理论力学辅导班教案

1、南京航空航天大学数学系辅导班高等数学辅导课件（微第2部分）2015年08月第二课空间几何1向量代数部分2几何部分向量代数部分大纲基本要求§§理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算:线性运算、数量积、向量积、 混合积。了解两个向量垂直、平行的条件。§§理解向量、与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示式进行向量运算的。1.主要定义：l 向量rrra = (ax ,ay ,az ) = axi + ay j + azk模r=a+a+222zaaxy方向余弦aaacosa =cosgcos b =yxzrrraaa( cos2 a + cos2 b + c

2、os2 g = 1 )l 向量的数量积(点积)要记住！rrrÙ rrra × b =× b cos (a , b )ar × brrraa = ra 在b 上的投影：Pr jrb| b |l 向量的向量积(叉积)rrc = a ´ brrÙ rrr=a × b sin(a ,b ) = Sc的面积方向按右手法则.r ´ r× rl 混合积a, b, c = (ab ) c向量代数计算向量的数量积，向量积，混合积2.主要结论：要记住！l 向量的代数运算r = (ac = (c,c,c ),= (bx ,设

3、a,a,a ), bby ,bz ),xyzxyzr ± b = (a± b , a± b ,± b )加减:数乘:点积:aaxxlay ,ylaz )yzzla = (lax ,ra × b = axbx+ ayby + azbzriaxbxrjayrkazr，ra ´ b =叉积:bybzaxayazbr ´ b ) × r = bb(ac混合积：xyzczcxcyl 向量的方向余弦axcosa =+ a2 + a2a2xyzaycos b =+ a2+ a2a2xyzazcosg =+ a2+ a2a2xyz

4、cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1要记住！l 向量rrbyrbzbxa ´ b = 0a / b=axayazr rr × b = 0a b + a b+ a b= 0abaxxyyzzrrrr(a ´ b) × c = 0a ,b ,c 共面axbx cxayby cyaz bzcz= 0r ´ b) × r = 2，例1 （1995-1）已知(ac4rrrrrr(a + b) ´ (b + c ) × (c + a) =.rrrr(a + b ) ´(b + c )×

5、(c + a )解rrrrrr= a ´ b + a ´ c + b ´ b + b ´ c )× (c + a )rrrrrrrrrrrr= (a ´ b ) × c + (a ´ c ) × c + (b ´ b ) × c + (b ´ c ) × crrrrrrrrrrr+(a ´ b ) × a + (a ´ c ) × a + (b ´ b ) × a + (b ´ c ) ×

6、; arr= (a ´ b) × crrrrr= 2(a ´ b ) × c = 2abc = 4.主要向量的运算律rrrrrr= 1, b= 2，且设 A = 2a + b，B = ka + b ，其中 ar例2rb，问a k为何值时，A Br k为何值时，以 A, B 为邻边的平行四边形面积为6.rA × B = 0 Þ k = -2提示：rA ´ B= 6 Þ k1 = -1, k2= 5两向量垂直的条件，数量积和向量积的运算及向量积的几何意义.rrrrr 2rrrr 2r详解： A× B = (2

7、a + b) ×(ka + b) = 2k a+(2 + k)a ×b + b= 2k + 4rA B，即 A× B = 0 Þ k = -2由rrrrrÙrrrrrrrA´B = (2a +b)´(ka +b) =L= 2-k a´b = 2-k a b sin(a,b)= 2-k ×2sinp = 2 2-k =6Þk = -1,k =5122几何部分大纲基本要求§§§理解空间直角坐标系。掌握平面方程与直线方程及其求法。会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间

8、的夹角，并会利用平面、直线的相互（平行、垂直、相交等）解决有关。§§§会求点到直线及点到平面的距离。了解曲面方程与空间曲线方程的概念。了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的 柱面和旋转曲面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间 曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影的方程。§2.主要结论l 平面方程一般式p : Ax + By + Cz + D = 0要记住！n = ( A, B, C ) 点法式p : A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C (z - z0 ) = 0 截距式：x +y + z = 1abcl 直线方程：

