高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4

1、3.2简单的三角恒等变换学习目标：1能用二倍角公式导出半角公式， 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.（重点）2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.（难点、易错点）自主预习2探新知半角公式sincos(3)tansinasin 22cos(4)tan aa=aaacos cos222cos sin a1 + cos atanaaasin sin _22sin 1 cos aacos acos 22sina222sin a第1页 共10页第#页 共10页基础自测1

2、. 思考辨析a1 + cos a ,、(1) cos =2.()a 1(2) 存在 a R,使得 cos = cos a .()a 1 对于任意 a R, sin = sin a都不成立.（） 亠 _a 丿1 cos a右a是第一象限角，则tan =.()2 1 十 cos ana n解析(1)3.只有当一_ 十 2k n W 十 2k n (k Z)，即一n + 4k n<a<n +4k n (k Z)时，cos V.当cos a = _3十1时，上式成立，但一般情况下不成立.（3）3.当 a = 2k n （k Z）时，上式成立，但一般情况下不成立./若a是第一象限角,a则2是

3、第一、三象限角，此时tan成立.答案(1)3(2) V (3)3(4) Va2. 已知180°< a V360°,贝y cosy的值等于(A.C.)aCOS -1 + COS a2COS a1 + COS a23.已知 2n < 0 < 4n,且 Sin300 =匚，cos 0 < 0,贝U tan 的值等于5 23由 Sincos< 0 得 cos40 = 5, 0sin. 0 2-tan2 0cos g02sin ci0osy2 01 + COS 02cos sin 03. 合作探究2攻重难化简求值问题例 (1)设710 0< 0 &

4、lt; 6 n , cos2 = a,贝U sin 等于(A.B.1 a2C.D.已知n < a V3n，化简:C 180°< a < 360°,.90°< 2< 180°，第3页 共10页第#页 共10页1 sin1 + sin a+ 1 + COS a j 1 COS a f 1 + COS a + ,1 COS a【导学号：84352339】第#页 共10页1 cos- 2 - 2思路探究 先确定4的范围，再由sin 2才=一2 得算式求值.1 + cos - = 2cos?, 1 cos a = 2sin 2卡，去根

5、号，确定 守的范围，化简.-i'5 n-3 n，2又 cos -2a, sin i4原式=-2 si. asin aC0S_2. asin 3 nTnVaVn a 3 na7 v 兀 r ,. 迈 v o,.asin >0,原式=.aa 2sin + cos-aa2 sin + cos 亍(aa 2sin cosy.aa2 sin cosy(1) D (1)- 5nV-V 6n ,迈 , 3 n , - 2第4页 共10页2第#页 共10页aaasin + cos_ sin cos 厅2222一 a 、卡 +=-亍规律方法1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式

6、子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幕、降幕、配方、开方等.2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系. 明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tana21 + cos a sin1 cos aa涉及半角公式的正、余弦值时，常利用 si代 =1 - c；s a2 a 1 + cos a cos2 计算.2第#页 共10页2第#页 共10页下结论：结合求值.

7、2第5页 共10页提醒：已知COS a的值可求0-的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号跟踪训练1 .已知COS0 =- 3,且 180500 <270°,求 tan 三二 tan1 cos 01 + cos 0<第二象限角,/ 180°< 0 <270°,即/ 180°< 0 <2700tan <0,二 tan0 =1 cos2 0 =1 01 cos 0sin 0941=1255，1 3、-5:=245三角恒等式的证明卜例求证:2 “cos a 1=-sin 21a4tan - a2ta n 2思路探究法一：

8、切化弦用二倍角公式由左到右证明;2法二：cos a不变，直接用二倍角正切公式变形.证明 法一：用正弦、余弦公式.2cos aaaco迈 sin7.asin 2acos 2第6页 共10页2COS a2 .aaCOS a sinTc-OS-2 a2 acos sin222 a2 acos -Sin y. a asin ycos y2a aCOS a sin COSCOS aa aSin 严0COS a1=2Sin1 .a cos a =7sin 24a =右边，原式成立.法二：用正切公式.2acos a tan 歹 12£边=TCOS a 22 a 21 tan2a2tan 2 i1

9、tan 2a2=?COSa 2tan1 1COS a sin a = ：sin 2 a第7页 共10页第#页 共10页=右边，原式成立.规律方法三角恒等式证明的常用方法针对题设和结论之间的差异,简言之，即化异求同；有针对性地变形，以消除它们之间的差异,/右边=1”；第#页 共10页第#页 共10页明显的事实为止，就可以断定原等式成立 跟踪训练2.求证：1 + cos xsin x2sin xcos xx + cos x 1x cos x + 1【导学号：84352340】证明左边=2sin xcos xx x2x Vx x2x I|严 产込-2sin 刃®in2cos2+2sin 2

10、丿2sin xcos x sin x4sin 2| cos2? sin 2x2sin 2|xCOS 22X2sinx x2Sin 2COS21 + cos xsin x=右边.所以原等式成立粪理3_三角恒等变换与三角函数图象性质的综合卜例已知函数 f(x) = 3cos 12x-3 -2sinxcos x.第8页 共10页第#页 共10页(1)求f(x)的最小正周期.-n n 11 求证：当x -,时，f(x) >-勺 【导学号：84352341】 2 n思路探究 化为f xAsin3 x + $ b f 由T=求周期 1 3 1分析f x单调性f求最小值证明不等式解(1) f(x) =

