讲合情推理与演绎推理

1、第34讲合情推理与演绎推理【考点解读】1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作 用。2 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。【知识扫描】1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；2. 合情推理包括 和;归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、.3. 演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的

2、推理过程;三段论常用格式为： M是P,，S是P;其中是 ，它提供了一个个一般性原理；是 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断4. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以 及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培 养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.【考计点拨】牛刀小试：1 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）A 三角形B.

3、梯形C.平行四边形D.矩形解析：选C因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平 行，故选C.2由和5,专送，若a>b>0且m>°，则牛也与?之间大小关系为（）10 811 10 25 21a+ m aA .相等B .前者大C.后者大D 不确定3 .下列推理是归纳推理的是 （）A . A, B为定点，动点 P满足|FA|+ |PB|= 2a>AB|，得P的轨迹为椭圆B. 由a1= 1, an= 3n 1,求出3, $, &，猜想出数列的前 n项和Sn的表达式2 2C. 由圆X2 + y2 = r2的面积n2，猜想出椭圆勺+匕=

4、1的面积S= naba bD 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：选B.从S1, S2, S3猜想出数列的前 n项和Sn,是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理.4 .给出下列三个类比结论. (ab)n = anbn与(a+ b)n类比，则有(a + b)n= an + bn; loga(xy)= logax+ logay 与 sin( a+ 3 类比，则有 sin( a+ 3 = si nosin 3; (a + b)2= a?+ 2ab + b?与(a+ b)?类比，则有(a + b)2= a?+ 2a b+ b?.其中结论正确的个数是()A . 0B. 1C. 2D. 3解析：选B.正

5、确.5. 已知数列2008,2009,1 , - 2008, - 2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等 于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于.解析：数列前几项依次为 2008,2009,1 , - 2008 , - 2009,- 1,2008,2009,每6项一循环,前6项之和为0,故前2009项包含334个周期和前=1.答案：1典例分析考点一：归纳推理例 1.已知：sin2 30 sin290 sin2150 =?；2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：解：一般形式：sin25 个数，故其和为 2008 + 2009+ 1 2008-2009

6、329<5oO二' sin2（一60 ） sin2（二'120 ） =sin25 sin265 - sin2125、32（* ）并给出（* ）式的证明.32证明：左边1 -cos2>1 -cos（2-：120 ）1 - cos（2j ' 240 ）2 2 23 1=- cos 2二川 cos（2u 川-120 ） cos（2w " 240 ）2 23 1厂尹曲 cos2 co420sin2： sin120 cos2cos240 -sin2sin240=3cos2一 1cos2：sin2 1cos2：2in22 2 2 2 2 2（将一般形式写成si

7、n2（： -60）sin2：sin2（：60'工3 ,22223sin（: -240 ） sin （： -120 ） sin等均正确。）2变式训练 1 ：设 f°（x） =COSX, f （x） = f° （x） , f2（X）= f （x）J|, fn 1（X）= fn （x） , n N,则f2008 (x)解：cosx，由归纳推理可知其周期是4点评：归纳推理是个别事实中推演出一般性规律, 考点二：类比推理例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形,按图所标边长，由勾股定理有：c2二a2 b2.设想正方形换成正方体，把截线换成

8、如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A BCD且AB=a，AC=d，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是r匚兰。2点评：类比推理和归纳推理都是合情推理，要根据已有的事实和正确的结论（包括定义，公理， 定理等），实验和实践的结果，以及个人的经验和直观等推测某些结果。具有猜测和发现结论，探 索和提供思路的作用，有利于创新意识的培训。2 2例3.请你把不等式“若aia?ai,a2是正实数

9、，则有 一 -一 a a： ”推广到一般情形，并证明你a2 a的结论。答案：推广的结论：若aa2, ,an都是正数,2 2生鱼.a3a22+ 亚兰 ai + a? *an4ai证明:2anan-a<i, a2, an都是正数2aia 2ai，a22a2_ y _ 2a2ai2-aia。a2a32an 4一 anan- 2an 4，2anaiai-2an2an2an - ai aia2an变式训练3:观察式子:1 22弓1 ? *詣1 i2 3讣4，则可归纳出式子为（A、1 ；12； ：1B2232n2 2n -111 221321 1n2 2n 12232n2n1 1 1 1亠2 2 2

10、 -23 n2n2n 1答案：G解析：用n=2代入选项判断。考点三：演译推理例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面，直线a 平面，直线b /平面：，则直线b /直线a ”的结论显然是错误的，这 是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线。变式训练4:AC,BD是菱形ABCD勺对角线，.AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分 归纳小结1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜 测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向 合情推理仅