9、要记住！ì A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 一般式í A x + B y + C z + D = 0î2222x - x0 = y - y0= z - z0r = (m, n, p) 点,smnpì x = x0 + mt 参数式 ï y = y+ ntí0ï z = z + ptî0要记住！l 距离公式点M1 (x1, y1, z1 ) 与点M 2 = (x2 , y2 , z2 )间的距离d =( x - x )2 + ( y- y )2 + (z- z )2212121点M 0 = (

10、x0 , y0 , z0 ) 到平面p : Ax + By + Cz + D = 0的距离，Ax0 + By0 + Cz0 + Dd =+ B2 + C 2A2x - x1y - y1= z - z1 的距离点M= (x , y , z ) 到直线L :=0000mnpuuuuurrM0 M1 ´ sd =rss = (m, n, p)M1 (x1, y1, z1 ) Î Ll 重要的二次曲面要记住方程和它们的图形 球面 ( x - x0 ) + ( y - y ) + (z - z )= R222200= a2( x2 + y2 )z2 圆锥面x2y2x + y= R (

11、圆柱面) 柱面222+= （1b2椭圆柱面）a2x2y2= 2 py(抛物柱面)x2-= （1双曲柱面）22abx2y2z2+= 1b2c2 椭球面a2双曲抛物面-+= z2 p2q椭圆抛物面 抛物面:( p,q 同号)x2y2x2y2+ = z2 p2q双曲面:单叶双曲面双叶双曲面x2y2 - z2x2y2z2+= -1+-= 1b2c2a2b2c2a2l 夹角： 两向量夹角：ra b + a b + a ba × bcosa =xxyyzzrrab+ a2 + a2 ×+ b2 + b2a2b2xyzxyz× rss2cosa =(a : 锐角)1 两直线夹角

12、：rrs1s2rrn1 × n2cosa =(a : 锐角) 两平面夹角：rrn1n2r rn × s 直线与平面的夹角 ：sina =(a : 锐角)r rns本质上就是向量间的夹角l 平面位置：若p1 p 2+ B1 B2 + C1C2 = 0， 则有A1 A2A1B1= C1D1 )若p/ p， 则有=(¹12A2B2C2D2若p1 与p 2 重合， 则有A1B1C 1D1=A2B 2C 2D 2本质上就是向量平行垂直的条件l 直线位置 l2 ， 则有m1m2 + n1n2/ l2 ， 则有若l1+ p1 p2= 0若l1m1= n1p1=m2n2p2本质上

13、就是向量平行垂直的条件l 平面与直线位置若 l p，则有m = npCrr=(s / / n)AB若 l / p ， 则有Am + Bn + Cp = 0若l 在p 上，则有Am + Bn + Cp = 0且 l 上有一点在p 上(s rn)本质上就是向量平行垂直的条件l 过平面p1 : A1x+ B1y +C1z + D1 = 0与p2 : A2x + B2 y +C2z + D2= 0的交线的平面束方程l( A1x + B1 y + C1z + D1 ) + m( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0l 旋转面方程的建立空间曲线 C : ì f ( y, z

14、) = 0 绕 z 轴旋转产生的íx = 0î旋转曲面为：f (±+ y2 , z) = 0x2掌握旋转曲面方程的建立3 主要题型l 计算向量的数量积，向量积，混合积l 求平面方程：求过已知点的平面方程求过已知直线的平面方程根据平面在坐标轴上相对位置求其方程求过两平面交线的平面方程l 求直线方程求过已知点的直线方程求过已知点且与已知直线相交的直线方程求与两直线相交的直线方程求直线在平面上投影直线方程l 直线与平面位置直线间位置平面间位置直线与平面位置l 二次曲面方程及空间曲线在坐标面上投影方程l 其它求坐标面上曲线绕该坐标面内的坐标轴旋转 所得到旋转曲面方程求空间

15、曲线(直线) 绕坐标轴所旋转得到曲面方程求母线平行于坐标轴的柱面方程或锥面方程注意 的差别！平面方程的建立例3（1990-1）过点(1, 2, -1)且与直线ì x = - t + 2ï y = 3 t - 4íïz = t - 1îx - 3 y - z + 4 = 0垂直的平面方程为方向向量r = (-1, 3,1),点(1, 2, -1)解s-( x - 1) + 3( y - 2) + (z + 1) = 0 即 x - 3 y - z + 4 = 0求平面方程：找一个点和一个法向量例4（1991-1）: x - 1 = y - 2 =

