【走向高考】高三数学人教A版一轮复习基础巩固强化：第10章 第5节古典概型与几何概型

1、第十章第五节一、选择题1已知、是不重合平面，a、b是不重合的直线，下列说法正确的是()A“若ab，a，则b”是随机事件B“若ab，a，则b”是必然事件C“若，则”是必然事件D“若a，abP，则b”是不可能事件答案D解析b，故A错；b或b，故B错；当，时，与可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D为真命题2(文)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A B C D答案A解析连续抛掷三次共有63216(

2、种)情况，记三次点数分别为a、b、c，则ac2b，所以ac为偶数，则a、c的奇偶性相同，且a、c允许重复，一旦a、c确定，b也唯一确定，故a，c共有2×3218(种)，所以所求概率为，故选A(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A B C D答案C解析P.3(文)(2014·河北衡水中学第五次调研)已知菱形ABCD的边长为4，ABC150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为()AB1CD1答案D解析如图，当点P落在图中阴影部

3、分时，P到菱形的四个顶点A、B、C、D的距离都大于1，P1.(理)(2014·河北邯郸二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是()ABCD答案A解析第一种情况：甲安排在第一天，则有A12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A2种，所以所求概率为.4(文)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为()ABCD答案C解析由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知

4、，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为，故选C(理)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()ABCD答案C解析如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为，设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P，选C5(2014·石家庄市质检)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方

5、程x2xa0无实根的概率为()ABCD答案C解析方程x2xa0无实根，则14a<0，a>，故所求概率P.6(文)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则()ABCD答案D解析由题意知AB>AD，如图，当点P与E(或F)重合时，ABP中，ABBP(或AP)，当点P在EF上运动时，总有AB>AP，AB>BP，由题中事件发生的概率为知，点P的分界点E、F恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2AF2(AB)2AD2，解得()2，即，故选D(理)(2013·武昌区联考)若从区间(0,

6、2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为()ABCD答案C解析设这两个数分别为x，y，则由条件知0<x<2,0<y<2，y4x或x4y，则所求概率P.二、填空题7(2014·银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22相交的概率为_答案解析圆心(2,0)到直线axby0的距离d<时，直线与圆相交，b>a，满足b>a的共有15种情况，因此直线axby0与圆(x2)2y22相交的概率为P.8在区间1,5和2,4分别各取一个数，记为m和n，则方程1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是_答案解析方程1表示焦

7、点在x轴上的椭圆，m>n.由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，p.9(文)在区间1,1上随机取一个数k，则直线yk(x2)与圆x2y21有公共点的概率为_答案解析直线与圆有公共点，1，k.故所求概率为P.(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x2有不等实数根的概率为_答案解析方程x2化为x22x2b0，方程有两个不等实根，8a8b>0，a>b，如图可知，所求概率P.三、解答题10(文)设平面向量am(m,1)，bn(2，n)，其中m、n1,2

8、,3,4(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am(ambn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率解析(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个(2)由am(ambn)得m22m1n0，即n(m1)2由于m、n1,2,3,4，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A).(理)(2013·北京东城区统一

9、检测)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、6，设编号为n的球重n26n12(单位：g)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率解析(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n26n12>n，即n27n12>0.解得n<3，或n>4.所以n1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P.(2)不放回地任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序)：1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5

10、；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6.共有15种设编号分别为m与n(m，n1,2,3,4,5,6，且mn)的球的重量相等，则有m26m12n26n12，即有(mn)(mn6)0.所以mn(舍去)，或mn6.满足mn6的情形为：1,5；2,4，共2种故所求事件的概率为.一、选择题11(文)(2014·烟台模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是()ABCD答案C解析设红色球为A1，A2，白色球为B1，B2，从中任取2个球，则所有不同

11、的取法有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6种不同取法，其中颜色不同且编号不同的情形有(A1，B2)，(A2，B1)2种，所求概率P，故选C(理)(2014·东营模拟)在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()ABCD答案B解析从6个顶点中任取4个顶点有C15种不同取法，其中能构成梯形的情形有6个，所求概率P.12(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩

12、子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()ABCD答案A解析先从4个位置中选一个排4，再从剩下位置中选一个排3，所有可能的排法有4×312种，满足要求的排法只有1种，所求概率为P.13(2014·辽宁抚顺二中期中)在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率是()ABCD答案B解析画出可行域如图所示，正方形内部面积为2，圆内部面积为，由几何概型的概率公式得P.14(文)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A1BCD答案A分析在扇形OAB内随机取一点，此点落

13、在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S1、S2，OAR，则S12(S扇形DOCSDOC)，S2S扇形OABSDS1.解析设图中阴影面积分别为S1，S2，令OAR，由图形知，S12(S扇ODCSODC)2·()2，S2S扇形OABSDS1R2·()2，所求概率P1.点评1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域(理)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于

14、的概率是()ABCD答案C解析设两数为x、y，则0<x<1,0<y<1，满足xy<的点在图中阴影部分，所求概率为P，故选C .二、填空题15(2013·南京模拟)在集合A2,3中随机取一个元素m，在集合B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P落在圆x2y29内部的概率为_答案解析点P的取法有2×36种，点P在圆内部，则m2n2<9，m2，n1或2.所求概率P.16(2014·河南南阳三联)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0，f (x)g(x)<f(x)g(x)，f(x)axg(x)，则

15、关于x的方程abx2x0(b(0,1)有两个不同实根的概率为_答案解析f(x)axg(x)，ax，f (x)g(x)<f(x)g(x)，g(x)0，()(ax)axlna<0，即lna<0，0<a<1.又，a，即a.关于x的方程abx2x0(b(0,1)有两个不同实根，210ab25b>0，即0<b<，故所求概率为P.三、解答题17(2014·西北工业大学附中六模)已知关于x的一元二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函

16、数的概率；(2)设点(a，b)是在区域内随机选取的点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的是概率解析(1)函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a>0且1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1,1；若a3，则b1,1.事件包含基本事件的个数是1225，所求事件的概率为P.(2)由(1)知当且仅当2ba且a>0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为(，)，所求事件的概率为P.18(文)盒子内装有10张卡片，分别写有

17、110的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取1张卡片，记下它的读数y.试求：(1)xy是10的倍数的概率；(2)xy是3的倍数的概率解析先后取两次卡片，每次都有110这10个结果，故形成的数对(x，y)共有100个(1)xy是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)故“xy是10的倍数”的概率为P10.1.(2)xy是3的倍数，只要x是3的倍数，或y是3的倍数，由于x是3的倍数且y不是3的倍数的数对有21个，而x不是3的倍数且y是3

18、的倍数的数对有21个，x是3的倍数且y也是3的倍数的数对有9个故xy是3的倍数的数对有2121951(个)故xy是3的倍数的概率为P20.51.(理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.设事件A表示“ab2”，求事件A的概率；在区间0,2内任取两个实数x、y，求事件“x2y2>(ab)2恒成立”的概率解析(1)由题意可知：，解得n2.(2)将标号为2的小球记作a