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1、第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分教学目的：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式教学重点：第一型曲线积分的计算.教学难点：第一型曲线积分的计算公式.教学过程一、引言 金属曲线的质量问题设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C上的点(x,y)处的密度为,试问该曲线的质量是多少?用微分分析来处理之,若p均匀,则好处理: m=p(C).a) 分割:设曲线C端点为A,B,从A到B依次插入,这样曲线C就分成了一些小弧段.把（）的弧长记为,在每一小弧段数上都任取一点.显然,当很小时, 的质量mi近似等于.从而整个金属曲线C的质量m: b) 作和: m=ic) 取极限:令s=m

2、ax,则m=lim上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.抽去上述问题的实际背景,并把它推广到中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质（一）、第一类曲线积分的定义定义 设为平面上可求长度的曲线段，为定义在L上的函数对曲线L作分割，它把L分成个可求长度的小曲线段（），的弧长记为，分割的细度为，在上任取一点（）若有极限=，且的值与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作（二）、第一型曲线积分的性质（1）若（）都存在，（），为常数，则=.（2）若曲线段由曲线，首尾相接而成，都存在，则也存在，且=.（3）若，都存在，且

3、在上，则.（4）若存在，则也存在，且.（5）若存在，的弧长为，则存在常数，使得=，这里.三、第一类曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线：， 为定义在上的连续函数，则= . (3)证明 由弧长公式知道，上由到的弧长,，由的连续性与积分中值定理，有，所以 =，这里设，则有 =+， (4)令，则当时，必有现在证明.因为复合函数关于连续，所以在闭区间上有界，即存在常数，使对一切都有 ，再由在上连续，所以它在上一致连续，即对任给的，必存在，使当时有，从而, 所以.再由定积分定义=，因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式.当曲线由方程表示，且在上有连续导函数时，(3)式成为 .注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限1.上述公式可能为在替换下积分的变形.2.注意: 3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算.4.特别地,如果曲线为一光滑的平面曲线,解为 y= 那么有.若曲线方程为,则 .5.这个积分的特性在于曲线的方向无关,又称为关于弧长的积分.例1 设是半圆试计算第一型曲线积分.解 =.例2 设是从到的一段，试计算第一型曲线积分.解 =. 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,. 函数连续可导, 则对上的连续函数,

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