16、 z - 3 且平行于过直线 l1-110: x + 2 =y - 1 = zl2211x - 3 y + z + 2 = 0的平面方程为s2 = (2,s1 = (1,0, -1)1, 1)解n = rrs1 ´ s2= (1, -3, 1)取所求平面的法向量点M0(1, 2, 3) Î l1( x - 1) - 3( y - 2) + (z - 3) = 0由点法式得求平面方程：找一个点和一个法向量rrrrn = ( A, B,C), n s2,n s1另解：设有ì2 A + B + C = 0 Þ A = C, B = -3CíA - C

17、 = 0îC ( x - 1) - 3C ( y - 2) + C (z - 3) = 0x - 3 y + z + 2 = 0即隐藏例5 (1996-1)设一平面经过原点及点(6, -3, 2)，且与平面4 x - y + 2z = 8垂直，则2 x + 2 y - 3z = 0此平面方程为uurn = (4,-1, 1)解OP = (6,-3,2)1uurr´取所求平面的法向量 r = -2(2, 2, -3)nOPs1点O(0,0,0)由点法式得2( x - 0) + 2( y - 0) - 3(z - 0) = 0求平面方程：平面的法向量直线方程的建立(-1, 2,

18、 3)垂直于直线求过点例6l ：x = y = z 且平行于平面1456p：7x + 8 y + 9z + 10 = 0 的直线lQ rrrrs s1 , s n解rrjrkirrr´ n=所以取s,)x + 1 =y - 2 = z - 3由点：-211求直线方程：直线的方向向量，r设所求直线， s = (m, n, p)，= (4, 5, 6)解法2ls1r由题意有：n = (7,8,9)ìr rr rs ×np = 0Þm = p nspíîm = tì即ïn = -2t取t = 1，有 s = (1, -2

19、,1)íïp = tî故所求直线 l 为：x + 1 =y - 2 = z - 3-211隐藏lN求过点M (2,1,3)且与直线例 7LL : x + 1 =y - 1 =zM垂直相交的直线方程.-132先作过点M 且与直线L 垂直的平面P3( x - 2) + 2( y - 1) - (z - 3) = 0 即3 x + 2 y - z = 5再求直线L 与该平面的交点N,解ì x = 3t - 1x + 1 =y - 1 =zÞ ï y = 2t + 1.= t令íïîz = -t-132求直线方程

20、：垂足代入平面方程得 t = 3交点 N ( 2 , 13 , - 3 ),7777取所求直线的方向向量为MNMN = ( 2 - 2, 13 - 1, - 3 - 3) = (- 12 , 6 , - 24 ),777777x - 2 =y - 1 = z - 3 .所求直线方程为-124例8(1998-1)l求直线l : x - 1 = y = z - 1在平面l0-111p : x - y + 2z - 1 = 0上的投影 l0 的方程，并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程.求直线在平面上的投影方程及旋转面方程r解：设s = (1,1, -1), n = (1, -1, 2)，经

21、过l 且垂直于 的平面p ，1vj1-1uvkirrr其法向量n1 = s ´ n = 1-1 = (1, -3, -2)，rlnn112s又因为p1过l ，所以p1经过点(1, 0,1) ，由平面的点法式方程得，p1 : ( x - 1) - 3( y - 0) - 2(z - 1) = 0l0x - 3 y - 2z + 1 = 0 （过l 在已知平面上的投影柱面方程）注意:求p1的方程也可用平面束做!即x = 2 yìx - y + 2z - 1 = 0Þ ïìí z = -( y - 1)因此l 方程为：l:í x

