第4章交通流理论

1、tktkePk!)(!kemkmkPmeP0kkmkPP1129.01109.99.9110)11(1)11(ieiiiiPPP！解： P0 = e-0.067 =0.935P0 = e-0.133 =0.875P0 = e-0.2 =0.8190.2P0 = e-ml例例3、设、设60辆车随机分布在辆车随机分布在4km长的道路上，长的道路上，求任意求任意400m路段上有路段上有4辆及辆及4辆以上汽车的概辆以上汽车的概率。率。解：解：（1）基本公式： ，k0，1，2，Pk在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；t每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m

2、）；n观测次数，正整数。knntkntknkCP)1()(ntp通常记 ，则二项分布为：) 10( )1 ()(pppCPknkknk（2）递推公式：npP)1(0kppkknkPP111（3）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。l适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布。l负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊松分布时，车头时距则符合负指数分布。 由公式： 可知，当车辆平均到达率为时，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达，则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至少有t，即ht。teP )(

3、0tethP)(例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于或等于10s的概率。解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内无车的概率。 由=360/3600=0.1 同样，车头时距小于10s的概率为：6301.)(ttheP l车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。这种情形在不 能超车的单列车流中 是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车 长，所以车头时距必 有一个大于零的最小 值。)(t )()(tethP类别输入分布服务方式服务台数量符号含义M泊松或负指数分布M负指数分布1D定长D定长NEk 爱尔

4、朗分布Ek 爱尔朗分布M/M/N泊松输入、负指数分布服务、N个服务台M/D/1泊松输入、定长服务、单个服务台lM/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。服务服务（收费站）（收费站）输出输出输入输入M/M/1系统系统主要参数：设平均到达率为，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为， 则平均服务时间为1/ ；比率： 称为交通强度或利用系数，由比率即可确定各种状态的性质。 当比率1（即），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当比率1（即），任何状态都是不稳定的

5、，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是1（即）。 例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即: 1/=10s； 1/=8s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。8081101./ l当比率1（即），系统处以稳定状态：在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有k个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）： 10P)( 1kkP（辆辆）1)1 (n系统中顾客数的方差： 随着的增大，n 增大；当0.8以后， n 迅速增大，从而使

6、排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。平均排队长度： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。)1()1/(22 （辆辆）)(112 nnq平均非零排队长度： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。排队系统中平均消耗时间： 这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。)(辆辆辆辆或或s/ h/1 nd（辆辆）)(qqqww 11排队中的平均等待时间： 这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。 共有八

7、个指标。)()(辆辆辆辆或或 s/ h/1 dw例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为400辆/h，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。 解：=400/3600（辆/s）, =1/8 （辆/s） =/=0.89 1 ，排队系统是稳定的。 收费站排队系统中的平均车辆数：)(.辆辆889018901 n 平均排队长度： 排队系统中的平均消耗时间： 排队中的平均等待时间：（辆辆）7.110.898 nq)(辆辆s/ 7236004008111 d)(辆辆s/ 64872

8、1 dw例2：修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适 。 解： =72（辆/h）, =120 （辆/h） =/=0.6 1 ，排队系统是稳定的。 进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。合合适适辆辆辆辆)()(.51.5601601 n 验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(5)，如果P(5)很小，则得到 “合适”的结论正确。由： 验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(5)不足5%，概率很小，进入停车场的引

9、道长度是合适的。0.046710.03110.05180.08640.14400.24000.400011555432100）（）（得得：和和PPPPPPPPPPkk)( n+1 n+1 n n+1 n S(t) )(txn )(txn 1 t 时时刻刻两两车车位位置置 前前车车开开始始减减速速的的位位置置 3d 1d 2d L 后后车车开开始始减减速速的的位位置置 完完全全刹刹车车后后两两车车位位置置 线性跟车模型示意图线性跟车模型示意图l两车在刹车操作后的相对位置如图所示。 第i 辆车在时刻t 的位置； 两车在时刻 t 的间距，且: 后车在反应时间T内行驶的距离； 后随车在减速期间行驶的距

10、离； 前导车在减速期间行驶的距离； 停车后的车头间距； 第n+1辆车在时刻t 的速度。)(txi)(tS)()()(txtxtSnn11d)()(tTxTtxTdnn1112d3dL)(txn 1 假定 ，要使在时刻t 两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则应有： 对t 微分，得: 式中: 为后车在(t+T)时刻的加速度，称为后车 的反应 ；1/T 称为敏感度； 称为t 时刻 的刺激。这样，上式就可理解为： 反应敏感度刺激。 32dd LTtxTLdtSn)()(11)()()(TtxTtxtxnnn11 )()()(txtxTTtxnnn111 )(Ttxn1 )()(txtxnn1

11、 第五节第五节 流体力学理论流体力学理论 一、流体动力学理论建立一、流体动力学理论建立 l车流连续性方程的建立车流连续性方程的建立 设车流顺次通过断面设车流顺次通过断面和和的时间间隔为的时间间隔为t，两，两断面得间距为断面得间距为x。车流在断面。车流在断面的流入量为的流入量为Q、密度为密度为K；同时，车流在断面；同时，车流在断面得流出量为：得流出量为：(Q+q)， (K-K)，其中：，其中： K的前面加一负号，的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q )一、流体动力学理论

