第九章压杆稳定

1、Stability of Bars under compression压杆稳定的概念 压杆的稳定校核提高压杆稳定性的措施细长压杆临界压力的欧拉公式欧拉公式的使用范围及经验公式第九章第九章 压杆稳定压杆稳定构件的承载能力：构件的承载能力：强度强度 刚度刚度稳定性稳定性工程中有些构件工程中有些构件具有足够的强度、具有足够的强度、刚度，却不一定刚度，却不一定能安全可靠地工能安全可靠地工作。作。第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念Concepts of Stability of Bars under compression不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小

2、扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置稳定的稳定的基本概念基本概念稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，是杆件承载能力的一个方面。能力，是杆件承载能力的一个方面。稳定性：主要针对细长压杆稳定性：主要针对细长压杆P大桥由于拱肋失稳坍塌大桥由于拱肋失稳坍塌压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验压杆一直保持直线形状的压杆一直保持直线形状的平衡，即使用微小的侧向干扰力使平衡，即使用微小的侧向干扰力使其暂时发生轻微弯曲，干扰力解除其暂时发生轻微弯曲，干扰力解除后，他仍将恢复直线形状，表明压后，他仍将恢复直线形状，表明压杆直线形状的平

3、衡是稳定的。杆直线形状的平衡是稳定的。FPFcr ：这时如再用微小的侧向干：这时如再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将保持曲线形状的平衡，除后，它将保持曲线形状的平衡，不能恢复原有的直线形状。压杆丧不能恢复原有的直线形状。压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳，平衡，称为丧失稳定，简称失稳，也称屈曲。也称屈曲。如何判断杆件的稳定与不稳定？如何判断杆件的稳定与不稳定？ 压杆的压力逐渐增加，使压杆由稳定的压杆的压力逐渐增加，使压杆由稳定的平衡状态向不稳定的状态转变，此时的压力平衡状态向不稳定的

4、状态转变，此时的压力称为临界压力称为临界压力,以以 表示。表示。crF 杆件在压力作用下，由稳定平衡向微弯杆件在压力作用下，由稳定平衡向微弯平衡平衡(不稳平衡不稳平衡)过渡的状态。过渡的状态。 第第 二二 节节细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式Eulers Formula for Critical Force of thin and long Bars under compression一、两端铰支细长压杆的临界压力一、两端铰支细长压杆的临界压力二、其他杆端约束细长压杆的临界压力二、其他杆端约束细长压杆的临界压力思路思路：求：求Fcr临界状态临界状态(微弯微弯)弯曲变形弯曲变

5、形挠挠曲线微分方程；曲线微分方程； 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线微分方程入手，求临界力。如图，从挠曲线微分方程入手，求临界力。FwyxM ),(EIFwEIMdxwd 22EIFk 2 令0222 wkdxwdxyFFMFFxylxw一、两端铰支细长压杆的临界压力一、两端铰支细长压杆的临界压力kxBkxAwcossin 00 wlxx时，和 0cossin00:klBklABA即0cos sin1 0 klkl0sin kllnk 临界力临界力 F Fcr 是微弯下的最小压力是微弯下的最小压力，故，只能取，故，只能取n=1。

6、22 lEIFcr EIFk 2 令222 lEInF 当当n=1时时, 相应的挠曲线方程为：相应的挠曲线方程为：lxAwsin 压杆由直线状态的平衡过渡到曲线状态的平衡以后，压杆由直线状态的平衡过渡到曲线状态的平衡以后，轴线变成了半个正弦曲线。轴线变成了半个正弦曲线。A为杆件中点（为杆件中点（x=l/2 处）处）的挠度。的挠度。pFl2l二、其他杆端约束细长压杆的临界压力二、其他杆端约束细长压杆的临界压力 222 lEIFcr 227.0 lEIFcr 0, 0 DCMMCD 225.0 lEIFcr 22 lEIFcr 欧拉公式的欧拉公式的普遍形式普遍形式EIMwkdxwde 222EIM

7、EIFwEIxMdxwde )(22EIFk 2:令kxsinkBkxcoskAdxdwwFMkxcosBkxsinAwe的一阶导数为：方程式通解：解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：例题例题1 1：试由挠曲线近似微分方程，导出两端固定细长压：试由挠曲线近似微分方程，导出两端固定细长压 杆的临界力公式。杆的临界力公式。xFMeFM0FMexFMeFl0sin, 01cosklkl2kl为求最小临界力，为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，应取除零以外的最小值，即取：即取：所以，临界力为：所以，临界力为： 2 nkl 0, 0,; 0, 0, 0 d