22、- 3 y - 2z + 1 = 0100îïî2曲面方程为： x2 + z2 = 4 y2 + 1 ( y - 1)2于是l 绕 y 轴旋转一04（详见后面例题） 注意：本题是空间直线绕坐标轴旋转的旋转面方程4 x2 - 17 y2 + 4z2 + 2 y - 1 = 0空间直线绕坐标轴旋转的旋转面方程已知点A(1,0,0)，B(0,1,1),1994-1与2013-1(19)(1)(2)求过两点A、B的直线L的方程;求直线L绕z 轴旋转一曲面S的方程；求旋转曲面S 及z = 0, z = 2所围成的W 体积;的旋转(3)W的形心坐标.(4)求uuurAB =

23、(0 - 1,1 - 0,1 - 0) = (-1, 1, 1)(1)解uuurrs = AB = (-1, 1, 1)取x - 1 = y = z所求直线方程 L为-111zB"M ( x, y, z) Î S，它一定是直线L上(2)的点M0 ( x0 , y0 , z0 )绕z 轴旋转到达的位置，oyL有z = z ,由于高度不变,0A又M 和M0 到z 轴的距离d 不因旋转而改变, x故d 2 = x+ y22= x2 + y2 ,M00M0又因 x0 = 1 - z0 = 1 - z,y0 = z0= z,代入得所求旋转曲面方程为+ y2 = (1 - z)2 +

24、z2x2x - 1yz=11L :-1再去对照例8 (1998-1)的第2的解！(3)设点M0( x, y, z)在L上, 则x = 1 - z， y = z在高度z 处的截面半径满足M0L= x2 + y2 = z2 + (1 - z)2r 2dV = A(z)dz = p r 2dz = p ( x2 + y2 )dz = p éë z2+ (1 - z)2 ùû dzpz+ (1 - z)2 ù dz = 10p2ò2ò故V =éA(z)dz=2ëû03014p22òò

25、z × r0 A(z)dzz × p éë z2+ (1 - z)2 ùû dz75310p(4) z =002VòrA(z)dz0703(0,0,)5（1994-1）七、（本题满分6分）已知点A(1, 0,0)与点B(0,1,1),线段 AB绕z 轴旋转一的旋转曲面为S，求由S及两平面z = 0和z = 1所围的体积.AB : x - 1 =y =z解-111隐藏设点M ( x, y, z) 在 AB 上, 则x = 1 - z， y = z在高度z 处的截面半径满足=+= z2 + (1 - z)2r 2x2y2dV =

26、 A(z)dz = p r 2dz = p ( x2 + y2 )dz = p éë z2+ (1 - z)2 ùû dzpz+ (1 - z)2 ù dz = 2p11òò故 V =é=2A(z)dzëû300能写出旋转面方程吗？ 空间曲线（直线）绕坐标轴旋转2013-1(19)设直线L过 A(1, 0, 0)，B(0,1,1)两点，将 L绕z 轴旋转一周得到曲面S，S与平面z = 0和z = 2所围成的W，(I)求曲面S的方程， (II)求W的形心坐标.为7+ y2 = 2z2 - 2z +

27、 1x2(0 0, ,)5求坐标面上曲线绕该坐标面内的坐标轴旋转所得到旋转曲面方程例92009-1(17)（本题满分11分）x2y2+= 1绕 x 轴旋转而成，椭球面S1 是椭圆43x2y2+= 1圆锥面S2 是由过点(4,0)且与椭圆相切的直线绕 x 轴旋转而成.43求旋转面方程的体积.（1） 求S1 及S2 的方程；（2） 求S1 及S2 之间的y先作图O4x+ z2x2y2+= 1 .解 (1) 椭球面S1的方程是43y设切点为( x , y ),则切线方程是300(1, )2x0 x +y0 y = 1O4x433(1, -)2, y ) = (1, ± 3 )切线过点(4,

28、0) ，切点( x002x ±y = 1所以切线方程是42圆锥面S2的方程是+ z2y2x- 1)=，(x - 4)- 4 y- 4z= 02222(44切点( x , y ) = (1, ± 3 )，所以S(2)与S之间的体积001223等于一个底面半径为 、2部分椭球体积V1 之差，其中3的圆锥体体积与y3(1, )23p5p2òV1 =(4 - x)dx =2Ox4441(1, - 3 )2故所求体积V 为x2y2+=V = 9p - 5p1= p4344A( x) = p y2 = 3p (4 - x2 )4例10 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半

