (x)<0 ,则函数y=f(x)在这个区间上为减函数.对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。(3)函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；1。 .如果在x0附近的左侧f ' (x)>0，右侧f' (x)<0 ,那么，f(x0)是极大值；2 .如果在x0附近的左侧f ' (x)<0，右侧f' (x)>0 ,那么，f(x0)是极小值.可导函数f(x)在极值点处的导数是 0；导数为0的点不一定是极值点. 例如，对于函数f (x) = x3 , x=0点处的导数是0,但它不是极值点.(4

5、)函数的最值闭区间a, b上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：1° .求函数f(x)在(a, b)内的极值；2 .将f(x)的各极值与f(a) , f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值。【难题巧解点拨】例1已知函数f(x) = alg(20)(a>0且awl)在定义域0, 1上是减函数，求a的取值范围。分析 因为f(x)在0, 1上是减函数，所以在0, 1上必有f' (x)<0。由不等式f' (x)<0 求出a的取值范围。解 f'(x) =a1g，lga <0 ,2xa由 a1g(2x) >0 得

6、1g a : 0lg a 022(1) 或 J 2(2)x- 0x- ： 0aa0WxW1, .不等式(1)无解2因而知a>1,又由x < a1<a<2o点拨本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法。例2若不等式x4-4x3>2-a对任何实数x都成立，求实数a的取值范围。分析 要使原不等式又一切实数 xCR均成立，只要x4 -4x3的最小值大于2 a。问题归结为求x4 -4x3在区间(00,+OO)上的最小值。解 令 f(x) =x4 4x3,则 f'(x) = 4x3 -12x2 =4x2(x-3)o

7、令 f' (x)=0 ,得 x=0 或 x=3。当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下:(一 SC.O)0(0,3)3(3 .十 8)00十/( JC)V无极值0极小值一27由表可知f (x) = x4 4x3的最小值为一27。从而27>2 a,故 a>29。点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>f(x)的最大值；a<f(x)恒成立，则a<f(x)的最小值。因此将问题归结为求函数的最大值或最小值。【课本习题解答】复习参考题三(P145)1.(1) y' = 3x2 -3；(2)11y'

8、2 “ x 2x x(3)(6x -2)(x3 -1) - 3x2 (3x2 -2x)(x3 -1)222(4) y' = 4x(x +3x-4) +(2x 1)(2x+3)；(5) y'=3(x-2)2(3x 1)2 6(x-2)3(3x 1)= 3(x-2)2(3x+1)(5x-3)；2(x 4)2 c “ 八 (x 4)(5x 8)(6) y'=、_)= +2vx+1(x + 4)=-，-。2 x 12x122. (1) y' = 2tanx+2xsec x；(2)y' =sin(x -1) -(x - 1)cos(x -1)sin2 (x T)(

9、3) y'= 2e2x cosx-e2x sin x ；(4) y'ax(x3 1) In a -3x2(x31)2/u、,x -2 x2 4 -4x(2 x2 44)(5)y2- x2 4 x2 . x2 4x2(2ex24), x2 4(6)1 cosx y'=x sin x3. (1)提示：由y' =0,得所求点为1 13、3 3 1(2)提示：由y' =1,得所求点为.6, 44.提示：由V, =。，得切点的横坐标为2P .4P - P -x = 一一 ；又由 y=0,得=0。242325.提不：由 y = x 1,得 y'x = 2x；

10、由 y=1x ,得 y'x = 3x 。2 一 一.2(1)由 2x0 = -3x0，得 x0 = 0 或 x0 = - ；3(2)由(2人)(4x；) = 1,得 xi =。3 66 .提示：割线斜率为 5,由y' =5,得所求点为(2, 5)。7 . (1) dy = 4x(x2 -2)dx；(2) dy=2sinx cosxdx ;产2x '、(3) dy= 2xlnxln2 +Idx； <x J，.、.1,(4) dy =dxosin xcosx138. .质点的速度为713。169. (1)由 S=0,得 t1 =0, t2 =8;(2)由 S'

11、 =0,得 t1 =0, t2 =4, t3 =8。10. (1)当xC R时，y是减函数。xC(1, 0)时，y 是增函数；xC(0, 2)时,(2)当xC( 8, 1)时，y是减函数；当y是减函数；当xC(2, +8)时，y是增函数。(3)当 xC (-00, 一一 ，1,1)时，y是增函数；当X -1,-时，y是减函数；当x3：-i1 二3,时，y是增函数。11 -(1)y极大值= f(1)=8, y极小值=f(3) = 26。(2)y极大值=f(Y) =92, y极小值=f=一16。(3)y极大值=f(-*2) =-442 , yg小值=f(%；2)=4V2。(4)y®小值=

