全等三角形全等三角形与旋转问题学生版

1、基本知识把图形G绕平面上的一个定点0旋转一个角度 二，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换,点0叫做旋转中心，71叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下, 象与原象是全等形.很明显，旋转变换具有以下基本性质:1旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等;2对应直线的交角等于旋转角.旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演.全等三角形与旋i I1I I aI i iI aI !转问题第四讲【例 4 4】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.求证：AN =BM【

2、例 4 4】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.求证：AN =BM重点：补主二秀下仝込1于 豢，下舍.补 本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HLHL 的判如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）【例 2 2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形菱形 ABCDABCD 以 A A 为中心（A A顺

3、时针旋转C C 逆时针旋转）B B .顺时针旋转 120120AEFGAEFG 可以看成是把6060得到得到得到【例B【例 4 4】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.求证：AN =BMD D .逆时针旋转 120120 【例3 3】如图，C C 是线段ABCABC 和等边CDE,ADCDE,AD 交 CECE 于 F F , BEBE 交 ACAC 于 G G,则图中可通过旋转 而相互得到的三角形对数有A A 1 1 对B B 2 2 对BDBD 上一点,分别以 BCBC、CDCD 为边在 BDBD( ( ) )C C 3 3 对D D 4 4 对同侧作等边N N

4、【例 5 5】 如图，B,C,E三点共线，且.ABC与DCE是等边三角形，连结BD,AE分别交AC,DC于M,N点.求证：CM =CN.【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，.ACM、CBN是等边三角形.求证：CF平分/AFB.【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形. 请你证明：AN =BM;DE II AB;CF平分AFB.EN N【例 6 6】（ 20082008 年怀化市初中毕业学业考试试卷 ）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求 证：AE =CG.【例 8 8】 如图，等边三角形.ABC与等边DEC共顶点于C点求证：AE=BD.【例

5、7 7】 如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形, 证：MDE是等边三角形.D是AN中点，E是BM中点，求EC【例 9 9】 如图，D是等边ABC内的一点，且BD =AD,BP =AB,. DBP=/DBC，问.BPD的度数是否 一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.【例 1010】如图，等腰直角三角形ABC中，Z B =90,AB=a,O为AC中点, 定值.【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、EO_OF.求证：BE BF为F，求证：AE CF = AB.G GD DF F【补充】如图所示，在四边形的面积是 1616,求DP的长.【例 1

6、212】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点， 且Z EAF =45,AH =AB.【例 1111】（20042004 河北）如图，已知点E是正方形EA_AF.求证：DE =BF.ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且ABCD中，ADC= ABC=90，AD二CD，DP _ AB于P，若四边形ABCDAH _ EF,H为垂足，求证:ADE【例 1313】（ 19971997 年安徽省初中数学竞赛题 ）在等腰 RLRLABC的斜边AB上取两点M、N，使.MCN =45，记AM =m，MN =x，BN =n，则以 x x、m m、n n 为边长的三角形的形状是 （）（）.A

7、 A 锐角三角形B B.直角三角形C C .钝角三角形D D .随 x x、m m、n n 的变化而变化【巩固】如图，正方形ABCD的边长为 1 1，点F在线段CD上运动，AE平分.BAF交BC边于点E.求证：AF =DF BE.设DF =x（0 x1） ,. ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x x 的值及S若不存在，请说明理由.【例 1414】请阅读下列材料：已知：如图 1 1 在RtABC中，NBAC=90,AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE =45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到

8、ABE，连结ED,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2 2，其它条件不变，中探究 的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图如图所示，AABC是边长为 1 1 的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的ZMDN，点M、N分别在AB、AC上，求.：AMN的周长.【例 1616】在等边ABC的两边 ABAB,ACAC 所在直线上分别有两点 M M,N N,D D 为ABC外一点，且.MDN = 60,ZBDC =12

9、0,BD=：CD，探究：当点 M M,N N 分别爱直线 ABAB,ACAC 上移动时，BMBM,NCNC,MNMN 之间 的数量关系及 厶AMN的周长与等边 厶ABC的周长 L L 的关系.此时Q= =L L如图，当点 M M,N N 在边 ABAB,ACAC 上，且DM = DN时，猜想（1 1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点 M M,N N 分别在边 ABAB,CACA 的延长线上时，若 AN=xAN=x，贝 U U Q=Q=_ （用 x x,L L 表示）【补充】（1 1）如图，在四边形 ABCDABCD 中，ABAB=ADAD，/B B=ZD D=90, E

10、 E、F F 分别是边 BCBC、CDCD 上的点，且【例C CE EUI如图，当点 M M , , N N 在边 ABAB,ACAC 上,且 DM=DNDM=DN 时，BMBM,NCNC, , MNMN 之间的数量关系式AZEAF=EAF=1ZBADBAD .求证：EFEF=BEBE FDFD ; ;2 2(2)(2)如图，在四边形 ABCDABCD 中，ABAB=ADAD，/B+B+ZD D=180, E E、F F 分别是边 BCBC、CDCD 上的点，且ZEAF=EAF= 1 1ZBADBAD , ( ( 1)1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2 2【例 1717】平面上三个正三角形

11、ACF,ABD,BCE两两共只有一个顶点，求证:EF与CD平分.BDA【例 1818】已知：如图，ABC、厶CDE、厶EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，AD=DK求证：6HBD也是等边三角形.【补充】以ABCABC 的两边 ABAB、ACAC 为边向外作正方形 ABDEABDE、ACFGACFG，求证：CE=BGCE=BG，且 CECE丄BGBG 【例 1919】( ( 19971997 年安徽省竞赛题) )如图，在 其反向延长线交FH于M，求证：ABC外面作正方形ABEF与ACGH，AD ABC的高,KKAO【例 2020】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，在五边形ABCDE中，.B

12、 =/E =90,AB =CD = AE = BC DE =1，求此五边形的面积.【例 2121】 在五边形ABCDE中，已知AB二AE,BC DE =CD, ZABCZABC AEDAED =180,=180,，连接AD.求证:AD平分CDE.【习题 2 2】（湖北省黄冈市 20082008 年初中毕业生升学考试）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意 点，过点D作DF丄DE交BC的延长线于点F.求证：DE = DF.家庭作业【习题 1 1】如图，已知厶ABC和ADE都是等边三角形, 等的理由.B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC - CD相F【习题 3 3】 在梯形ABCD中，AB/CD,. A=90,AB =2,BC =3,CD =1,E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.【习题 4 4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、厶CBN是等边三角形.CG、CH分别是ACN、.MCB的高求证：CG=CH【备选 1 1】在等腰直角 ABC中， ACBACB = =9090 ,AC =BC,M是AB的中点，点P从B