29、顶角为的圆锥面方程.z解: 在yOz面上直线L 的方程为L绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为M (0, y, z)y两边平方x= a2(+ y2z2x2)p注意：x2 + y2= z2 为半顶角为 圆锥面方程.4隐藏ì x 2y 2+=ï1为准线，顶点在原点求以椭圆í例102b2aïî z = c的锥面方程.解设M ( x, y, z)为锥面上的任意一点，它一定是一条母线上的点.设母线方程为X= YZ=xyz则 x0y0= c=此母线与准线的交点为 ( x, y , c )00xyz( cx )2( cy )2222xy= zÞ x= x

30、c , yyczz= 1 Þ+.=00a2b2c2a2b2zz平面与平面，直线与直线，平面与直线的点到平面的距离及例11（1993-1）: x - 1 =y - 5 = z + 8，l: ì x - y = 6设 lí2 y + z = 31-2112î）.则 l1 与 l2 的夹角为（p6p4p3p2(C)( A)(B)(C)求两直线的夹角+ ayby+ azbzaxbxcosa =+ a+ a+ b+ b222222abxyzxyz例12 (1995-1)设有直线l : ì x + 3 y + 2z + 1 = 0及平面í2 x

31、- y - 10z + 3 = 0îp : 4 x - 2 y + z - 2 = 0vivj3-1vk2-10Q rs = 1则直线 l （( A) 平行p(C) 垂直于p）.2(B) 在p 上(D) 与p 斜交= (-28,14, -7)= -7(4, -2,1)直线与平面的p : 4x - 2 y + z - 2 = 0vivj3-1vk2-10Q r解：s = 1= (-28,14, -7) = -7(4, -2,1)2 rrs / n Þ l p故选C隐藏例13研究下列直线与平面间，若平行求相应距离，若相交求直线与平面的夹角.ì x = 2 + 4t&#

32、239;p : 5x + 2 y - 9z +1 = 0l : í y = -1- t ,ïz = -3 + 2tîl : x - 3 =y - 4 = z - 5 ,p : x + y + z = 0236直线与平面及点到平面的距离rrr rs = (4, -1, 2), n = (5, 2, -9),Q s × n = 0解：P(2, -1, -3) Î l而 l 与p无公共点，l / pP(2, -1, -3) Ïp而 P(2, -1, -3) Î l到p距离为 P的距离5 × 2 + 2(-1) - 9(-

33、3)dì x = 2 + 4tïp : 5x + 2 y - 9z +1 = 0(1)l : í y = -1- t ,ïz = -3 + 2tîrr rs = (2, 3, 6), n = (1,1,1),Q s × n ¹ 0所以 l 不平行pr 和 r不垂直 pn 分量不成比例，所以 ls与p所以 l斜交，夹角为：r rs × n11q = arcsin 113sinq =r rsn2173l : x - 3 =y - 4 = z - 5 ,p : x + y + z = 0(2)236例14 (2006-1

34、)点(2,1, 0) 到平面 3x + 4 y + 5z = 0 的距离23 × 2 + 4 × 1 + 5 × 0解：d =29 + 16 + 25+ By0 + Cz0+ DAx0d =+ B2 + C 2A2点到平面的距离空间曲线的1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程3.曲线的一般方程与参数方程互化4.空间曲线或在坐标面上的投影1.空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组ìF ( x, y, z) = 0,S1F ( x, y, z) = 0S2G( x, y, z) = 0 CíG( x, y, z)

35、= 0.îì x2+ y2 = 1例如,í2x + 3z = 6ìï z =- x2 - y2- ax = 0a2+ y2î表示圆柱面与平面的交线 C.又如,íïîx2C表示上半球面与圆柱面的交线C.2.空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z 表示成参数 t 的函数:ì x = x(t),ï y = y(t),称它为空间曲线的参数方程.íïî z = z(t),3.空间曲线的一般方程与参数方程的互化例15将下列曲线化为参数方程表示:ì x2ìï z =+ y2 = 1,- x2 - y2 ,a2(1) í(2) íî2x + 3z = 6;+ y2