11、 3cos 2x- n -2sin< 3丿xcos x=_3231cos 2x+2sin 2x - sin 2x=2sin 2x所以 T= 2n= n .证明：令t = 2x + ,因为一x<n,344一 nn 5 n所以云W2 X + w ,6 36因为y= sin t在-n，n上单调递增，在I亍,詈 上单调递减，所以 f (x) >sin - nn =- 2，得证.规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y = asin 3 x+ bcos 3 x+ k的形式，借助辅助角公式化为 y = Asin3 x +

12、 $ ky= Acos 3 x + $ k3 x + $ 看作一个整体研究函数的性质跟踪训练3.已知函数 f (x) = 3sin i2x-； + 2sin 2 x- $ (x R). 求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f (x)取得最大值的x的集合.解 f (x) = 3sin2sin 2x - 121 cos 2 xx 爭in |2geos |2'x =2sin 2'x7t=2sin 2x n + 1,. T=年Tt .第10页 共10页第#页 共10页5 n+ p(k Z),响.2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式? 提示：化成y=Asin( w

13、x+ 0 ) + b的形式.卜例如图3-2-1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使 OAB的周长最大?(2)当f(x)取得最大值时, sin j2x = 1,冗冗有 2x§ = 2k n + ，即 x= k n所求x的集合为,x x = k n + 5ry, k Z三角函数在实际问题中的应用|炎型4|探究问题1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量， 求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影第#页 共10页第#页 共10页【导学号：84352342】第#页 共10页思路探究 设/ AOB= a

14、t建立周长I a t求l的最大值解 设/ AOB= a , OAB勺周长为 I，贝U AB= Rsin a , OB= Rsos a , I = OAF AB+ OB=R+ FSina + FCos a=Rsin a + cos a ) + R=j2Rsin j a + 4 + Rn nn 3 n °<a <2，二 4<a +4<4'， l 的最大值为,；'2R+ R=(j2+ 1) R,此时，a + =，即 an4，n即当a = -4时， OAB的周长最大.母题探究：1.在例4条件下，求长方形面积的最大值.解如图所示，设/ AO a a 0,

15、 -2 ，则 AB= Rsina , OA= Ados a .设矩形ABCD勺面积为S,贝U S= 20/2 AB S= 2Rcos a 2 Rsin a = Ra22sina cos a = Rsin 2 a .r n -a jO,2，2 a (0 , n ).n因此，当2 a =,即 a = 时，Smax= A.这时点A, D到点0的距离为-R, 矩形ABCD勺面积最大值为巨n2.若例4中的木料改为圆心角为 y的扇形，并将此木料截成矩形，（如图3-2-2 所示）,试求此矩形面积的最大值.第11页 共10页第#页 共10页图 3-2-2解如图，作/ POQ勺平分线分别交 EF, GHT点M

16、N,连接0E第12页 共10页设/ MO= a , a 0,看，在Rt MOEK ME= Rsina , OM= Rios a ,亠宀 nh在 Rt ONH中, oN= tann6，得 ON=3NH= 3Rsina ,则 M= OM- ON= R(cosa 7； 3sina ),第13页 共10页设矩形EFGH勺面积为S,则 S= 2ME MN= 2R?sin a (cos a 3sin a )=R(sin 2 a + “J3cos 2 a ：3) = 2Rsin 2a + 3R,nnn 2 n由 °，6，则v2a + yv丁，所以当2 a + -3 = y ,即 a = 12时，S

17、max= （2 3） R2.规律方法应用三角函数解实际问题的方法及注意事项题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解注意实际问题中变量的范围重视三角函数有界性的影响提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误当堂达标2固双基第#页 共10页第#页 共10页1.已知 cos a = 3,5琴,2n ，则sin y等于（【导学号：84352343】A._55B- I5第14页 共10页第#页 共10页C.1 cos a 5-2- = 5 .25. a _. an ，sin y>0, sin 第#页 共10页第#页 共10页2.（2019 2全国卷H ）若f （x） =

18、cos x sin x在0 , a是减函数，贝U a的最大值是（）A.B.第#页 共10页D.nC f (x) = cos x sin x= 2cosx+ .当 x 0 , a时，x + 才 -4, a+*，所以结合题意可知，汀产n，即木于，故所求a的最大值是寸.故选C.3.函数f(x) = sin 2x的最小正周期为21 cos 2 xn 因为 f(x) = sin x=,第15页 共10页第#页 共10页所以f(x)的最小正周期t=年4.设a =知2 ° +詐2n .,b= 1 2sin213°, c=f，贝U a, b, c 的大小关系cv av b a= cos 60 ° sin 22b= 1 2sin 13°= cos 26 ° = sin 64 ° ,+ sin 60 ° cos 2si n 62 ° ,c=¥ = sin 60 °，又y = sin x在0,专 上为增函数, cv av b.5.北京召开的国际数学家大会， 会标是以我国