伴随矩阵的性质探讨

1、伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究.本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质.主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用.一.伴随矩阵的定义alla21设Aij是n阶矩阵A.an1al2a22a22a1na2n中元素a的代数余子式，称矩

2、阵.annA11A12.A1nA21A22.A2nA3n为A的伴随矩阵.Ann相关内容：高等代数（王萼芳石生明版）定义9在一个n阶行列式D中任意选定K行K列（K&n）,当KVn时，在D中划去这K行K列后余的元素按原来的次序组成的nk级行列式M称为K级子式M的余子式，其中K级子式M为选定的K行K列（K&n）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个K级行列式.（1）如果在M前面加上符号ik）（j1j2jk）后称作M的代数余子式.二.伴随矩阵的性质alla21A设.an1al2a22a22a1nA11a2nA*A12annA1nA21A22.A2nA3n.Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1n阶

3、矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0）,当A可逆时,其中A*为A的伴随矩阵.设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*AAE证明：由行列式按一行（列）展开的公式0AaAkikj A,k 1AAAAAE.A注：A可逆时，A*AA1证毕.2.2 伴随矩阵的行列式A*(1) 若A可逆，则A0,由性质1得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A,又A0,则A*A(ii)若A不可逆，则A*A0综上所述，A*A证毕.2.3 伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A

4、的秩，记做R(r)求矩阵A1解：由A12.4 的秩.82.5 =0,A的一个二阶子式8故R(A)2.定理2.3nn矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(高等代数王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩，则有以下结论：设A是n阶矩阵，则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1;R(A)n1.证明：R(A)n时，显然A0,由性质2知0,故R(A)n.R(A)n1时，由定理知A0,性质1知AA*AE0,即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解，又R(A)n1,则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1)1.知A*的列秩为1,即R(A*)1.i,j1,2,n)R(A)n1,A*中任一

5、-兀素A(都是0,ij因为A中不存在非零的n1阶子式，故R(A*)0.证毕.2.6 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵，则有特别情况有：当n2时，(A*)*证明：()i)当A可逆时,A0；又由性质1AA*A*AAE知(两边同时左乘(A*)1A*(AA1)1A*(当A不可逆时，A0,(A*)*0.2.7 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的，如果有ABBAE.(E为单位矩阵).伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质5可逆的充分必要条件是A*可逆.证明：必要性.由性质1知，AA*A*AAE.若A可逆，则A非退化，即A0.(两边同时消去A,得由以上的可

6、逆定义可知A*是可逆的.充分性.即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题若A不可逆，则A*也不可逆u是等价的.由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0.这里我们用反正法.假设A*0,则A*可逆.由性质1知AA*AE0(两边同时右乘A*)有AA*(A*)10得八=0,所以A*=0,所以A*0与假设的A*0矛盾.故假设不成立，原命题成立.综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆.证毕.2.8 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A.an1al2a22a22a1na2n为对称矩阵，如果aa,.anni,j1,2,n,且有AA性质6.若n阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵

7、.证明如下：设为对称矩阵，可知AA,aijaji,且AijAji,可知A(A).即证得A*为对称矩阵.证毕.性质7.设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵.即证AA.证明如下：A*对称可知A*(A*).A(A1)1(A(AA即A为对称矩阵.证毕.2.7 伴随矩阵A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)(A)矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型XAX正定.又有，实二次型fx1,x2,.xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,cn都有fc1,c2,cn0性质8若n阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的.证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B,使得BABE,则(BAB)*E*E*

8、又(BABBA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵.证毕.2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果AAE.性质9若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵.证明：A为正交矩阵，知AAE,A*(A*)A*(A)*(AA)*E*E由正交的定义知，A*也为正交矩阵.证毕.2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10设为n阶矩阵A(A可逆)的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量.则有A两边同时左乘A*有A*AA*A*由性质1AA*AE知上式变为AA*得A*由A的特征值的性

9、质可知证毕.即为A*的特征值.推广：性质11若1,2,值，则其伴随矩阵的特征值为n为n阶矩阵A(A可逆)的特征).(i1,2,n)是A的特征向量)证明：由题意知有Aiii(i1,2,n两边左乘A*,知A*AiA*ii即AiiAi,得为A*的特征值.即A*的特征值是证毕.(i1,2,n)2.10 伴随矩阵的运算性质性质12(A)*(A*).a21证明：设n阶矩阵A.an1al2a22a22a1na2n则.annA11A12.A1nA21A22.A2nA3nAn1A11(A*)21AnnAn1A12A22.An2Anna11a12a1na21a22.a2n(A)*21annAn1A12A22An2

10、.Ann其Aij(i,j1,2,n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A)*(A*).证毕.性质13设A为nn1阶方阵，k为任意非零常数，则kA证明设Aaij,可知kannA.kkn1A11n1性质14(AB)*B*A*证明：由性质1知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A*证毕.Am(m2),则推广性质15n阶矩阵A1,A2,(A1,A2,Am)(Am)(Am1)A2A1,证明过程同性质13的过程.推广性质16(Am)*(A*)m证明：令A1A2AmA,则AA1A2Am(A1A2Am)(Am)(Am1)A2A1(A).性质17上(下)三角矩阵的伴随矩阵仍为上(

11、下)三角矩阵a11a21a n1al2a22an2,当ij时，aij0.直接计算得，ann证明设AaijnnA0,iA21A220,Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵.证毕.性质18若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAPB.又A与B可逆，则有,即CA1CTB1.其中CP1.又PTAPPAB,则PCAA1PCBB1,即QTA*QB*,其中QPC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41例3.1设A00求(A3E)1504000500130021 解：A3E02 00A3E1112又(A3E)0例3.2设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,31.求2(A1)23A*2A*A2的值.此题目应用知识：A1,f(A),A*与A的特征值的关系.解：由题目条件先知为A的特征值，则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值，f()为改勺的特征值.设x