第二节序列相关性(serialcorrelation)

1、第二节 序列相关性(serial correlation)v如果随机干扰项不满足序列不相关性，称为存在序列相关性。（一）序列相关性v对于模型Yi 0 1 X1i 2 X2i k Xki i，i 1, , n 在其他假设条件仍成立的情况下，如果出现Covi , j Ei j 0， i j， 或21211Var =Cov , ninEEsm mm ms骣=桫 LMLML22=ssI则称随机干扰项序列相关。2112nnv其中1111nnrr骣= 桫LMLML如果Ei i1 0， i 1,n 1， 则称一阶序列相关或自相关(autocorrelation)，自相关可以写成i i1 i, 1 1 其中称

2、为自相关系数， i 满足Ei 0，Vari 2，Cov(i, is) 0 (s 0) 由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中，因此，本节将用下标t代表i。 （二）实际经济问题中的序列相关性v1. 经济变量固有的惯性 多数经济时间序列具有惯性的特点，表现在时间序列数据不同时间的和前后关联上。例如，以绝对收入假设为理论，以时间序列为样本建立居民总消费函数模型：Ct 0 1 Yt t，t 1, , n 由于消费习惯等因素的惯性，随机干扰项出现相关，从而产生序列相关性。在这个例子中，随机干扰项之间还表现为正相关。v2.模型设定偏差 模型设定偏差是指所设定的项目不“正确”，主要表现为模型中没有

3、包括重要的解释变量，或模型函数形式有偏差。例如，本来应该估计的模型为：Yt 0 1 X1t 2 X2t 3 X3t t， 但在模型设定中作了下面回归：Yt 0 1 X1t 2 X2t t， 其中 t 3 X3t t。于是在X3确实影响Y的情况下，这种模型设定的偏差导致序列相关性。v3.数据的“生成” 在实际经济模型中，有些数据可能由以知的数据生成。因此，新生成的数据与原数据就有联系，从而表现出序列相关性。 例如：季度数据季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动性，从而使随机干扰项出现序列相关。 还有就是两个时间点之间的“内插内插”技术往往导致随机项的序列相关性。（三）

4、序列相关的后果v参数估计量非有效参数估计量非有效 当计量经济学模型出现序列相关时，普通最小二乘法参数估计量仍然具有线性性、无偏性，但不具有有效性。v变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验时，要构造t 统计量。这是建立在具有相同的方差 2 ，而用无偏估计 的基础上的，如果不相关性不满足， 2的估计就有偏差， t 检验无 意义。v模型的预测失效模型的预测失效2s)（四）序列相关性的检验v序列相关性检验的基本思想是：首先采用普通最小二乘法估计模型，得到随机干扰项的“近似估计量” ，OLS( )ttteYY=-)%然后分析这些“近似估计量”之间的相关性以达到判断随机干扰项

5、是否具有序列相关性。te %1.图示法v由于残差 可以作为t的估计，因此，如果t存在序列相关，必然会在 上反映出来，因此可以利用 的变化图形来判断随机干扰项是否存在序列相关性。te %te %(a) 正序列相关性(正自相关)te %te %te %te %1.图示法(b) 负序列相关性(负自相关)2. 回归检验法v以 为被解释变量，以各种可能相关的量，如 等为解释变量，建立各种方程：te %12,.,tttpeee-%1,2,.,ttteetnre-=+=%1122,3,.,tttteeetnrre-=+=%L L L L对方程的估计进行显著性检验，如果存在一种函数形式，使得方程显著成立，则说

6、明描写存在序列相关性。3.杜宾-瓦森(Durbin-Watson)检验vD-W检验的基本假设是：（1）解释变量的非随机的；（2）随机干扰项为一阶自回归形式：t t 1 t。（3）回归模型不含滞后应变量作为解释变量，即不应出现下面形式： Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt Yt1 i，（4）回归模型包含截距项。vD-W检验的原假设是：H0： 0，即不存在一阶自相关。检验的统计量为：21221()D.W.ntttntteee-=-=%在检验时，计算该统计量，再根据样本容量n 和解释变量的个数k 查D.W.分布表，得到临界值d1和du，然后根据下面准则判断模型的自相关的状态： 若0 D.W

7、. d1，则存在正相关； 若d1 D.W. du，则不能确定； 若du D.W. 4 du，则无自相关； 若4 du D.W. 4 d1，则不能确定； 若4 d1 D.W. 4 ，则存在负相关。vD.W.值在2的附近，模型不存在一阶自相关。证明如下：展开D.W.统计量得到21221()D.W.Ttttntteee-=-=%2211222212TTTtttttttTtteeeee-=+-=邋%当n较大时，2221221TTTtttttteee-=换邋%v所以1221D.W.2 12(1)TtttTtteeer-=骣=- 桫%其中11222212TTttttttTTtttteeeeeer-=邋邋%