8、xdwwlxdxdwwx件：两端固定杆件的边界条2222/lEIEIkFcr第第 三三 节节欧拉公式的适用范围及经验公式欧拉公式的适用范围及经验公式Limits of Applicability of Eulers Formula and Empirical Formula1、临界应力与柔度（长细比）、临界应力与柔度（长细比）AFcrcrAlEI22)(AlAEi222)(22)(ilE定义定义il柔度或长细比柔度或长细比AIi惯性半径惯性半径22Ecrp22crE2、欧拉公式的适用范围、欧拉公式的适用范围p2E得得.,1欧拉公式成立时p21EA3钢：钢：,200,200MPaGPaEp3 .

9、991)(pcr)(sp中柔度压杆临界应力的如何求解？中柔度压杆临界应力的如何求解？scrAFbacra、b是与材料性质有关的常数。是与材料性质有关的常数。spbas2临界应力总图临界应力总图临界应力随柔度变化的曲线临界应力随柔度变化的曲线临界应力的经验公式临界应力的经验公式211crba 也是与材料性质有关的常数。也是与材料性质有关的常数。11,ba2 临界应力总图临界应力总图1 F解解: :例例2 2：有一千斤顶：有一千斤顶, ,材料为材料为A3A3钢钢. .螺纹内径螺纹内径d=5.2cmd=5.2cm，最大，最大高度高度l=50cml=50cm, ,求临界载荷求临界载荷 。crFil柔度

10、柔度: :4/5 . 02d77AIi 惯性半径惯性半径: :4dA3A3钢钢: :可查得：可查得：3 .991MPabMPaa12. 1,304MPaMPaGPaEsp235,200,200已知：bas26 .61因此因此AFcrcrAba)(kN46226410)7712. 1304(d第第 四四 节节压杆的稳定校核压杆的稳定校核The Stability Check of compressed Bars 压杆的稳定条件压杆的稳定条件(安全系数法安全系数法)stnFFcrstFstncrststn稳定安全因数稳定安全因数stF稳定许用压力稳定许用压力F工作压力工作压力st稳定许用应力稳定许

11、用应力AF压杆的稳定条件：压杆的稳定条件：crcrFFnAFstn解题步骤：解题步骤：（1）根据支承情况及压杆的实际尺寸，计算杆件的柔）根据支承情况及压杆的实际尺寸，计算杆件的柔度度 。 .)(crcrF或或者者公公式式计计算算出出，确确定定压压杆杆的的临临界界应应力力，计计算算21 2（3）校核）校核例题例题3 3： MPaMPaps200,235xyzx解解:zzzil35.99AIizzbhbh 12/3pE21xyzx考虑考虑xy平面失稳平面失稳(绕绕z轴转动轴转动)12h12/3 . 21h8 .132AIiyybhhb 12/3考虑考虑xz平面失稳平面失稳(绕绕y轴转动轴转动)12

12、byyyil12/3 . 25 . 0b6 .991yz所以压杆可能在所以压杆可能在xy平面内平面内首先失稳首先失稳(绕绕z轴转动轴转动)。其临界压力为：其临界压力为：AFcrcrbhEz22kN269pcrFFn150269793. 18 . 1stn所以压杆的稳定性是不安全的。所以压杆的稳定性是不安全的。其临界压力为：其临界压力为：kNF269crMPaGPaEs240,20060,10021例题例题4 4：简易起重架由两圆钢杆组成，杆：简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB： ，杆杆AC： , ,两杆材料均为两杆材料均为Q235Q235钢钢, ,规定的强度安全系规定的强度安全系数数 ，稳定安全系数，试确定起重机架的最大，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。起重量。mmd301mmd2022sn3stnmaxFF45A21CB0.6m解解: 、受力分析、受力分析AF1NF2NF)()(221压，拉FFFFNN2、由杆、由杆AC的强度条件确定的强度条件确定 。maxF111AFNssnssnAF21kN7 .263、由杆、由杆AB的稳定条件确定的稳定条件确定 。maxFstNcrnFFn222il柔度柔度: :4/6 . 012d80因此因此2crcrA