94高等数学同济大学第六版本

1、习题9-4 1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积. 解 位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的. 由曲面方程z=得, ,于是 . 2. 求锥面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积. 解 由z=和z2=2x两式消z得x2+y2=2x, 于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2+y22x. 由曲面方程得, ,于是 . 3. 求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积. 解 设A1为曲面相应于区域D: x2+y2R2上的面积. 则所求表面积为A=4A1. . 4. 设薄片所占的闭区域D如下, 求均匀薄片的质心

2、: (1)D由, x=x0, y=0所围成; 解 令密度为m=1. 因为区域D可表示为, 所以 , , , 所求质心为 (2)D是半椭圆形闭区域; 解 令密度为m=1. 因为闭区域D对称于y轴, 所以. (椭圆的面积), , 所求质心为. (3)D是介于两个圆r=acosq, r=bcosq(0aa0), z=0; 解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故. (两个半球体体积的差), , 所求立体的质心为. (3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0. 解 , , , , 所以立体的重心为. 8. 设球体占有闭区域W=(x, y, z)|x2+y2+z22Rz, 它在内部各

3、点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心. 解 球体密度为r=x2+y2+z2. 由对称性可知质心在z轴上, 即. 在球面坐标下W可表示为: , 于是 , , 故球体的质心为. 9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下, 求指定的转动惯量: (1), 求Iy; 解 积分区域D可表示为 , 于是 . 提示: . (2)D由抛物线与直线x=2所围成, 求Ix和Iy; 解 积分区域可表示为 , 于是 , . (3)D为矩形闭区域(x, y)|0xa, 0yb, 求Ix和Iy. 解 , . 10. 已知均匀矩形板(面密度为常量m)的长和宽分别为b和h, 计算此矩形板对

4、于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系. , . 11. 一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所围成, (1)求物体的体积; 解 由对称可知 . (2)求物体的质心; 解 由对称性知. . (3)求物体关于z轴的转动惯量. 解 . 12. 求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度r=1). 解 建立坐标系, 使圆柱体的底面在xOy面上, z轴通过圆柱体的轴心. 用柱面坐标计算. . 13. 设面密度为常量m的匀质半圆环形薄片占有闭区域, 求它对位于z轴上点M0(0, 0, a)(a0)处单位质量的质点的引力F . 解 引力F=(Fx, Fy, Fz ), 由对称性, Fy=0, 而 , . 14. 设均匀柱体密度为r, 占有闭区域W=(x, y, z)|x2+y2R2, 0zh, 求它对于位于点M