8、为一阶自相关模型1ttteere-=+%的参数估计4.拉格朗日乘数(Lagrange multiplier)检验v对于模型 Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt t， t 1, , n， 如果怀疑随机干扰项存在p阶序列相关：t 1t1 2t2 ptp t，拉格朗日乘数检验就检验回归方程Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt 1t1 2t2 ptp t ，是否满足约束条件H0： 1 2 p 0返回v如果约束条件H0成立，则统计量LM nR2的渐进分布为 LM nR2 2(p)， 其中n，R2分别为下面辅助回归的样本容量和可决系数：01122tttkkteXXXbbbb=+%L112

9、2ttptpteeerrre-+%L给定显著性水平，查表得到临界值2(p)，如果统计量LM nR2的值大于临界值，则拒绝约束条件成立的原假设，表明可能存在p 阶序列相关性。 这里 是原模型用最小二乘法得到的残差te %五、序列相关的补救v广义最小二乘法v广义差分法 1. 广义最小二乘法v对于模型Y X 其中12nYYY骣 = 桫YM112111222212111kknnknXXXXXXXXX骣= 桫XLLMMMMML01kbbb骣= 桫M21121221222212Var =Cov , nnnnnssssssssss骣= 桫 LLMMMMLv如果存在序列相关性，同时存在异方差性，即 是一个对称

10、正定矩阵，因此存在可逆矩阵D，使得 DD v用D1乘以Y X ，得到：D1Y D1X D1 令Y* D1Y， X* D1X， * D1 ，则 Y* X* *v这个模型具有同方差性和随机干扰项不相关性，事实上1111*() ()EEE-=* D DDD1212()ss-=DDD DIv于是可以用OLS法估计模型Y* X* *记参数估计量为 ，则*)1*()-=*X XX Y)11111()()-= X DD XX DD Y111-= X XX Y这就是原模型Y X 的广义最小二乘估计量，是无偏的、有效的。在使用广义最小二乘法时，必须要知道2 ，但要估计2 是困难的。通常是对随机干扰项施加一定的结

11、构。v常用的假设是随机干扰项为一阶自回归形式：t t 1 t，1 1 可以证明：2221Var1temssr=-2221Cov,1ssttsem mrsr sr-=-1222212Var =Cov , 1111nnnnerrrrssrrr-骣=- 桫 LLMMMMLv于是221222100001000010001100010000100001rrrrrrrrrrrrr-骣-+-+=-+-+-桫LLLMMMMMMMLLLv可以得到2.广义差分法v对于模型Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt t，t 1, n， 如果随机干扰项存在p阶序列相关：t 1t1 2t2 ptp t，可以将原模型变

12、为：Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1,t 1X1, t1 2X1, t2 pX1, tp ) k(Xk, t 1Xk, t1 2Xk, t2 pXk, tp ) t ， t p 1, p 2, , n。上面模型称为广义差分模型。不存在序列相关性。v如果已知 1， 2， p，则可以用普通最小二乘法得到原模型参数的估计量，参数估计量具有无偏性、有效性。v值得指出的是，广义差分法就是在广义最小二乘法模型Y* X* *中去掉前p个观测值后在用普通最小二乘法得到原模型参数的估计量。v例如，在一阶序列相关的情况下，广义差分法是对下面的差分模型进行OLS回归： Yt Y

13、t1 0 (1 ) 1 (X1t X1t1) k(Xkt Xk,t1) t ， t 2, 3, , n。或Yt* 0 (1 ) 1X1t* kXkt* t ， t 2, 3, , n。 这一变换就相当与在Y* X* *中去掉第一个观测值后在用普通最小二乘法得到原模型参数的估计量。或相当与在D1中去掉第一行后左乘Y X 得到。v在大样本中，广义差分法与广义最小二乘法的估计结果相近，但在小样本中，观测值的丢失可能会影响估计结果。因此，在广义差分法中，有时需要弥补这一损失。例如，在一阶序列相关情况下，对第一个观测值可以进行下面的普莱斯-温斯特变换(Prais-Winsten transformati

14、on)：*2*211111,1,1,.,jjYYXXjkrr=-=-=3. 随机干扰项相关系数的估计v广义最小二乘法和广义差分法都需要知道相关系数1， 2， p，这通常需要估计。估计的思路一般是采用普通最小二乘法估计原模型，得到随机干扰项的“近似估计量”，然后利用这些“近似估计量”得到随机干扰项相关系数的估计量。（1）科克伦-奥科特(Cochrane-Orcutt)迭代法v（a）采用最小二乘法估计原模型，得到随机干扰项的“近似估计” ，建立方程1122tttptpteeeerrre-=+%L,1,2,.,tetn=%12,.,pr rr) )（b）用OLS法估计该方程，得到返回（c）将 代入Y