12、f (0) = 0。12. (1) y的最大值是8,最小值是一 1;(2) y的最大值是2,最小值是10;13.提示：如图 ABCD是球内接圆柱的轴截面，BD=2R,设圆柱的高为 x,则圆柱底1222"：22面半径 r=_ J4R x ，圆柱的体积 V(x)=nrx= (4R x )x(0 < x < 2R)。令 24二一 222'.3_ _一，V'(x) = (4R2 3x2) =0,解得 x = R (负值舍去)。43(1) (第13题)一. 2. 3 一，因为V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为2 R时，球内接圆柱的体积最大。3(2)提示：如图，

13、ABC是球内接圆锥的轴截面，设圆锥的高AD为x,则圆锥底面半彳仝 r = Jx(2R -x),圆锥的体积 V(x) =1nr2x =x2(2R x)(0 < x <2R)。332、令 v(x) = (4Rx -3x ),解得34x = 3R (负值舍去)°一， 一, 一 一，、，4 一，因为V(x)只有一个极值，所以当圆锥的高为-R时，球内接圆锥的体积最大。3 ，一，一，114.提示：设靠墙的边长为x,则垂直于墙的边 a = -(40 -x),21 、矩形的面积 S(x) =1x(40x)(0 <x < 40)。2令S' (x)=20 x=0 ,解得x

14、=20o因为S(x)只有一个极值，所以当靠墙的边长为 20m时, 围成的场地面积最大。2x15.提不：设圆半径为 x,如果矩形高记作 h,那么窗户面积s=+2hx,窗户周2.2 s ix二 xs长 l(x) =nx +2x +2h =x+2x + 2-= - + 2x+±。4x2x人二 s2s(负值舍去)。因为l(x)只有一个极值,令 l'(x) = +2 - =0 ,解得 x = J2 x2，二 42x因此x =. 为最小值点，相应地,x 42h 2s - x 2s4 - 2-2-x 4x 4x 44冗=1 ,所以4圆半径与矩形高的比为 1时，窗户周长最小。B组321. (

15、1) y' = 12sin 3xcos 4xcos7x；x x(2) y'=e2 e 2 ；(3) y' = 2a2xna；(4)y'二In x2-，(x 1)(5)y'=x2 - 2ax(x2 - 2ax)(2)当 xC (-(3)当 xC (0,3.(1) y极大值11 二6 一一 12,y极小值f12招皿75贼小鱼6122 y' = Jx2 +a2。2. (1)当 xC ( 8, 0)与 xC(0, +oo)时，y 是减函数。+ OO)时，y是减函数。8, 3), xC (3, 3)与 xC (3, +00)时，y是增函数。'7&q

16、uot;7nd冗y极小值=f .| = _1， y极大值=f 尸一< 4 J 4< 4>44. (1)提示：y=f(x)的定义域为(00,+oo)。-4x 2 -4 -令 y = -22- = 0，解得 x= - 1, 1。(x2 1)2而 f(-1)=-2, f(1)=2 ,且 lim f(x) =0, xJ：所以y的最大值为2,最小值为一2。(2)提示：y=f(x)的定义域为1, 1。1 -2x 2令y = j = 0 ,解得x = ±。21 -x2端点的函数值为f( -1)=0, f(1)=0,所以y的最大值是-,最小值是-1。25.2=° ,解得

17、x=1 土 22 。,-x2 2x1(1)提示：令y =-2一禧一(x 1)而 f (1 _ J2) = r" -1 , f (1 + <2) 23 端点的函数值f(0)= -1, f (4)=,17所以y的最大值是 三2二1,最小值是21(2)提不：令丫' = 1_不=0,解得x=1 (负值舍去)X而 f(1)=2。端点的函数值为 f(0.01)=100.01 , f(100)=100.01 ,所以y的最大值是100.01,最小值是2。(3)提示：当xC (0, 4)时,1 八y' = 1 +下 >0,xy=f(x)是增函数。端点的函数值为f(0)=0

18、, f(4)=8 ,所以y的最大值是8,最小值是0。(4)提示：令 v =2cos2x 1=0 解得 x = ±。6而f色< 6)26<6 J 26_. 兀) JT JT、 JT漏点的函数值为 f 一一尸一，f 一尸一一, < 2J 22ITTT所以y的最大值是-,最小值是-。226.提示：汽车与气球之间的距离是S(t) = V502 +102t S'(t) =1026。lh后它们彼此分离的速度为 10 J26km / h 。【同步达纲练习】一、选择题.In x 一1.函数 f （x） = （x>0），则（）xA.在（0, 10）上是减函数。B.在（0