12、建立一、流体动力学理论建立 l车流连续性方程的建立：车流连续性方程的建立： 根据物质守恒定律，在根据物质守恒定律，在t时间内：时间内： 流入量流入量-流出量流出量=x内车辆数的变化，内车辆数的变化， 即：即： Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x 或：或： ，取极限可得：，取极限可得： 含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。时间而增大。0 xQtK 0 xQtK一、流体动力学理论建立一、流体动力学理论建立l车流波及波速：车流波及波速： 列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度

13、高的队列；当绿灯开陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。当密度的队列。 车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。 此车流波动沿道路移动的速度称为波速。此车流波动沿道路移动的速度称为波速。二、车流波动理论二、车流波动理论l波速公式的推导：波速公式的推导： 假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（区域（K1和和K2）用垂线）用垂线S分

14、割这两种密度，称分割这两种密度，称S为为波阵面，设波阵面，设S的速度为的速度为w（ w为垂线为垂线S相对于路面相对于路面的绝对速度），并规定垂线的绝对速度），并规定垂线S的速度的速度w沿车流运行沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内由时间内由A进入进入S面的车辆数等于由面的车辆数等于由S面驶入面驶入B的车辆数，即：的车辆数，即： 式中式中: (V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出分别为车辆进出S 面前后相面前后相对于对于S 面的速度。面的速度。tKwVtKwV2211)()(二、车流波动理论二、车流波动理论V1=100km/hK1=10辆辆/kmV2=8

15、0km/h K2=14辆辆/km 车头间距车头间距71mwwK1 V1K2 V2ABSS二、车流波动理论二、车流波动理论 由：由： 规定：当规定：当K2K1，密度增加，产生的，密度增加，产生的w为集结波。为集结波。12121112221211221122122221112211)()()(KKQQwKVQKVQKKKVKVwKVKVKKwwKKVwKKVtKwVtKwV 得得三、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论l 当当Q2Q1 、K2Q1 、K2K1时，产生一个集结波，时，产生一个集结波， w为正为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方

16、向，以相对路面为同的方向，以相对路面为w的速度移动。的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论l 当当Q2K1时，产生一个集结波，时，产生一个集结波， w为负为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为反的方向，以相对路面为w的速度移动。的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论l 当当Q2Q1 、K2K1时，产生一个消散波，时，产生一个消散波， w为负为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方

17、向，以相对路面为反的方向，以相对路面为w的速度移动。的速度移动。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用例：道路上的车流量为例：道路上的车流量为720辆辆/h，车速为，车速为60 km/h，今有一辆超限汽车以今有一辆超限汽车以30km/h的速度进入交通流并的速度进入交通流并行驶行驶5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为后形成一低速车队，密度为40辆辆/km，该超限车，该超限车离去后，受到拥挤低速车队以车速离去后，受到拥挤低速车队以车速50km/h，密度，密度为为25辆辆/km的车流疏散，计算：的车流

18、疏散，计算： (1)拥挤消散时间拥挤消散时间ts；(2)拥挤持续时间拥挤持续时间tj；(3)最大最大排队长度；排队长度；(4)排队最长时的排队车辆数；排队最长时的排队车辆数；(5) 参参与过排队的车辆总数。与过排队的车辆总数。四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用 解：三种状态的解：三种状态的Q、K、V分别如图所示：分别如图所示： 超限车进入后，车流由状态变超限车进入后，车流由状态变为状态为状态 ，将产，将产生一个集结波生一个集结波：（注意集结波的方向！：（注意集结波的方向！）5km Q1=720V1=60K1=12 Q2=1200V2=30K2=40 Q3=1250V3=50K3=25

19、 w1 w2(km/h)14.1760/72040720403012121KKQQw四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用 超限车插入后，超限车的速度为超限车插入后，超限车的速度为30km/h，集结波，集结波由超限车进入点以由超限车进入点以w1=17.14km/h的速度沿车流方的速度沿车流方向运动。如果这种状况持续向运动。如果这种状况持续1h， 1h后跟在超限车后跟在超限车后的低速车队长度为：后的低速车队长度为：30-17.14=12.86 km。但超。但超限车行驶限车行驶5km后离去，超限车行驶后离去，超限车行驶5km所用时间所用时间为：为：ta=5/30=0.167h，在超限车驶离时

20、刻超限车后，在超限车驶离时刻超限车后的低速车队长度应为：的低速车队长度应为： 5-w1ta=2.14km。5km w1w1ta 5-w1ta=2.14km四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用 超限车离去后，车流由状态超限车离去后，车流由状态变为状态变为状态，在超，在超限车驶离点产生一个消散波：限车驶离点产生一个消散波： 注意：超限车离去，低速车队前端以注意：超限车离去，低速车队前端以-3.33km/h的的速度消散，后端还在以速度消散，后端还在以17.14km/h的速度集结。的速度集结。5km w1 w2w1ta 5-w1ta=2.14km(km/h)333402540302550232

21、32.KKQQw四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用 由此可见，在超限车离去的时刻低速车队最长！由此可见，在超限车离去的时刻低速车队最长！ 因此，最大排队长度为因此，最大排队长度为2.14km （为什么？），这（为什么？），这2.14km上的车辆数即为最大排队车辆数：上的车辆数即为最大排队车辆数： 2.14K2=2.1440=86 （辆）（为什么是（辆）（为什么是K2 ？ ） 超限车离去的时刻，低速车队前端以超限车离去的时刻，低速车队前端以-3.33km/h的的速度消散，后端还在以速度消散，后端还在以17.14km/h的速度集结，设的速度集结，设要消散长度为要消散长度为2.14km的低速车队需要的时间为的低速车队需要的时间为ts 5km w1 w2w1ta 5-w1ta=2.14km四、车流波动