15、t 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ，用OLS法估计该方程，得到12,.,pr rr) )12,.,kb bb) ) )v（d）将 代入原模型，得到新的随机干扰项的“近似估计量” 。v重复上面的步骤(a)，得到1， 2， p的第二次估计。v重复上面的步骤，可以得到1， 2， p的多次迭代值。v关于迭代的次数，一般是事先给出一个精度，当相邻两次的1， 2， p的估计值小于这一精度时，迭代结束。12,.,kb bb) ) )（2）杜宾(Durbin)两步法v这种

16、方法仍然是先估计1， 2， p，再对差分模型进行估计。 第一步v将差分模型Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。变为Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。 采用普通最小二乘法估计这个方程，得到1， 2， p的估计12,.,pr rr) )返回第二步v将

17、 代入 Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。 采用普通最小二乘法估计这个方程，得到参数 的估计量，记为 于是 12,.,pr rr) )0121(1.),.,pkbrrrbb-)*012,.,kbbbb)*00121.pbbrrr=-)*,1,.,jjjkbb=)返回1返回24.广义差分法在Eview中的实现v将 Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp

18、 ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。改写成 Yt 0 1X1t 2X2t kXkt 1 (Yt1 0 1X1,t1 kXk,t1 ) p (Ytp 0 1X1,tp kXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。 v即 Yt 0 1X1t 2X2t kXkt 1 t1 2 t2 p tp t ， t p 1, p 2, , n。 如果同时选择常数项，X1, X2, , Xk, AR(1) , AR(2) , , AR(p) 作为解释变量，就可以得到0 , 1 , 2 , , k , 1, 2 , , p 的估计值。

19、其中AR(l) 为l阶自回归。在估计过程中自动完成1, 2 , , p 的迭代，并显示总迭代次数。六、案例中国商品进口模型（例4.2.1）v根据经济理论，商品进口主要由进口国的经济发展水平，以及商品进口价格指数与国内价格指数之比所决定。由于无法取得商品进口价格指数，我们只研究中国商品进口M与国内生产总值GDP的关系。1.通过OLS法建立中国商品进口方程22152.910.02GDP(2.32)(20.12)0.948,0.946,SE154.9,D.W.0.629ttMRR=+=)返回2. 进行序列相关性检验v从残差项 与时间及 的关系图可以看出，随机干扰项存在正序列相关。te %1ttee-

20、%与-400-200020040078 8082 848688 9092 949698 00RESID-400-2000200400-400-2000200400RESIDRESID1vD.W.检验在5%显著性水平下，n 24， k 2，查表得到d1 1.27，du 1.45。由于D.W. d1 ，所以存在正相关。拉格朗日乘数检验v含2阶滞后残差项的辅助回归为011122GDPttttteeebbrre-=+%vLM=220.6821=15，而显著性为5%，自由度为2的2分布的临界值为5.991，于是原模型具有2阶序列相关性。01112233GDPtttttteeeebbrrre-=+%v含3

21、阶滞后残差项的辅助回归为3.运用广义差分法进行自相关处理(1)采用杜宾两步法估计v第一步，估计模型*01122tttMMMbrr-=+*12132GDPGDPGDPttttbbbe-+LS / Dependent Variable is MSample(adjusted): 1980 2001Included observations: 22 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 78.08449 44.46252 1.756187 0.0982M(-1) 0.938262 0.1412

22、49 6.642597 0.0000M(-2)-0.468658 0.265785-1.763298 0.0969GDP 0.054776 0.009311 5.882785 0.0000GDP(-1)-0.096395 0.018566-5.191885 0.0001GDP(-2) 0.053583 0.010106 5.302080 0.0001R-squared 0.991335 Mean dependent var 890.0591Adjusted R-squared 0.988627 S.D. dependent var 661.6499S.E. of regression 70.5

23、6180 Akaike info criterion 8.739979Sum squared resid 79663.49 Schwarz criterion 9.037536Log likelihood -121.3564 F-statistic 366.0891Durbin-Watson stat 2.306923 Prob(F-statistic) 0.000000回归结果第二步 作差分变换*12(0.9380.469)ttttMMMM-=-*12GDPGDP(0.938GDP0.469GDP)tttt-=-建立方程*01GDPtttMbbm=+回归结果LS / Dependent Va

24、riable is M*Sample(adjusted): 1980 2001Included observations: 22 after adjusting endpointsVariable CoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 86.17772 31.24358 2.758254 0.0121GDP* 0.020397 0.001239 16.46400 0.0000R-squared 0.931286 Mean dependent var 475.5505Adjusted R-squared 0.927851 S.D. dependent var 356.5176S.E. of regression 95.76278 Akaike info criterion 9.210256Sum squared resid 183410.2 Schwarz criterion 9.309442Log likelihood -130.5295 F-statistic 271.0634Durbin-Watson stat 1.583222 Prob(F-statistic) 0.000000v在5%