19、, 10）上是增函数。C.在（0, e）上是增函数,在（e, 10）上是减函数。D.在（0, e）上是减函数，在（e, 10）上是增函数。2.设f（x）在x = x0处可导，且鸣f (x0 2，x) - f (x0)=1,则f'（x。）的值为（）A. 1 B. 0 C. 2一， 4x3.函数y （）x 1A.有极大值2,无极小值。C.极大值2,极小值2D.B.无极大值，有极小值- 2。D.无极值。4 .函数 f (x) =x3 -3x(|x|<1)()A.有最大值，但无最小值。C.无最大值，也无最小值。B.有最大值，也有最小值。D.无最大值，但有最小值。4325 .函数 f (x

20、) =3x -2x -3xA.有最大值2,最小值-2。C.有最大值2,无最小值6.给出下面四个命题（B.无最大值，有最小值一D.既无最大值，也无最小值。2。9（1）函数y =x2 5x+4（1 Ex W1）的最大值为10,最小值为。42（2）函数y=2x 4x+1（2 < x <4）的最大值为17,最小值为1。（3）函数y =x3 12x（3<x <3）的最大值为16,最小值为一16。（4）函数y =x3 -12x（-2 < x <2）无最大值，也无最小值。其中正确的命题有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2,1.1】7.设 y=xx +_+

21、2_|,则 y，=()< x x J11A 2x 2 323x x4c x.C.+x+inx 421B. 3x 2 x-2D. 3x +18 .设y=f(cosx)是可导函数，则 dy=()A. f' (sinx)dxB. f' (cosx)dxC. f' (sinx) sinxdxD. f' (cosx) sinxdx9 .过点(2, 0)且与曲线y=l相切的直线方程是()xA . x+4y2=0B . x4y 2=0C. x+y -2=0D. x-y-2=0fJT、JT10 .函数 f(x)=3sin 4x + ' i在0,二内()<4)

22、2A.只有一个最大值。B.只有一个最小值。C.只有一个最大值或只有一个最小值。D.既有一个最大值又有一个最小值。11 .函数y=（2k 1）x+b在R上是单调递减函数，则 k的取值范围是（）12 .函数y = ln（x2 +x）的单调递增区间是（）B. (0, +8)二、填空题413 .曲线y= x3在点处切线的倾斜角为 一。3414 .函数y = 8x2 ln x的单调递增区间是 。15 .过抛物线y = x2上点 的切线和直线3x y+1=0构成45°角。16.函数y = x0cx < 4）的最大值是解答题217 .过曲线 +y2 =1（x20, y之0）上一点引切线，分别

23、与 x轴正半轴和y轴正半轴 4交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点的坐标。18 .物体的运动方程是 S = t3 +2t2 _1 ,当t=2时，求物体的速度及加速度。19 .求函数y =lg J1 x2的单调区间。20 .设y = aln x +bx2 + x在x=1在x=2时都取得极值，试确定 a与b的值；此时f（x）在x=1处取得的是极大值还是极小值？21 .已知正三棱柱的体积为 V ,试求当正三棱柱的底面边长多大时其表面积最小。222 .有一印刷器的排版面积（矩形）为 432cm ,左、右各留4cm宽的空白，上、下各留3cm宽的空白。应如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？请旅

24、胃但此后再直答臬!参考答案【同步达纲练习】一、选择题1. C 2, D 3. C二、填空题4. C 5. B6. B 7. B 8. D 9. C 10. D 11 . A 12. B13.1 1,I和<2 6J-1-114.615. ( 1, 1)或1 1 7, I 16. 214 16J三、解答题17.设 |AB|=l,切点为 P(x0,y0)x>0, y>0Xo4y0则所求切线方程为 x 0x + 4y0y - 4 = 0(x 0 > 0, y0 > 0) o切线在x轴，y轴上的截距分别为 ,Xo1oy。 l2162 XoA2 yo2又P（x0,y0）在曲线上，y2=1也。4164=2 (0 X x 0 2 2)X 04 -'x 0. (12)= -n广令。2）920 /13解得X 02.6o在（0, 2）内l2只有一个导数为零的点，经验证知，在 X。= 这点，12取得极小 3值，也是最小值。ra.2 . 623:当X0 =时，1取小值为 9, l取小值为 3,此时 y =，切点为3318. v(t) =s' = 3t2 +4t ,a(t)=v&#